Trigonometri er et ord av gresk opprinnelse som refererer til målet på tre vinkler. Studier innen dette matematikkområdet fokuserer på trekanter, som er polygoner som har tre sider og følgelig tre vinkler. Først ble den trigonometri det er opptatt av å studere noen egenskaper og sammenhenger av rette trekanter for senere å relatere målingene av sidene av trekanten med målingene av vinklene.
Disse egenskapene og forholdene utvides til alle trekanter gjennom teoremer kjent som syndeloven og cosinus lov. Senere er noen av disse resultatene observert i trekanter hvis sider er bemerkelsesverdige segmenter av en sirkel, som er kjent som en "trigonometrisk sirkel".
DE trigonometri foreslår en stor nyhet. Før det var det bare mulig å vurdere beregninger og egenskaper som utelukkende involverer sider eller utelukkende vinkler av en trekant eller grunnleggende forhold mellom disse elementene. Ved ankomst er det mulig å relatere målene på sidene av en trekant direkte til målingen av en av vinklene. Det er bemerkelsesverdig at forholdet mellom de bemerkelsesverdige sidene og segmentene i en trekant også utgjør
trigonometri.Før du dykker ned i begrepet trigonometri, Det er viktig å vite hva som er de viktigste elementene i en rett trekant. Disse elementene er beskrevet nedenfor:
Elementer av en rett trekant
Hver høyre trekant kan deles inn i to andre høyre trekanter, som vist i figuren nedenfor, og sporer høyden "h" i forhold til basen "a".
Høyden på denne høyre trekanten danner to 90 ° vinkler med basen
Med tanke på trekanten ABD, rektangel i B, er det mulig å observere følgende elementer:
1 - Sidene AB og BD kalles sider og målene er henholdsvis c og b;
2 - AD-siden kalles hypotenusen og dens måling er a. Denne siden vil alltid være motsatt 90 ° vinkelen;
3 - BE er høyden på trekanten ABD i forhold til basen AD og dens måling er h. (husk at høyden alltid danner en vinkel på 90 ° med basen i forhold til den);
4 - AE er den ortogonale projeksjonen av AB-beinet over hypotenusen. Dens mål er m;
5 - ED er den ortogonale projeksjonen av BD-beinet over hypotenusen. Målingen er n.
Deretter presenterer og diskuterer vi noen egenskaper sett i trigonometri, basert på elementene i høyre trekant eksponert ovenfor.
Metriske forhold i høyre trekant
De er likheter som relaterer sider, høyde og ortogonale projeksjoner av en rett trekant:
1) c2 = gjennomsnitt
2) b · c = a · h
3) h2 = m · n
4) b2 = nei
5) den2 = b2 + c2 (Pythagoras teorem)
Trigonometriske forhold eller forhold i høyre trekant
Disse likhetene har forhold mellom sidene til en rett trekant og en av dens spisse vinkler. For å gjøre det er det nødvendig å fikse en av de to vinklene og observere, i høyre trekant, definisjonene av motsatt side og tilstøtende side:
Rektangeltrekant, fremhever α-vinkelen
BD er motsatt ben til vinkel α;
AB er tilstøtende ben til vinkel α.
Dette er forutsetningene for å definere trigonometriske forhold. Er de:
→ Sinus av α
sin α = Cathetus motsatt α
Hypotenuse
→ Cosine av α
cos α = Catheto ved siden av α
Hypotenuse
→ Tangens av α
tg α = Cathetus motsatt α
Catheto ved siden av α
Disse grunnene gjelder alle høyre trekant som har en spiss vinkel lik α. Resultatet av disse divisjonene er alltid det samme, uavhengig av lengden på siden av trekanten, som to trekanter som har to like vinkler, på grunn av trekantlignende vinkel-vinkel, har proporsjonale sider. Derfor følger det at forholdet mellom sidene er likt.
trigonometrisk sirkel
Også kalt en trigonometrisk syklus eller trigonometrisk sirkel (mer riktige, men mindre vanlige navn), det er en orientert sirkel med radius 1. På denne omkretsen, a høyre trekant, hvis vinkel α sammenfaller med opprinnelsen, slik at høyden på denne trekanten går fra abscissa-aksen til kanten av sirkelen.
Denne høyden sammenfaller med verdien av sinus, fordi det er motsatt side av vinkel α. Tiltaket som går fra det punktet hvor høyden møter aksen til abscissen til opprinnelsen, faller sammen med siden ved siden av vinkelen α, det vil si med verdien av cosinus.
Disse tilfeldighetene oppstår fordi hypotenusen alltid er 1, siden den er sirkelens radius. Legg merke til disse egenskapene i bildet nedenfor:
Sirkel med radius 1, der en høyre trekant er plassert for å evaluere dens egenskaper
Uansett den rette trekanten konstruert på denne sirkelen, siden som sammenfaller med en del av abscissa-aksen måler nøyaktig cosinusverdien til α og den andre siden måler nøyaktig sinus av α.
Trigonometriske funksjoner
Ved hjelp av den trigonometriske sirkelen er det mulig å definere trigonometriske funksjoner som relaterer hvert element av settet med reelle tall til et enkelt element også av settet med reelle tall. Imidlertid uttrykkes disse tallene i radianer, som er en måleenhet i funksjon av π brukt fordi, etter 360 ° i trigonometrisk sirkel, tellingen av grader og følgelig av domenet og motdomenene til en funksjon basert på den kan startes fra null.
grunnleggende forhold
De grunnleggende forholdene til trigonometri er:
1) Grunnleggende forhold 1
Sen2α + cos2α = 1
2) tangens av α
tg α = sin α
cos α
3) Kotangens av α, som er det motsatte av tangenten til α
cotg α = cos α
sin α
4) Sekant av α, som er det motsatte av cosinus av α
sek α = 1
cos α
5) Cossecant av α, som er det omvendte av sinus av α
cossec α = 1
sin α
6) Forhold som oppstår 1
tg2α + 1 = sek2α
7) Forhold 2
cotg2α + 1 = cossec2α
8) Gjentakende forhold 3
cotg α = 1
tg α
Av Luiz Paulo Moreira
Uteksamen i matematikk
Kilde: Brasilskolen - https://brasilescola.uol.com.br/o-que-e/matematica/o-que-e-trigonometria.htm