En av teknikkene som brukes til å løse kvadratiske ligninger er metoden kjent som komplette firkanter. Denne metoden består i å tolke ligning av sekundgrad som en perfekt firkantet trinomial og skriv din fakturerte form. Noen ganger avslører denne enkle prosedyren allerede røttene til ligningen.
Derfor er det nødvendig å ha grunnleggende kunnskap om bemerkelsesverdige produkter, trinomialtorgetPerfekt og polynomfaktorisering å bruke denne teknikken. Ofte tillater det imidlertid at beregninger kan gjøres "i hodet".
Derfor vil vi huske de tre tilfellene av Produkterbemerkelsesverdig før du demonstrerer metodeå fullførefirkanter, som igjen vil bli eksponert i tre forskjellige tilfeller.
Fremragende produkter og perfekte firkantede trinomials
Deretter kan du se det bemerkelsesverdige produktet trinomialtorgetPerfekt som tilsvarer det og formen fakturert av henholdsvis dette trinomialet. For å gjøre det, vurder at x er ukjent og De er et reelt tall.
(x + k)2 = x2 + 2kx + k2 = (x + k) (x + k)
(x - k)2 = x2 - 2kx + k2 = (x - k) (x - k)
Ligningen til andre grad som refererer til den tredje produktbemerkelsesverdig, kjent som produktet av summen og forskjellen, kan løses ved hjelp av en teknikk som gjør beregningene enda enklere. Som et resultat vil det ikke bli vurdert her.
Ligningen er det perfekte firkantede trinomialet
Hvis en ligning av sekundgrad er et perfekt kvadratisk trinomium, så kan du identifisere koeffisientene som: a = 1, b = 2k eller - 2k og c = k2. For å sjekke dette er det bare å sammenligne en kvadratisk ligning med en trinomialtorgetPerfekt.
Derfor, i løsningen av ligning av sekundgrad x2 + 2kx + k2 = 0, vi vil alltid ha muligheten til å gjøre:
x2 + 2kx + k2 = 0
(x + k)2 = 0
√ [(x + k)2] = √0
| x + k | = 0
x + k = 0
x = - k
- x - k = 0
x = - k
Dermed er løsningen unik og lik –k.
Hvis ligning være x2 - 2kx + k2 = 0, vi kan gjøre det samme:
x2 - 2kx + k2 = 0
(x - k)2 = 0
√ [(x - k)2] = √0
| x - k | = 0
x - k = 0
x = k
- x + k = 0
- x = - k
x = k
Derfor er løsningen unik og lik k.
Eksempel: Hva er røttene til ligning x2 + 16x + 64 = 0?
Merk at ligningen er a trinomialtorgetPerfekt, siden 2k = 16, hvor k = 8, og k2 = 64, hvor k = 8. Så vi kan skrive:
x2 + 16x + 64 = 0
(x + 8)2 = 0
√ [(x + 8)2] = √0
x + 8 = 0
x = - 8
Her er resultatet forenklet, ettersom vi allerede vet at de to løsningene vil være like det reelle tallet.
Ikke stopp nå... Det er mer etter annonseringen;)
Ligningen er ikke et perfekt kvadratisk trinomial
I tilfeller der ligning av sekundgrad ikke er et perfekt kvadratisk trinomium, kan vi vurdere følgende hypotese for å beregne resultatene:
x2 + 2kx + C = 0
Merk at for at denne ligningen skal bli til a trinomialtorgetPerfekt, bare erstatt verdien av C med verdien av k2. Siden dette er en ligning, er den eneste måten å gjøre dette på å legge til k2 på begge medlemmer, og bytter deretter medlemskoeffisienten C. Se:
x2 + 2kx + C = 0
x2 + 2kx + C + k2 = 0 + k2
x2 + 2kx + k2 = k2 - Ç
Etter denne prosedyren kan vi fortsette med den forrige teknikken, transformere trinomialtorgetPerfekt til bemerkelsesverdig produkt og beregning av kvadratrøttene på begge lemmer.
x2 + 2kx + k2 = k2 - Ç
(x + k)2 = k2 - Ç
√ [(x + k)2] = √ (k2 - Ç)
x + k = ± √ (k2 - Ç)
± tegnet vises når resultatet av a ligning er kvadratrot, fordi i disse tilfellene er kvadratrotresultatet a modul, som vist i det første eksemplet. Til slutt er det bare å gjøre:
x = - k ± √ (k2 - Ç)
Så disse ligninger har to resultater ekte og tydelig, eller ikke noe reelt resultat når C> k2.
For eksempel, beregne røttene til x2 + 6x + 8 = 0.
Løsning: Merk at 6 = 2 · 3x. Derfor er k = 3 og derfor k2 = 9. Derfor er tallet som vi må legge til i begge medlemmer lik 9:
x2 + 6x + 8 = 0
x2 + 6x + 8 + 9 = 0 + 9
x2 + 6x + 9 = 9 - 8
x2 + 6x + 9 = 1
(x + 3)2 = 1
√ [(x + 3)2] = ± √1
x + 3 = ± 1
x = ± 1-3
x ’= 1 - 3 = - 2
x ’’ = - 1 - 3 = - 4
I så fall koeffisienten a ≠ 1
når koeffisienten De, gir ligning av sekundgrad, er forskjellig fra 1, bare del hele ligningen med den numeriske verdien til koeffisienten De for deretter å bruke en av de to foregående metodene.
Så i 2x ligningen2 + 32x + 128 = 0, vi har den unike roten lik 8, fordi:
2x2+ 32x + 128 = 0
2 2 2 2
x2 + 16x + 64 = 0
Og i 3x ligningen2 + 18x + 24 = 0, vi har røttene - 2 og - 4, fordi:
3x2 + 18x + 24 = 0
3 3 3 3
x2 + 6x + 8 = 0
Av Luiz Paulo Moreira
Uteksamen i matematikk
