Studien om numeriske sett utgjør et av hovedområdene i matematikk, siden de er veldig viktige for den teoretiske utviklingen av området og har flere praktiske anvendelser. Numeriske sett består i å studere:
- naturlige tall;
- heltall;
- rasjonelle tall;
- irrasjonelle tall;
- reelle tall; og
- komplekse tall.
Les mer: Primtall - tall som bare har 1 og seg selv som delere
Sett med naturlige tall
Utviklingen av de første sivilisasjonene førte til forbedring av landbruk og handel, og følgelig ved hjelp av tall for å representere mengder. Det første settet kom naturlig, derav navnet. Det naturlige navngitte settet brukes til å representere mengder, det betegnes med symbol ℕ og er skrevet i sekvensform. Se:
O sett med tall naturaer é uendelig og lukket for drift av addisjon og multiplikasjon, det vil si når vi legger til eller multipliserer to naturlige tall, er svaret fremdeles naturlig. Imidlertid for subtraksjon og inndeling, settet er ikke lukket. Se:
5 – 6 = –1
3 ÷ 2 = 0,5
Merk at tallene –1 og 0,5 de tilhører ikke settet med naturer, og dette er rettferdiggjørelsen for å opprette og studere nye sett med tall.
Ved å plassere en stjerne (*) i symbolet for det naturlige settet, må vi fjerne tallet null fra listen, se:
hele tall satt
Hele tallsettet kom opp med trenger å utføre driften av subtraksjon ingen restriksjoner. Som vi har sett, når et mindre antall blir trukket fra et større, tilhører ikke svaret gruppen av naturlige.
Settet med heltall er også representert av en uendelig numerisk sekvens og betegnes med symbol ℤ.
Som i settet med naturlige tall, ved å plassere en stjerne i symbolet ℤ, fjernes elementet null fra settet, slik:
Symbolet (-) som følger med et tall, indikerer at det er symmetrisk, så det symmetriske tallet 4 er tallet –4. Vær også oppmerksom på at settet med naturlige tall er inneholdt i settet med hele tall, det vil si at settet med naturlige tall er en delmengde av settet med hele tall.
ℕ ⸦ ℤ
Les også: Operasjoner med heltall - hva er de og hvordan beregner man?
sett med rasjonelle tall
O sett med rasjonelle tall é representert av symbolet ℚ og er ikke representert av en numerisk sekvens. Dette settet består av alle tallene som kan representeres som en brøkdel. Vi representerer elementene som følger:
Vi vet at hvert heltall kan representeres av a brøkdel, det vil si at settet med hele tall er inneholdt i det av rasjonelle tall, så, settet med heltall er en delmengde av rasjonellene.
ℕ ⸦ ℤ ⸦ ℚ
Tall som har uendelig representasjon, for eksempel periodiske tiende, har også representasjon i form av en brøkdel, og dermed er de også rasjonelle.
Les også: Operasjoner med brøker - trinn for trinn hvordan du løser dem
Sett med irrasjonelle tall
Som vi har sett, er et tall rasjonelt hvis det kan skrives som en brøkdel. Det har også blitt sagt at uendelige og periodiske tall er rasjonelle, men det er noen tall som kan ikke skrives i form av en brøkdel og som derfor ikke tilhører settet med rasjonelle tall.
Disse ikke-rasjonelle tallene kalles irrasjonell og dens viktigste egenskaper er uendelig av desimaldelen og ikke-frekvens, det vil si at ingen tall i desimaldelen gjentas. Se noen eksempler på irrasjonelle tall.
- Eksempel 1
Kvadratrøttene til tall som ikke er perfekte firkanter.
- Eksempel 2
Konstanter som kommer av spesielle årsaker som gullnummer, Euler-nummer eller Pi.
Sett med reelle tall
O sett med reelle tall representeres av symbolet ℝ og er dannet av enhetav settet med rasjonelle tall med settet med irrasjonelle tall. Husk at rasjonalsettet er foreningen av naturlige og heltalsett.
Når vi ordner de reelle tallene på en linje, har vi at tallet null er opprinnelsen til linjen, til høyre for null vil de positive tallene være, og til venstre de negative tallene.
