Vi etablerte en yrke når vi forholder en eller flere mengder. En del av naturfenomenene kan studeres takket være utviklingen innen dette matematikkområdet. Studiet av funksjoner er delt i to deler, vi har den generelle delen, der vi studerer begrepergenerell, og den spesifikke delen, der vi studerer spesielle tilfeller, som polynomfunksjoner og eksponensielle funksjoner.
Se også: Hvordan tegne en funksjon?
Hva er funksjoner?
En funksjon er et program som relaterer elementene til to settene ikke tom. Tenk på to ikke-tomme sett A og B, hvor en funksjon f relatere Hver element fra A til bare en element av B.
For å bedre forstå denne definisjonen, forestill deg en drosjetur. For hver tur, det vil si for hver tilbakelagt avstand, er det en annen og unik pris, det vil si at det ikke gir mening for en tur å ha to forskjellige priser.
Vi kan representere denne funksjonen som tar elementer fra sett A til sett B på følgende måter.
Merk at for hvert element i sett A er det en enkelt relatert element med ham i sett B. Nå kan vi tross alt tenke når et forhold mellom to sett ikke vil være en funksjon? Vel, når et element i settet A er relatert til to forskjellige elementer i B, eller når det er elementer i settet A som ikke er relatert til elementene i B. Se:
Generelt sett kan vi skrive en funksjon algebraisk slik:
f: A → B
x → y
Merk at funksjonen tar elementer fra sett A (representert med x) og tar dem til elementer av B (representert med y). Vi kan også si at elementene i mengde B er gitt i form av elementene i mengde A, slik at vi kan representere y ved:
y = f(x)
Den lyder: (y er lik f av x)
Domene, ko-domene og bilde av en rolle
Når vi har en rolle f, settene som er relatert, får spesielle navn. Så vurder en funksjon f som tar elementer fra sett A til elementer fra sett B:
f: A → B
Ikke stopp nå... Det er mer etter annonseringen;)
Settet A, som forholdet går fra, heter domene av funksjonen, og settet som mottar "pilene" i dette forholdet kalles motdomene. Vi angir disse settene som følger:
Df = A → Domenet til f
CDf = B → Motdomene til f
Delsettet av motdomenet til en funksjon dannet av elementer som er relatert til elementene i settet kalles Bilde av funksjonen og er betegnet med:
jeg erf → Bilde av f
- Eksempel
Tenk på funksjonen f: A → B representert i diagrammet nedenfor, og bestem domenet, motdomenet og bildet.
Som sagt er settet A = {1, 2, 3, 4} domenet til funksjonen f, mens settet B = {0, 2, 3, –1} er motdomenet til den samme funksjonen. Legg merke til at settet dannet av elementer som mottar pilen (i oransje) dannet av elementene {0, 2, -1} er en delmengde av motdomenet B, dette settet er bildet av funksjonen f, og dermed:
Df = A = {1, 2, 3, 4}
CDf = B = {0, 2, 3, -1}
jeg erf = {0, 2, –1}
Vi sier at den 0 er elementbilde 1 av domenet, så vel som 2 det er bildet av elementene 2 og 3 av domenet, og –1 er elementbilde 4 av domenet. For å lære mer om disse tre begrepene, les: Ddomene, ko-domene og bilde.
Surjective funksjon
En funksjon f: A → B vil være surjective eller surjective hvis, og bare hvis bildesettet sammenfaller med motdomenet, det vil si hvis alle elementene i motsetningen er bilder.
Vi sier da at en funksjon er antatt når alle elementene i motdomenet mottar piler. Hvis du vil gå dypere inn i denne typen funksjoner, kan du gå til teksten vår: Overjet-funksjon.
Injeksjonsfunksjon
En funksjon f: A → B vil være injiserende eller injiserende hvis, og bare hvis forskjellige elementer i domenet har forskjellige bilder i motdomenet, det vil si som bilder genereres av like elementer i domenet.
