Newtons binomial er hvilken som helst binomial hevet til et tall Nei på hva Nei det er et naturlig tall. Takk til fysikernes studier Isaac Newton om kreftene til binomialer, var det mulig sjekk regelmessigheter som letter representasjonen av polynomet generert fra kraften til et binomium.
Å observere disse regelmessighetene ble det også mulig finn bare ett av vilkårene i polynom, uten å måtte beregne det hele, ved hjelp av formelen for den generelle betegnelsen binomial. I tillegg la Newton merke til et forhold mellom kombinatorisk analysea og Newtons binomaler, hva som gjorde at Pascals trekant et flott verktøy for mer praktisk utvikling av et Newton binomium.
Les også: Briot-Ruffini-enhet - metode for å dele polynomer
Definisjon av Newtons binomial
Vi definerer som binomialpolynom som har to termer. I noen applikasjoner innen matematikk og fysikk er det nødvendig å beregne kreftene til et binomium. For å lette prosessen, Isaac Newton la merke til viktige regelmessigheter som tillater oss å finne polynomiet som skyldes kraften til et binomium.
I noen tilfeller er beregningen ganske enkel: bare utfør multiplikasjon av binomialet med seg selv ved hjelp av fordelingsegenskapen. Opp til en styrke av ordre 3 utvikler vi oss uten mye anstrengelse, da de er de velkjente bemerkelsesverdige produkter, men for høyere krefter, beregne fra multiplikasjonen av begrepet i seg selv Nei noen ganger er det mye arbeid.
Ikke stopp nå... Det er mer etter annonseringen;)
Eksempler
Husk at hvert tall som er hevet til null er lik 1, og at hvert tall som er hevet til 1 er i seg selv, noe som også gjelder for binomialene.
Newton la merke til en forholdet mellom koeffisientene til hvert av begrepene og kombinasjonen, som tillot beregning av kraften til et binomium mer direkte fra følgende formel:
Forstå formelen:
La oss først se på den bokstavelige delen av hvert begrep, som er bokstaven med dens eksponent. Merk at eksponenten for “a ”gikk ned, begynte med n, gikk deretter til n - 1, og så videre til det var 1 i nest siste term og 0 i siste periode (som gjør at bokstaven" a "ikke engang vises i siste periode).
identifiserende De og dens eksponenter:
La oss nå analysere eksponentene for "b", som alltid øker, og begynner med 0 i første periode ( som gjør at bokstaven b ikke vises i første periode), 1 i andre periode og så videre til den er lik De Neii siste periode.
identifiserende B og dens eksponenter:
Forstå den bokstavelige delen, la oss analysere koeffisientene, som alle er kombinasjoner av Nei elementer tatt fra 0 til 0, 1 til 1, 2 til 2, og så videre til siste periode, som er kombinasjonen av Nei elementer hentet fra Nei i Nei.
Det er bemerkelsesverdig at mestring av beregningen av kombinasjoner for å kunne finne koeffisientene. Husk at vi må beregne kombinasjoner:
Kombinasjonsresponsen er alltid en naturlig antall.
Se også: Polynomisk divisjon: hvordan løse det?
Eksempel: Beregn Newtons binomial (a + b) til fjerde kraft.
Første trinn: skriv polynomet ved hjelp av formelen.
2. trinn: beregne kombinasjonene.
Ved å erstatte kombinasjonene vil polynomet funnet være:
Du kan se at det fortsatt er arbeidskrevende å løse saker som dette, avhengig av eksponenten, men likevel er det raskere enn å beregne ved hjelp av den distribuerende eiendommen. Et verktøy som kan hjelpe til med denne beregningen er Pascals trekant.
Pascals trekant
Pascal-trekanten ble utviklet av Blaise Pascal under studiet av kombinasjoner. Han er en måte som gjør beregning av kombinasjoner enklere. Ved å bruke Pascal-trekanten blir det raskere og enklere å finne koeffisientene til de bokstavelige delene av et Newton binomium uten å måtte beregne alle kombinasjonene.
For å konstruere Pascals trekant direkte, la oss huske to situasjoner der kombinasjonsberegningen er lik 1.
Dermed er den første og siste termen av alle linjene alltid lik 1. De sentrale begrepene er bygget fra summen av begrepet over det pluss naboen fra forrige kolonne, som i representasjonen nedenfor:
For å bygge de neste linjene, husk bare at første periode er 1 og den siste også. Da er det nok å gjøre summene for å oppdage de sentrale begrepene.
Også tilgang: Teori for polynomisk nedbrytning
Eksempel: Beregn (a + b) til den sjette kraften.
Første trinn: bruk formelen til binomialet.
2. trinn: bygge Pascals trekant opp til 6. linje.
Tredje trinn: erstatt kombinasjonene med verdiene i linje 6, som er koeffisientene til hver av vilkårene i binomialet.
Det som bestemmer antall linjer vi skal bygge fra binomialet, er verdien av n. Det er viktig å huske at første linje er null.
Newtons binomiale generelle begrep
Newtons generelle begrep binomial er en formel som lar oss beregne en term på binomialet uten å måtte utvikle hele polynomet, det vil si identifisere noen av vilkårene fra første til siste. Med formelen beregner vi direkte begrepet vi leter etter.
De: første termin
B: andre termin
n: eksponent
p + 1: søkeord
Eksempel: Finn den 11. termen i binomialet (a + b)12.
Vedtak:
Se også: Demonstrasjoner gjennom av algebraisk kalkulus
løste øvelser
Spørsmål 1 - (Cesgranrio) Koeffisienten til x4 i polynomet P (x) = (x + 2)6:
a) 64
b) 60
c) 12
d) 4
e) 24
Vedtak
Vi ønsker å finne et bestemt begrep for å løse binomialet; for det må vi finne verdien av p.
Vi vet at den første termen i dette tilfellet er lik x, så n - p = 4, som n = 6, har vi:
Derfor er koeffisienten 60 (alternativ B).
Spørsmål 2 - (Unifor) Hvis den sentrale betegnelsen på binomial utvikling (4x + ky)10 for 8064x5y5, så vil alternativet som tilsvarer verdien av k være:
a) 1/4
b) 1/2
c) 1
d) 2
e) 4
Vedtak: Vi vet at det sentrale begrepet har like koeffisienter (p = 5). La oss finne det 6. begrepet, siden p + 1 = 6. Videre har vi at a = 4x; b = ky og n = 10, så:
Alternativ D.
Av Raul Rodrigues de Oliveira
Matematikklærer
