Alle bestaande getallen zijn gemaakt op basis van menselijke behoeften op het moment van creatie, zoals het geval is met natuurlijke getallen, wat: zijn gemaakt om "voorraden" te tellen en te controleren, en irrationele getallen, die zijn vastgesteld om problemen op te lossen met betrekking tot: wortels. Het waren precies de problemen met wortels die de kennis over de complexe getallen.
De kwadratische vergelijking x2 + 4x + 5 = 0 heeft geen echte wortels. Dit betekent dat het binnen de verzameling reële getallen onmogelijk is om waarden voor x te vinden die gelijk zijn aan de eerste term van deze vergelijking tot de tweede. We observeren dit fenomeen vanaf het begin van de formule van Bhaskara:
Δ = 42 – 4·1·5
Δ = 16 – 20
Δ = – 4
Zodra een negatieve waarde is gevonden voor Δ, wordt het onmogelijk om verder te gaan met de formule van Bhaskara, omdat het vereist dat √Δ (wortel van delta) wordt berekend. Nu weten we dat √– 4 niet kan worden berekend omdat er geen reëel getal is dat, vermenigvuldigd met zichzelf, zou resulteren in – 4.
Om aan deze behoeften te voldoen, zijn complexe getallen gemaakt. Vanaf de oprichting kan de √-4 als volgt worden ontwikkeld:
√– 4 = √(– 1·4) = √(– 1)·22 = 2√(– 1)
Een √(– 1) wordt opgevat als een nieuw type getal. De verzameling van al deze getallen staat bekend als de verzameling complexe getallen, en elke vertegenwoordiger van deze nieuwe verzameling is als volgt gedefinieerd: Laat A een complex getal zijn, dan,
A = De + Bik waar Deen B zijn reële getallen en i = √(– 1)
In deze definitie De Het is bekend als echt deel van A en B Het is bekend als denkbeeldige deel van A.
Eigenschappen van complexe getallen
Reële getallen vertegenwoordigen, in hun geheel en geometrisch, een lijn. Complexe getallen vertegenwoordigen op hun beurt een heel vlak. Het Cartesiaanse vlak dat wordt gebruikt om de complexe getallen weer te geven, staat bekend als het Argand-Gauss-vlak.
Elk complex getal kan op het Argand-Gauss-vlak worden weergegeven als een coördinatenpunt (a, b). De afstand van het punt dat een complex getal voorstelt tot het punt (0,0) wordt de modulus van het complexe getal genoemd., die is gedefinieerd:
Laat A = a + bi een complex getal zijn, de modulus is |A| = a2 + b2
Complexe getallen hebben ook een invers element, een conjugaat genaamd. Het is gedefinieerd als:
Laat A = a + bi een complex getal zijn,
Ā = a – bi is de geconjugeerde van dit getal.
Eigenschap 1: Het product van een complex getal en zijn geconjugeerde is gelijk aan de som van de kwadraten van het reële deel en het imaginaire deel van het complexe getal. Wiskundig:
AĀ = a2 + b2
Voorbeeld: Wat is het product van A = 2 + 5i door zijn geconjugeerde?
Maak gewoon de berekening: a2 + b2 = 22 + 52 = 4 + 25 = 29. Als we ervoor zouden kiezen om de geconjugeerde van A te schrijven en daarna de vermenigvuldiging AĀ uit te voeren, zouden we hebben:
AĀ = (2 + 5i) (2 - 5i)
AĀ = 4 – 10i + 10i + 25
AĀ = 4 + 25
AĀ = 29
Dat wil zeggen, met behulp van de voorgestelde eigenschap is het mogelijk om een lange berekening en fouten tijdens deze berekeningen te vermijden.
Niet stoppen nu... Er is meer na de reclame ;)
Eigenschap 2: Als een complex getal A gelijk is aan zijn geconjugeerde, dan is A een reëel getal.
Laat A = a + bi. Als A =, dan:
a + bi = a - bi
bi = - bi
b = - b
Daarom, b = 0
Daarom is het verplicht dat elk complex getal dat gelijk is aan zijn geconjugeerde ook een reëel getal is.
Woning 3: De geconjugeerde van de som van twee complexe getallen is gelijk aan de som van de geconjugeerde van deze getallen., dat is:
_____ _ _
A + B = A + B
Voorbeeld: Wat is de geconjugeerde som van 7 + 9i en 2 + 4i?
____ ____
7 + 9i + 2 + 4i = 7 – 9i + 2 – 4i = 9 – 13i
U kunt eerst optellen en vervolgens de vervoeging van het resultaat berekenen, of u kunt eerst de vervoegingen doen en daarna de resultaten toevoegen.
Woning 4: De conjugaat van het product tussen twee complexe getallen is gelijk aan het product van hun conjugaten, d.w.z:
__ _ _
AB = A·B
Voorbeeld: Wat is het product van de conjugaten van A = 7i + 10 en B = 4 + 3i?
(10 + 7i)·(4 + 3i) = (10 – 7i)·(4 – 3i) = 40 – 30i – 28i – 21 = 19 – 58i
Afhankelijk van de noodzaak van de oefening, is het mogelijk om eerst te vermenigvuldigen en daarna de conjugaat te berekenen, of de conjugaten weer te geven voordat de vermenigvuldiging wordt uitgevoerd.
Woning 5: Het product van een complex getal A en zijn geconjugeerde is gelijk aan het kwadraat van de modulus van A, d.w.z:
AĀ = |A|2
Voorbeeld: A = 2 + 6i, dan AĀ = |A|2 = (√a2 + b2)2 = (√22 + 62)2 = 22 + 62 = 4 + 16 = 20. Merk op dat het niet nodig is om het geconjugeerde te vinden en een vermenigvuldiging uit te voeren door de distributieve eigenschap van vermenigvuldiging over optellen (bekend als kleine douchekop).
Woning 6: De modulus van een complex getal is gelijk aan de modulus van zijn geconjugeerde. Met andere woorden:
|A| = |Ā|
Voorbeeld: Vind de modulus van het geconjugeerde van het complexe getal A = 3 + 4i.
Merk op dat het niet nodig is om het geconjugeerde te vinden, aangezien de modules hetzelfde zijn.
|A| = √(a2 + b2)= √(32 + 42) = √(9 + 16) = √25 = 5
Als |Ā| zou worden berekend, zou de enige verandering a. zijn B negatief kwadraat, wat een positief resultaat heeft. Het resultaat zou dus nog steeds de wortel van 25 zijn.
Woning 7: Als A en B complexe getallen zijn, dan is het modulusproduct van A en B gelijk aan de modulus van het product van A en B., dat wil zeggen:
|AB| = |A||B|
Voorbeeld: Laat A = 6 + 8i en B = 4 + 3i, hoeveel is |AB|?
Merk op dat het niet nodig is om complexe getallen te vermenigvuldigen voordat de modulus wordt berekend. Het is mogelijk om de modulus van elk complex getal afzonderlijk te berekenen en vervolgens de resultaten te vermenigvuldigen.
|A| = √(62 + 82) = √(36 + 64) = √100 = 10
|B| = √(42 + 32) = √(16 + 9) = √25 = 5
|AB| = |A||B| = 10,5 = 50
Door Luiz Paulo Moreira
Afgestudeerd in wiskunde
Wil je naar deze tekst verwijzen in een school- of academisch werk? Kijken:
SILVA, Luiz Paulo Moreira. "Eigenschappen met complexe getallen"; Brazilië School. Beschikbaar in: https://brasilescola.uol.com.br/matematica/propriedades-envolvendo-numeros-complexos.htm. Betreden op 28 juni 2021.