Merk at vilkåret er at forskjellige elementer i domenet forholder seg til forskjellige elementer i motdomenet, det er ikke noe problem med gjenværende elementer i motdomenet. For å forstå dette konseptet bedre, kan du lese teksten: Injektorfunksjon.
Bijector-funksjon
En funksjon f: A → B vil være bindende hvis, og bare hvis det er injektor og surjector samtidig, det vil si at forskjellige elementer i domenet har forskjellige bilder, og bildet sammenfaller med motdomenet.
- Eksempel
I begge tilfeller, begrunn om funksjonen f (x) = x2 det er injektor, surjector eller bijector.
De) f: ℝ+ → ℝ
Merk at funksjonens domene er alle positive realer, og motdomenet er alle reelle tall. Vi vet at funksjonen f er gitt av f (x) = x2, forestill deg nå at alle de positive reelle tallene er høy i kvadrat, vil alle bildene også være positive. Så vi kan konkludere med at funksjonen er injiserende og ikke surjektiv, siden negative reelle tall ikke vil motta piler.
Det injiserer, som hvert element i domenet (ℝ+) gjelder bare ett element i motdomenet (ℝ).
B) f: ℝ → ℝ+
Funksjonen har i dette tilfellet domenet som alle realer og motdomenet som positive realer. Vi vet at ethvert reelt tall i kvadrat er positivt, så alle elementene i motdomenet har mottatt piler, så funksjonen er surjectiv. Det injiseres ikke fordi domeneelementer er relatert til to motdomenene, for eksempel:
f(–2) = (–2)2 = 4
f(2) = (2)2 = 4
ç) f:ℝ+ → ℝ+
I dette eksemplet har funksjonen domene og motdomene som de positive reelle tallene, så funksjonen er bijector, fordi hvert positive reelle tall er relatert til en enkelt ekte nummer positivt av motdomenet, i dette tilfellet kvadratet av tallet. I tillegg mottok alle motdomenetallene piler.
sammensatt funksjon
DE sammensatt funksjon er assosiert med snarveiidee. Tenk på tre ikke-tomme sett A, B og C. Vurder også to funksjoner f og g, der funksjon f tar elementene x fra sett A til elementene y = f (x) fra sett B, og funksjon g tar elementene y = f (x) til elementene z fra sett C.
Den sammensatte funksjonen mottar dette navnet fordi det er et program som tar elementer fra sett A direkte til elementer fra sett C, uten å gå gjennom sett B, gjennom sammensetningen av funksjonene f og g. Se:
Funksjonen betegnet med (f o g) tar elementene fra sett A direkte til sett C. Det kalles en sammensatt funksjon.
- Eksempel
Tenk på funksjonen f (x) = x2 og funksjonen g (x) = x + 1. Finn de sammensatte funksjonene (f o g) (x) og (g o f) (x).
Funksjonen f o g er gitt av funksjonen g brukt på f, det vil si:
(f o g) (x) = f (g (x))
For å bestemme denne sammensatte funksjonen, må vi vurdere funksjonen f, og i stedet for variabelen x, må vi skrive funksjonen g. Se:
x2
(x + 1)2
(f o g) (x) = f (g (x)) = x2 + 2x + 1
På samme måte, for å bestemme komposittfunksjonen (g o f) (x), må vi bruke funksjonen f i rollen g, det vil si, vurder funksjonen g og skriv funksjonen f i stedet for variabelen. Se:
(x + 1)
x2 + 1
Derfor er den sammensatte funksjonen (g o f) (x) = g (f (x)) = x2 + 1.
Jevn funksjon
Vurder en funksjon f: A → ℝ, hvor A er en delmengde av de ikke-tomme realene. En funksjon f vil være til og med bare for alle reelle x.
Eksempel
Tenk på funksjonen f: ℝ → ℝ, gitt av f (x) = x2.
Merk at for en hvilken som helst reell x-verdi, hvis den er kvadratisk, er resultatet alltid positivt, det vil si:
f (x) = x2
og
f (–x) = (–x)2 = x2
Så f (x) = f (–x) for en hvilken som helst reell x-verdi, så funksjonen f det er par.
