DE aritmetisk progresjon (AP) er numerisk sekvens som vi bruker for å beskrive oppførselen til visse fenomener i matematikk. I en PA, vekst eller forfall er alltid konstant, det vil si fra et begrep til et annet, vil forskjellen alltid være den samme, og denne forskjellen er kjent som grunn.
Som et resultat av forutsigbar oppførsel av en progresjon, kan du beskrive det fra en formel kjent som generell betegnelse. Av samme grunn er det også mulig å beregne summen av vilkårene til en PA ved hjelp av en bestemt formel.
Les også: Geometrisk progresjon - hvordan beregne?
Hva er en PA?
Å forstå at en PA er en sekvens av begreper der forskjellen mellom et begrep og dets forrige er alltid konstant, for å beskrive denne progresjonen fra en formel, må vi finne den innledende termen, eller det vil si den første termen for en progresjon, og dens årsak, som er denne konstante forskjellen mellom vilkår.
Generelt sett er PA skrevet slik:
(De1, a2,De3, a4,De5, a6,De7, a8)
Den første perioden er a1 og fra det til legge til grunnen r, la oss finne etterfølgerbetingelsene.
De1 + r = a2
De2 + r = a3
De3 + r = a4
...
Så, for å skrive den aritmetiske progresjonen, må vi vite hvem som er første periode og hvorfor.
Eksempel:
La oss skrive de seks første vilkårene i en AP og vite at dens første periode er 4 og forholdet er lik 2. å vite1 = 4 og r = 2, konkluderer vi med at denne progresjonen starter ved 4 og øker fra 2 til 2. Derfor kan vi beskrive begrepene.
De1 = 4
De2 = 4+ 2 = 6
De3 = 6 + 2 = 8
De4 = 8 + 2 = 10
De5= 10 + 2 = 12
De6 = 12 + 2 =14
Denne BP er lik (4,6,8,10,12,14…).
Ikke stopp nå... Det er mer etter annonseringen;)
Generell periode for en PA
Å beskrive PA fra en formel gjør det enkelt for oss å finne noen av vilkårene. For å finne et begrep for en AP, bruker vi følgende formel:
DeNei= a1 + r · (n-1) |
N → er posisjonen til begrepet;
De1→ er første begrep;
r → grunn.
Eksempel:
Finn det generell periode for PA (1,5,9,13,…) og 5., 10. og 23. termin.
Første trinn: finn årsaken.
For å finne forholdet, beregn bare forskjellen mellom to påfølgende ord: 5 - 1 = 4; da, i dette tilfellet, r = 4.
2. trinn: finn det generelle begrepet.
Hvordan vet vi at1= 1 og r = 4, la oss erstatte i formelen.
DeNei= a1 + r (n - 1)
DeNei= 1 + 4 (n - 1)
DeNei= 1 + 4n - 4
DeNei= 4n - 3 → generell betegnelse på PA
Tredje trinn: Når vi kjenner det generelle begrepet, la oss beregne 5., 10. og 23. termin.
5. termin → n = 5
DeNei= 4n - 3
De5=4·5 – 3
De5=20 – 3
De5=17
10. termin → n = 10
DeNei= 4n - 3
De10=4·10 – 3
De10=40 – 3
De10=37
23. termin → n = 23
DeNei= 4n - 3
De23=4·23 – 3
De23=92 – 3
De23=89
Typer av aritmetiske progresjoner
Det er tre muligheter for en PA. Det kan være økende, avtagende eller konstant.
Vokser
Som navnet antyder, øker en aritmetisk progresjon når, når vilkårene øker, øker også verdien., det vil si at det andre begrepet er større enn det første, det tredje er større enn det andre, og så videre.
De1
For at dette skal skje, må forholdet være positivt, det vil si at en PA øker hvis r> 0.
Eksempler:
(2,3,4,5,6,7,8,9 …)
(0,5,10,15,20,25...)
synkende
Som navnet antyder, synker en aritmetisk progresjon når, når vilkårene øker, reduseres verdien, det vil si at den andre termen er mindre enn den første, den tredje er mindre enn den andre, og så videre.
De1 >2 >3 >4 > …. >Nei
For at dette skal skje, må forholdet være negativt, det vil si at en PA øker hvis r <0.
Eksempler:
(10,9,8,7,6,5,4,3,2, …)
(0, -5, -10, -15, -20, …)
Konstant
En aritmetisk progresjon er konstant når, når vilkårene øker, forblir verdien den samme., det vil si at den første termen er lik den andre, som er lik den tredje, og så videre.
De1 = den2 = den3 = den4 = …. = aNei
For at en PA skal være konstant, må forholdet være lik null, det vil si r = 0.
Eksempler:
(1,1,1,1,1,1,1….)
(-2, -2 -2, -2, …)
Se også: Produkt av vilkårene for en PG - hva er formelen?
Egenskaper til en PA
1. eiendom
Gitt en periode på en PA, vil gjennomsnitt aritmetikk mellom etterfølgeren og forgjengeren er lik det begrepet.
Eksempel:
Tenk på progresjonen (-1, 2, 5, 8, 11) og begrepet 8. Gjennomsnittet mellom 11 og 5 er lik 8, det vil si at summen av etterfølgeren med forgjengeren av et tall i PA alltid er lik dette tallet.