Siden denne aksen er reell, kan vi si at mellom to tall er det uendelige tall, og også at denne aksen er uendelig både i positiv retning når i negativ retning.
Sett med komplekse tall
O komplekse tallsett det er siste og den oppsto av samme grunn som settet med heltall, det vil si at det er en operasjon hvis utvikling bare med settet med virkeligheter ikke er mulig.
Løs følgende ligning, se at den ikke har noen løsning, bare kjenn de reelle tallene.
x2 + 1 = 0
x2 = –1
Merk at vi må finne et tall som når hevedO kvadrat, resulterer i et negativt tall. Vi vet det et hvilket som helst tall i kvadrat er alltid positivtDerfor har denne beregningen ingen reell løsning.
Dermed ble de komplekse tallene opprettet der vi har en imaginært nummer betegnet med Jeg, som har følgende verdi:
Så, innser at ligning at før hadde ingen løsning nå har det. Sjekk ut:
Les mer: Egenskaper som involverer komplekse tall
faktiske intervaller
I noen tilfeller vil vi ikke bruke alle reelle akser, det vil si at vi vil bruke deler av den som skal kalles pauser. Disse intervallene er delmengder av settet med reelle tall. Deretter vil vi etablere noen notasjoner for disse delmengdene.
Lukket rekkevidde - uten å ta med ekstremene
Et intervall lukkes når det har sine to ytterligheter, det vil si minimum og maksimum, og i dette tilfellet ytterligheter hører ikke hjemme i området. Vi vil betegne dette ved hjelp av en åpen ball. Se:
I rødt er tallene som tilhører dette området, det vil si at de er tall større enn a og mindre enn b. Algebraisk skriver vi et slikt intervall som følger:
< x
Hvor tallet x er alle reelle tall som er i dette området. Vi kan også representere det symbolsk. Se:
]De; B [ eller (De; B)
Lukket rekkevidde - inkludert ekstremer
La oss nå bruke lukkede baller for å representere det ytterpunktene hører til området.
Så vi samler reelle tall som er mellom a og b, inkludert dem. Algebraisk uttrykker vi et slikt intervall ved å:
den ≤ xb
Ved å bruke symbolsk notasjon har vi:
[De; B]
Lukket rekkevidde - inkludert en av ytterpunktene
Fortsatt å gjøre med lukkede intervaller, har vi nå tilfelle hvor bare ett av ytterpunktene er inkludert. Derfor vil ett av kulene lukkes, noe som indikerer at tallet tilhører området, og det andre ikke, noe som indikerer at tallet ikke tilhører det området.
Algebraisk representerer vi dette området som følger:
den ≤ x
Symbolsk har vi:
[De; B [ eller [De; B)
Åpen rekkevidde - ingen ende inkludert
Et utvalg åpnes når har ikke et maksimums- eller minimumselement. Nå vil vi se et åpent område tilfelle som bare har maksimalt element, som ikke er inkludert i området.
Se at sortimentet består av reelle tall mindre ennB, og merk deg også at tallet b som ikke tilhører området (åpen ball), så algebraisk kan vi representere intervallet med:
x
Symbolsk kan vi representere det ved:
] – ∞; B [ eller (– ∞; B)
Åpen rekkevidde - inkludert det ekstreme
Et annet eksempel på et åpent område er tilfellet der ekstremen er inkludert. Her har vi et område der minimumselementet vises, se:
Merk at alle reelle tall er større enn eller lik tallet a, så vi kan skrive dette området algebraisk ved:
xtil
Symbolsk har vi:
[De; +∞[ eller [De; +∞)
åpent område
Et annet tilfelle av åpen rekkevidde er dannet av tall større og mindre enn tallene som er festet på den virkelige linjen. Se:
Merk at de reelle tallene som tilhører dette området er de som er mindre enn eller lik tallet a, eller de som er større enn tallet b, så vi må:
x til ellerx > b
Symbolsk har vi:
] – ∞; a] U] b; + ∞[
eller
(– ∞; a] U (b; + ∞)
av Robson Luiz
Matematikklærer
Kilde: Brasilskolen - https://brasilescola.uol.com.br/matematica/conjuntos-numericos.htm
