Algebra det er grenen av matematikk som generaliserer aritmetikk. Dette betyr at begreper og operasjoner fra aritmetikk (addisjon, subtraksjon, multiplikasjon, divisjon osv.) vil bli testet og deres effektivitet vil bli bevist for alle tall som tilhører visse sett numerisk.
Fungerer "tillegg" -operasjonen for eksempel virkelig på alle tall som tilhører settet med naturlige tall? Eller er det noe veldig stort naturlig tall, nær uendelig, som oppfører seg annerledes enn andre når det legges sammen? Svaret på dette spørsmålet er gitt av algebra: For det første er settet med naturlige tall definert og operasjonen legger til; da er det bevist at tilleggsoperasjonen fungerer for et hvilket som helst naturlig tall.
OSS algebra studier, bokstaver brukes til å representere tall. Disse bokstavene kan representere enten ukjente tall eller et hvilket som helst tall som tilhører et numerisk sett. Hvis x for eksempel er et partall, kan x være 2, 4, 6, 8, 10,... På denne måten er x hvilket som helst tall som tilhører settet med partall og det er klart hva slags tall x er: et multiplum av 2.
Egenskaper ved matematiske operasjoner
Å vite at et hvilket som helst tall som tilhører et sett kan representeres av en bokstav, anser tallene x, y og z som tilhørende settet med tall. ekte og operasjonene addisjon og multiplikasjon representert av henholdsvis “+” og “·”. Så følgende egenskaper er gyldige for x, y og z:
1 - Associativitet
(x + y) + z = x + (y + z)
(x · y) · z = x · (y · z)
2 - Kommutativitet
x + y = y + x
x · y = y · x
3 - Eksistensen av et nøytralt element (1 for multiplikasjon og 0 for tillegg)
x + 0 = x
x · 1 = x
4 - Eksistensav motsatt (eller symmetrisk) element.
x + (–x) = 0
x · 1 = 1
x
5 - Distribusjon (også kalt den fordelende egenskapen til multiplikasjon over tillegg)
x · (y + z) = x · y + x · z
Disse fem eiendommer er gyldige for alle reelle tall x, y og z, da disse bokstavene ble brukt til å representere et hvilket som helst reelt tall. De er også gyldige for tilleggs- og multiplikasjonsoperasjoner.
algebraiske uttrykk
I matematikk, uttrykk er en sekvens av matematiske operasjoner utført med noen tall. For eksempel: 2 + 3 - 7 er et numerisk uttrykk. Når dette uttrykket involverer ukjente tall (ukjente), kalles det algebraisk uttrykk. Et algebraisk uttrykk som bare har ett begrep kalles et monomium. Noen algebraisk uttrykk det er resultatet av addisjon eller subtraksjon mellom to monomier kalles et polynom.
algebraiske uttrykk, monomials og polynomials er eksempler på elementer som tilhører algebra, da de er sammensatt fra operasjoner utført med ukjente tall. Husk at et ukjent nummer kan representere et hvilket som helst tall i et sett med tall.
Ikke stopp nå... Det er mer etter annonseringen;)
Ligninger
Ligninger de er algebraiske uttrykk som har likhet. Og dermed, ligning det er et innhold i matematikk som relaterer tall til ukjente gjennom en likestilling.
Tilstedeværelsen av det ukjente er det som klassifiserer ligning som algebraisk uttrykk. Tilstedeværelsen av likhet gjør det mulig å finne løsningen på en ligning, det vil si den numeriske verdien av det ukjente.
Eksempler
1) 2x + 4 = 0
2) 4x - 4 = 19 - 8x
3) 2x2 + 8x - 9 = 0
Roller
Den formelle definisjonen av funksjon er som følger: yrke det er en regel som knytter hvert element i et sett til et enkelt element i et annet sett.
Denne regelen er matematisk representert av et algebraisk uttrykk som har likhet, men som knytter det ukjente til det ukjente. Dette er forskjellen mellom funksjon og ligning: ligningen relaterer et ukjent til et fast tall; på yrke, det ukjente representerer et helt numerisk sett. Av denne grunn, innen funksjoner, kalles ukjente variabler, da de kan ta en hvilken som helst verdi innenfor settet de representerer.
Ettersom det innebærer algebraiske uttrykk, yrke det er også et innhold som tilhører algebra, siden bokstavene representerer et hvilket som helst tall som tilhører et sett med tall.
Eksempler:
1) Vurder funksjonen y = x2, hvor x er noe ekte nummer.
I dette yrke, variabelen x kan ta en hvilken som helst verdi innenfor settet med reelle tall. Siden regelen som forbinder tallene representert med x til tallene som er representert med y, er en grunnleggende matematisk operasjon, så y representerer også reelle tall. Den eneste detaljene om dette er at y ikke kan representere et negativt reelt tall i denne funksjonen, siden y er resultatet av en eksponentkraft på 2, som alltid vil ha et positivt resultat.
2) Tenk på funksjonen y = 2x, der x er a naturlig antall.
I dette yrke, kan variabelen x ta en hvilken som helst verdi innenfor settet med naturlige tall. Disse tallene er de positive heltallene, så verdiene som y kan ta er naturlige tall multipler av 2. På denne måten er y en representant for settet med partall.
Fra klassisk algebra til abstrakt algebra
Konseptene som er oppført så langt utgjør klassisk algebra. Denne delen av algebra er mer knyttet til sett med naturlige, heltall, rasjonelle, irrasjonelle, reelle og komplekse tall og studeres i både grunnskole og høyere utdanning. Den andre delen av algebra, kjent som abstrakt, studerer de samme strukturene, men for alle sett.
Således, gitt ethvert sett, med noen elementer (tall eller ikke), er det mulig å definere en operasjon "tillegg", en operasjon "multiplikasjon" og verifisere eksistensen eller ikke av egenskapene til disse operasjonene, samt gyldigheten av "ligninger", "funksjoner", "polynomer" etc.
Av Luiz Paulo Moreira
Uteksamen i matematikk