DE combinatorische analyse is een vakgebied in de wiskunde in verband met telregels. In het begin van de 18e eeuw zorgde de studie van spellen met dobbelstenen en kaarten ervoor dat teltheorieën een grote ontwikkeling doormaakten.
Het werk van combinatoriek maakt het mogelijk om steeds nauwkeuriger tellingen te realiseren.Het basisprincipe van tellen (PFC), de faculteit en de soorten groepering zijn voorbeelden van concepten die zijn bestudeerd in combinatorische analyse, die, naast het verstrekken van groter precisie helpt Neede ontwikkeling van andere gebieden van de wiskunde, zoals: De waarschijnlijkheid en O De binomiaal van Newton.
Lees ook: regeling of çcombinatie?
Waar is combinatorische analyse voor?
Combinatorische analyse wordt geassocieerd met het telproces, dat wil zeggen dat de studie van dit gebied van wiskunde ons in staat stelt hulpmiddelen te ontwikkelen die ons helpen presteren telt efficiënter. Laten we eens kijken naar een typisch telprobleem, zie:
voorbeeld 1
Beschouw drie steden A, B en C verbonden door snelwegen R
1, R2, R3, R4 en R5. Bepaal op hoeveel manieren we van stad A naar stad C kunnen komen via stad B.
Merk op dat we stad A moeten verlaten en naar stad B moeten gaan, en alleen dan kunnen we naar stad C reizen, dus laten we alle mogelijkheden om het evenement langs de snelwegen uit te voeren.
1e manier: R1 → R3
2e manier: R1 → R4
3e manier: R1 → R5
4e manier: R2 → R3
5e manier: R2 → R4
6e manier: R2 → R5
We hebben dus zes verschillende manieren om via stad B van stad A naar stad C te komen. Merk echter op dat het voorgestelde probleem relatief eenvoudig is en dat de uitgevoerde analyse weinig arbeidsintensief was. Dus vanaf nu gaan we meer geavanceerde tools bestuderen die het mogelijk maken om problemen op te lossen met veel minder werk.
Fundamenteel principe van tellen (PFC)
Beschouw een gebeurtenis E die kan worden uitgevoerd in n onafhankelijke en opeenvolgende stappen. Bedenk nu dat het aantal mogelijkheden om de eerste stap uit te voeren gelijk is aan P1, stel je ook voor dat het aantal mogelijkheden om de tweede fase uit te voeren P is.2, enzovoort, totdat we de laatste fase bereiken, die P. heeftNee mogelijkheden uit te voeren.
Het fundamentele principe van tellen (PFC) stelt dat de totale mogelijkheden van het houden van het evenement E wordt gegeven door:
P1 ·P2 · … · PNee
Het totaal wordt dus gegeven door het product van de mogelijkheden van elk van de stappen die gebeurtenis E vormen. Merk op dat, om de totale mogelijkheden voor het houden van evenement E te bepalen, het noodzakelijk is om de totale mogelijkheden voor elk van de fasen te kennen.
Voorbeeld 2
Laten we voorbeeld 1 opnieuw doen met behulp van het fundamentele principe van tellen.
Beschouw de afbeelding in voorbeeld 1.
Merk op dat het evenement in twee fasen kan worden uitgevoerd, de eerste gaat van stad A naar stad B en de tweede gaat van stad B naar stad C. Om de eerste stap uit te voeren, hebben we twee mogelijkheden (wegen R1 en R2), en om de tweede fase uit te voeren, hebben we drie mogelijkheden (R3, R4 en R5).
1e stap → twee mogelijkheden
2e graad → drie mogelijkheden
Volgens het fundamentele principe van tellen, moeten we: vermenigvuldigen de totale mogelijkheden van elke stap.
2 · 3
6
Om van stad A naar stad C te gaan via stad B hebben we dus in totaal zes mogelijkheden.
Voorbeeld 3
Op hoeveel manieren kunnen de drie Olympische medailles worden verdeeld in een competitie van Mountain bike met vijf concurrenten?
Het organiseren van de uitreiking van medailles is een evenement dat in drie fasen kan worden uitgevoerd. De eerste stap is het analyseren van de totale mogelijkheden van wie de gouden medaille zal krijgen, dat wil zeggen, vijf mogelijkheden.
De tweede stap is het analyseren van de mogelijkheden van wie de zilveren medaille zal krijgen, dat wil zeggen, vier, aangezien de eerste plaats deze keuze niet invoert. De derde stap is het analyseren van de totale mogelijkheden van wie de bronzen medaille zal krijgen, dat wil zeggen, drie, aangezien de eerste twee al gekozen zijn.