Les også:Kraftegenskapers - hva er de og hvordan på brukluft?
unik funksjon
Vurder en funksjon f: A → ℝ, hvor A er en delmengde av de ikke-tomme realene. En funksjon f vil bare være merkelig for alle reelle x.
- Eksempel
Tenk på funksjonen f: ℝ → ℝ, gitt av f (x) = x3.
Se at for hvilken som helst verdi av x kan vi skrive det (–x)3 = -x3. Sjekk ut noen eksempler:
(–2)3 = –23 = –8
(–3)3 = –33 = –27
Så vi kan si det:
f (–x) = (–x)3 = –x3
f (–x) = (–x)3 = –f (x)
Så for enhver ekte x f (–x) = –f (x), og så funksjonen f (x) = x3 er unik.
økende funksjon
En funksjon f é vokser i et intervall hvis og bare hvis bildene deres vokser når domeneelementene vokser. Se:
Merk at x1 > x2 og det samme skjer med bildet, slik at vi kan etablere en algebraisk tilstand for funksjonen f være vokser.
Synkende funksjon
En funksjon f é minkende med et intervall hvis og bare hvis bildene deres vokser når domeneelementene vokser. Se:
Se at i funksjonsdomenet har vi den x1 > x2, men dette forekommer ikke i funksjonsbildet, der f (x1)
konstant funksjon
Som navnet sier, a funksjonen er konstant når, for enhver verdi domene, er verdien av bildet alltid den samme.
relatert funksjon
DE affinefunksjon eller polynom av første grad er skrevet i form:
f (x) = ax + b
Der a og b er reelle tall, er a ikke null, og grafen din er en linje. Funksjonen har reelt domene og også reelt motdomene.
kvadratisk funksjon
DE kvadratisk funksjon eller polynomfunksjon av andre grad er gitt av en polynom av klasse to, og dermed:
f (x) = øks2 + bx + c
Der a, b og c er reelle tall med et nullpunkt, og grafen din er a lignelse. Rollen har også reelt domene og motdomene.
modulær funksjon
DE modulær funksjon med variabel x finner-hvis inne i modulen og algebraisk uttrykkes det av:
f (x) = | x |
Funksjonen har også reelt domene og motdomene, det vil si at vi kan beregne den absolutte verdien av et hvilket som helst reelt tall.
eksponentiell funksjon
DE eksponentiell funksjonviser variabelen x i eksponenten. Det har også reelt domene og reelt motdomene og blir beskrevet algebraisk av:
f (x) = ax
Der a er et reelt tall større enn null.
logaritmisk funksjon
DE logaritmisk funksjon har variabel i logaritme og domenet dannet av reelle tall større enn null.
Trigonometriske funksjoner
På trigonometriske funksjoner har variabel x som involverer trigonometriske forhold, de viktigste er:
f (x) = sin (x)
f (x) = cos (x)
f (x) = tg (x)
rotfunksjon
Rotfunksjonen er preget av å ha variabel inne i roten, med dette, hvis indeksen til roten er jevn, blir domenet til funksjonen bare de positive reelle tallene.
av Robson Luiz
Matematikklærer
I en metallurgisk industri tilsvarer produksjonskostnadene til en bildel en fast månedlig kostnad på R $ 5 000,00 pluss en variabel kostnad på R $ 55,00 per produsert enhet pluss 25% skatt på kostnaden variabel. Tatt i betraktning at salgsprisen for denne delen av industrien til selgere er R $ 102,00, bestemme:
a) kostnadsfunksjonen ved å produsere x stykker.
b) inntektsfunksjonen som henviser til salg av x stykker.
c) profittfunksjonen ved salg av x stykker.
BMI (Body Mass Index) er en matematisk funksjon som avgjør om en voksen person regnes som feit, overvektig, normal eller undervekt, som relaterer personens masse i kilogram til kvadratet av høydemålingen i meter. I følge tabellen nedenfor, bestem massen til en person som er 1,90 meter høy, slik at BMI blir ansett som normal.