2. eiendom
Summen av likeverdige termer er alltid lik.
Eksempel:
Summen av vilkårene for en PA
Anta at vi vil legge til de seks BP-begrepene vist ovenfor: (16,13,10,7,4,1). Vi kan ganske enkelt legge til vilkårene deres - i så fall er det få vilkår, det er mulig - men hvis det er det en lengre streng, bør du bruke eiendommen. Vi vet at summen av ekvivalente termer alltid er lik, slik vi så på eiendommen, så hvis vi utfører dette legg til en gang og multipliser med halvparten av mengden vilkår, vi har summen av de seks første vilkårene for PANNE.
Merk at vi i eksemplet beregner summen av det første og det siste, som er lik 17, multiplisert med halvparten av mengden av termer, det vil si 17 ganger 3, som er lik 51.
Formelen for summen av vilkårene for en PA den ble utviklet av matematikeren Gauss, som innså denne symmetrien i aritmetiske progresjoner. Formelen er skrevet som følger:
sNei → sum av n elementer
De1 → første periode
DeNei → siste periode
n → antall ord
Eksempel:
Beregn summen av oddetall fra 1 til 2000.
Vedtak:
Vi vet at denne sekvensen er en PA (1,3,5,…. 1997, 1999). Å utføre summen ville være mye arbeid, så formelen er ganske praktisk. Fra 1 til 2000 er halvparten av tallene odde, så det er 1000 oddetall.
Data:
n → 1000
De1 → 1
DeNei → 1999
Også tilgang: Summen av en endelig PG - hvordan gjør jeg det?
Interpolering av aritmetiske midler
Å vite to ikke-sammenhengende termer av en aritmetisk progresjon, er det mulig å finne alle begrepene som faller mellom disse to tallene, det vi vet som interpolering av aritmetiske midler.
Eksempel:
La oss interpolere 5 aritmetiske midler mellom 13 og 55. Det betyr at det er 5 tall mellom 13 og 55, og de danner en progresjon.
(13, ___, ___, ___, ___, ___, 55).
For å finne disse tallene er det nødvendig å finne årsaken. Vi kjenner den første perioden (1 = 13) og også den 7. termin (den7= 55), men vi vet at:
DeNei = den1 + r · (n - 1)
Når n = 7 → aNei= 55. Vi vet også verdien av en1=13. Så når vi erstatter den i formelen, må vi:
55 = 13 + r · (7 - 1)
55 = 13 + 6r
55 - 13 = 6r
42 = 6r
r = 42: 6
r = 7.
Å vite årsaken, kan vi finne begreper som er mellom 13 og 55.
13 + 7 = 20
21 + 7 = 27
28 + 7 = 34
35 + 7 = 41
41 + 7 = 49
(13, 20, 27, 34, 41, 49, 55)
løste øvelser
Spørsmål 1 - (Enem 2012) - Å spille kort er en aktivitet som stimulerer resonnement. Et tradisjonelt spill er Solitaire, som bruker 52 kort. Opprinnelig ble syv kolonner dannet med kortene. Den første kolonnen har ett kort, den andre har to kort, den tredje har tre kort, den fjerde har fire kort, og så videre suksessivt til den syvende kolonnen, som har syv kort, og hva som utgjør bunken, som er de ubrukte kortene i kolonner.
Antall kort som utgjør bunken er:
A) 21.
B) 24.
C) 26.
D) 28.
E) 31.
Vedtak
Alternativ B.
La oss først beregne det totale antallet kort som ble brukt. Vi jobber med en AP hvis første periode er 1 og forholdet også er 1. Så når man beregner summen av de 7 radene, er den siste termen 7 og verdien av n er også 7.
Å vite at det totale antallet brukte kort var 28 og at det er 52 kort, blir bunken dannet av:
52 - 28 = 24 kort
Spørsmål 2 - (Enem 2018) Rådhuset i en liten by i interiøret bestemmer seg for å sette stolper for belysning rundt langs en rett vei som starter ved et sentralt torg og ender ved en gård i området. landlig. Siden torget allerede har belysning, vil den første polen plasseres 80 meter fra torget, den andre på 100 meter, den tredje på 120 meter og så videre. suksessivt, alltid holde en avstand på 20 meter mellom stolpene, til den siste stolpen er plassert i en avstand på 1380 meter fra torget.
Hvis byen maksimalt kan betale R $ 8000,00 per innlegg, er det høyeste beløpet du kan bruke på å plassere disse innleggene:
A) 512 000,00 BRL.
B) 520 000,00 BRL.
C) R $ 528 000,00.
D) 552 000,00 BRL.
E) 584 000,00 BRL.
Vedtak
Alternativ C.
Vi vet at innlegg vil bli plassert hver 20. meter, det vil si r = 20, og at den første perioden av denne PA er 80. Vi vet også at siste periode er 1380, men vi vet ikke hvor mange termer det er mellom 80 og 1380. For å beregne dette antall ord, la oss bruke den generelle formelformelen.
Data: aNei = 1380; De1=80; og r = 20.
DeNei= a1 + r · (n-1)
660 innlegg vil bli plassert. Hvis hver enkelt koster maksimalt R $ 8000, er det høyeste beløpet som kan brukes på plassering av disse innleggene:
66· 8 000 = 528 000
Av Raul Rodrigues de Oliveira