1e stap → vijf mogelijkheden
2e graad → vier mogelijkheden
3e graad → drie mogelijkheden
Dus, volgens het fundamentele principe van tellen, hebben we:
5 · 4 · 3
60 mogelijkheden
Zie ook: Additief telprincipe - vereniging van een of meer sets
faculteit
O faculteit is een manier om ontbind een natuurlijk getal. Om de faculteit van een getal te berekenen, vermenigvuldigt u het gewoon met al zijn voorgangers tot het getal 1. De faculteit wordt weergegeven door het uitroepteken - "!".
Bekijk enkele voorbeelden van het berekenen van de faculteit van sommige getallen.
De) 2! (lees: twee faculteit)
Voor de berekening vermenigvuldigt u gewoon het getal dat bij de faculteit hoort met al zijn voorgangers tot het getal 1, als volgt:
2! = 2 ·1 = 2
B) 4! = 4 · 3 · 2 ·1 = 24
ç) 5! = 5 · 4 · 3 · 2 · 1 = 120
d) 1! = 1
Formeel kunnen we de faculteit als volgt schrijven:
Beschouw een natuurlijk getal n > 2. De faculteit van n wordt aangegeven met n! en wordt gegeven door n te vermenigvuldigen met al zijn positieve gehele voorgangers.
Nee! = n (n – 1) · (n – 2) · (n – 3) · … · 1
Let op de volgende faculteiten:
4! en 5!
Voer nu de ontwikkeling van beide uit:
5! = 5 · 4 · 3 · 2 · 1
4! = 4 · 3 · 2 ·1
Merk op dat in de ontwikkeling van 5! blijkt de ontwikkeling van 4!. Dus we kunnen de 5 schrijven! dus:
5! = 5 · 4 · 3 · 2 · 1
5! = 5 · 4!
Voorbeeld 4
Bereken de faculteit secgehuil:
Zie dat de 15! werd ontwikkeld tot de 13!. Merk ook op dat, in de teller van de breuk, de elementen worden vermenigvuldigd, dus we kunnen de 13! "knippen", wat resulteert in slechts 15 · 14.
observatie:0! = 1
Groepstypes
Sommige telproblemen zijn complexer en gemakkelijker op te lossen met nieuwe tools. Deze tools worden groeperen genoemd omdat ze elementen op verschillende manieren groeperen, waardoor het telproces eenvoudiger wordt. Deze groeperingen zijn: eenvoudige rangschikking, permutatie en eenvoudige combinatie.
eenvoudige regeling
Beschouw een verzameling met n verschillende elementen. laten we het noemen arrangement van n de elementen genomen van p naar p, elke reeks geordend door p, en de afzonderlijke elementen gekozen uit de elementen.
Het aantal deelverzamelingen gevormd door p elementen zal dus de rangschikking zijn van n elementen genomen van p tot p. De formule waarmee we het aantal arrangementen kunnen berekenen, wordt gegeven door:
Voorbeeld 5
Bereken de waarde van A4,2 + A5,2.
Laten we, om de waarde van de uitdrukking te berekenen, elk van de arrays bepalen en deze waarden bij elkaar optellen. Om de waarde van elke array te bepalen, moeten we de waarden in de formule vervangen.
Merk op dat n = 4 en p = 2, beide zijn vervangen in de formule. Nu moeten we de waarde berekenen van de reeks van vijf elementen, twee aan twee genomen.
We moeten dus:
DE4,2 + A5,2
12 + 20
32
Voorbeeld 6
Hoeveel verschillende natuurlijke getallen van vier cijfers kunnen worden gevormd met de getallen 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8 en 9?
In dit probleem kunnen we de eenvoudige rangschikking gebruiken, sinds 2435 ≠ 4235. We zullen zien dat in sommige gevallen de volgorde van de elementen hen niet onderscheidt, en daarom kunnen we de rangschikking niet gebruiken.
Aangezien we het totaal aan getallen willen bepalen dat kan worden gevormd, merk je op dat het totaal aan elementen gelijk is aan acht, en we willen ze vier bij vier groeperen, dus:
eenvoudige permutatie
Beschouw een verzameling met n elementen. laten we het noemen eenvoudige permutatie van n elementen elke rangschikking van n elementen genomen n tot n. Dus we moeten:
Laten we, zodat er geen verwarring is tussen de concepten, de eenvoudige permutatie van n elementen aanduiden met PNee. Dus we moeten:
PNee = n!
Voorbeeld 7
Bereken P7 en P3.
Om deze permutaties te berekenen, moeten we de waarden in de formule vervangen. Kijken:
P7 = 7 · 6 · 5· 4 · 3 · 2 · 1
P7 = 5040
P3 = 3 · 2 · 1
P3 = 6
Voorbeeld 8
Bepaal hoeveel anagrammen er in het woord Brazilië kunnen staan.
We begrijpen als anagram alle mogelijke transposities van de letters van het woord, bijvoorbeeld "Lisarb" is een anagram van het woord Brazilië. Om het aantal anagrammen te bepalen, moeten we de permutatie van de letters in het woord berekenen, dus we moeten:
P6 = 6!
P6 = 6 · 5 · 4 · 3 · 2 · 1
P6 = 720
Daarom heeft het woord Brazilië 720 anagrammen.
Ook toegang: Permutatie met herhaalde elementen
eenvoudige combinatie
Beschouw een verzameling A met n verschillende elementen. laten we het noemen combinatie van de n elementen genomen p naar p elke subset van A gevormd door p elementen. De formule voor het berekenen van de combinatie wordt gegeven door:
Voorbeeld 9
Bereken de combinatie van 10 elementen genomen van vier tot vier.
Voorbeeld 10
Hoeveel vierhoeken onderscheiden kunnen we vormen met hoekpunten op punten A, B, C, D, E en F?
Merk op dat de ABCD-vierhoek in deze context hetzelfde is als de CDBA-vierhoek, dus we moeten de combinatie gebruiken en geen arrays. We hebben in totaal zes punten en we willen ze vier bij vier combineren, zoals dit:
Daarom kunnen we 15 verschillende vierhoeken vormen.
Combinatorische analyse en waarschijnlijkheid
De studie van waarschijnlijkheid is nauw verwant aan de studie van combinatorische analyse.. Bij sommige kansproblemen is het nodig om de steekproefruimte te bepalen, die bestaat uit een verzameling gevormd door alle mogelijke uitkomsten van een bepaalde gebeurtenis.
In sommige gevallen wordt de voorbeeldruimte E heel direct geschreven, zoals bij het opgooien van een eerlijke munt, waarbij de mogelijke uitkomsten kop of munt zijn en als volgt worden aangegeven:
E = {koppen, staarten}
Stel je nu de volgende situatie voor: er wordt drie keer achter elkaar een dobbelsteen gegooid en we zijn geïnteresseerd in het bepalen van de monsterruimte voor dit experiment. Merk op dat het opschrijven van alle mogelijkheden niet langer een eenvoudige taak is, we moeten het fundamentele principe van tellen (PFC) gebruiken. Het evenement kan in drie fasen worden uitgevoerd, in elk van hen hebben we zes mogelijkheden, aangezien een dobbelsteen zes gezichten heeft, zoals deze:
1e graad → zes mogelijkheden
2e graad → zes mogelijkheden
3e graad → zes mogelijkheden
Volgens de PFC hebben we dat het totaal aan mogelijkheden is:
6 · 6 · 6
216
We kunnen dus zeggen dat de steekproefruimte van deze gebeurtenis 216 is.
Zie dat voor de studie van waarschijnlijkheid het is een basiskennis van combinatorische analyse is vereist., omdat het onmogelijk is om de overgrote meerderheid van waarschijnlijkheidsoefeningen op te lossen zonder de steekproefruimte van een experiment te bepalen. Voor meer details over dit gebied van wiskunde, lees de tekst:Waarschijnlijkheid.
opgeloste oefeningen
vraag 1 – Bepaal het aantal anagrammen van het woord kasteel. Bepaal vervolgens het aantal anagrammen dat begint met de letter c.
Resolutie
Om het aantal anagrammen te bepalen, moeten we de permutatie van het aantal letters berekenen, als volgt:
P7 = 7!
P7 = 7 · 6 · 5 · 4 · 3 · 2 · 1
P7 = 5040
Het woord heeft 5040 anagrammen. Om nu het aantal anagrammen te bepalen dat met de letter c begint, moeten we de letter corrigeren en het anagram van de andere berekenen, zie:
Ç__ __ __ __ __ __
Als we de letter c fixeren, merk dan op dat er nog zes velden over zijn om de permutatie te berekenen, zoals deze:
P6 = 6!
P6 = 6 · 5 · 4 · 3 · 2 · 1
P6 = 720
We hebben dus 720 anagrammen van het woord kasteel dat begint met de letter c.
vraag 2 – In een klaslokaal zitten vijf mannen en zeven vrouwen. Hoeveel groepen van drie mannen en vier vrouwen kunnen worden gevormd?
Resolutie
Zie eerst dat de volgorde waarin we mensen kiezen er niet toe doet, bijvoorbeeld de groep gevormd door João, Marcos en José is dezelfde groep gevormd door Marcos, João en José, daarom moeten we de combinatie gebruiken voor de berekening.
Laten we afzonderlijk het aantal groepen berekenen dat door mannen en vrouwen kan worden gevormd, en in Laten we deze resultaten dan vermenigvuldigen, want elke groep mannen kan zich mengen met elke groep van Dames.
Mannen
Totaal → 5
Aantal in groep → 3
Dames
Totaal → 7
Aantal in groep → 4
Het totale aantal groepen dat gevormd kan worden door drie mannen en vier vrouwen is dus:
Ç5,3 · Ç7,4
10 · 35
350
door Robson Luiz
Wiskundeleraar
Bron: Brazilië School - https://brasilescola.uol.com.br/matematica/analise-combinatoria.htm