U driehoeken hebben opmerkelijke punten met veel toepassingen.. Sommige van deze elementen, zoals hoogte, mediaan, bissectrice en bissectrice, worden gegeven door rechte segmenten binnen de driehoek hebben ze belangrijke kenmerken en toepassingen, niet alleen in de wiskunde.
We weten dat het snijpunt van twee of meer rechte lijnen wordt gegeven door een punt, dus de ontmoeting van deze segmenten vormen punten met belangrijke kenmerken en eigenschappen, ze zijn:
- orthocentrum
- barycentrum
- circumcenter
- centrum
driehoek hoogte
de hoogte van een driehoek is het segment gevormd door de vereniging van een van de hoekpunten met zijn tegenoverliggende zijde of zijn verlenging, waarin een hoek van 90° wordt gevormd tussen het segment en de zijkant. In elke driehoek is het mogelijk om drie. te tekenen relatieve hoogten naar elke kant. Kijken:
het segment AG is de hoogte ten opzichte van zijde BC, en het segment
DH is de hoogte ten opzichte van de EF-zijde. Merk op dat voor het bepalen van de hoogte ten opzichte van de EF-zijde een verlenging van de zijde nodig was.Orthocentrum
Het orthocentrum is het snijpunt van de hoogten ten opzichte van de drie hoekpunten, dat wil zeggen, het is ontmoetingspunt tussen alle hoogten van een driehoek.
Het punt O is het orthocentrum van driehoek ABC.
Het orthocentrum heeft enkele belangrijke eigenschappen in sommige soorten driehoeken, zie:
→ Nee acute driehoek, de hoogten en het orthocenter bevinden zich binnen de figuur.
→ In één rechthoekige driehoek, vallen twee hoogten samen met de twee zijden, een andere hoogte bevindt zich binnen de driehoek en het orthocentrum bevindt zich op het hoekpunt van die driehoek, die een hoek van 90 ° heeft.
→ In één stompe driehoek, een van de hoogten bevindt zich binnen de driehoek en de andere twee bevinden zich daarbuiten, het orthocentrum bevindt zich ook aan deze buitenkant.
Lees ook: Driehoeksclassificaties: criteria en namen
mediaan-
De mediaan van een driehoek is het segment gevormd door de vereniging van een van zijn hoekpunten met het middelpunt van de zijde tegenover dat hoekpunt. Merk op dat het in een driehoek mogelijk is om drie medianen te bepalen ten opzichte van elke zijde, zie:
Het lijnsegment CD is de mediaan ten opzichte van zijde AB. Merk op dat dit segment zijde AB in twee gelijke delen heeft gesplitst, dat wil zeggen in tweeën.
Barycentrum
Het barycentrum wordt gegeven door de snijpunt van de drie medianen van een driehoek, dat wil zeggen, door het ontmoetingspunt van de drie medianen, zie:
Het punt G is het middelpunt van driehoek ABC.
Net als in het orthocentrum heeft het barycentrum enkele belangrijke eigenschappen, zie:
→ Het zwaartepunt bepaalt in elk van de mediaansegmenten die aan elk van de gelijkheden voldoen.
voorbeeld 1
Wetende dat punt G in de volgende afbeelding het zwaartepunt van driehoek ABC is en dat GD = 3 cm, bepaal dan de lengte van segment CG.
Van de eigenschappen van het barycentrum weten we dat de verhouding tussen het GD- en CG-segment gelijk is aan de helft. Door deze waarden in de relatie te vervangen, hebben we dus:
→ Gezien de definitie van mediaan, zie dat alle mediaanen binnen de driehoek liggen, zodat we kunnen concluderen dat het zwaartepunt van elke driehoek bevindt zich ook altijd binnen de figuur.. Deze waarneming is geldig voor elke driehoek.
Het zwaartepunt geeft ons ook een belangrijk fysiek kenmerk van driehoeken, omdat het ons in staat stelt ze in evenwicht te brengen, dat wil zeggen de barycentrum is het zwaartepunt van een driehoek.
Zie ook: Sinus, cosinus, tangens - trigonometrische verhoudingen
Middelares
De bissectrice van een driehoek wordt gegeven door a loodlijn die door het middelpunt aan één kant van deze driehoek gaat.
Circumcenter
Het circumcenter wordt bepaald door de vergadering van de bissectrices, dat wil zeggen, door de kruising tussen hen. Als we een driehoek voorstellen ingeschreven in a omtrek, zullen we zien dat het circumcenter het middelpunt van deze omtrek is, zie:
Het punt Mis het circumcenter van driehoek ABC en het middelpunt van de omtrek. De punten H, I en J zijn respectievelijk de middelpunten van de zijden CB, CA en AB.
Het circumcenter heeft ook enkele eigenschappen wanneer het wordt getekend op de rechthoekige driehoek, de stompe hoek en de scherpe hoek.
→ Het middelpunt in de rechthoekige driehoek is het middelpunt van de hypotenusa.
→ Het circumcenter in a stompe driehoek zit aan de buitenkant.
→ Het circumcenter in a acute driehoek het blijft binnen.
Ook toegang: Cirkel en omtrek - wat zijn de verschillen?
Bissectrice
De bissectrice van een driehoek wordt gegeven door de rechte lijn die een interne hoek van de driehoek verdeelt. Let er bij het tekenen van de interne bissectrice op dat we drie interne bissectrices hebben ten opzichte van de drie zijden van de driehoek:
centrum
Het centrum wordt gegeven door snijpunt van de bissectrices van een driehoek, dat wil zeggen, het wordt gegeven door de ontmoeting van deze halve rechte stukken. Omdat de bissectrices intern zijn, zal het incenter ook altijd binnen de driehoek liggen.
Incentro heeft een aantal handige eigenschappen om een aantal problemen op te lossen, bekijk er enkele:
→ Het middelpunt van een cirkel ingeschreven in een driehoek valt samen met het incenter van die figuur.
→ Het incenter van een driehoek is op gelijke afstand van al zijn zijden, dat wil zeggen dat de afstanden tussen het incenter en de drie zijden van de driehoek allemaal gelijk zijn.
Oefeningen opgelost
vraag 1 – Wetende dat het segment in het binnenste de bissectrice is ten opzichte van de zijde AC en dat de afmetingen in de figuur de hoek weergeven gedeeld door de bissectrice, bepaalt de waarde van x.
Resolutie
Door een bissectrice te definiëren, weten we dat deze de interne hoek van een driehoek in tweeën deelt, dat wil zeggen in twee gelijke delen, dus we moeten:
5x -10 = 3x + 20
het oplossen van eerstegraads vergelijking, moeten we:
5x – 10 = 3x + 20
5x - 3x = 20 + 10
2x = 30
x = 15
Dus x = 15.
vraag 2 – Het loodrechte lijnstuk dat van een hoekpunt van een driehoek naar een van zijn zijden wordt getrokken, wordt genoemd:
de hoogte
b) bissectrice
c) bissectrice
d) mediaan
e) basis
Resolutie
Uit de definities die we bestudeerden, zagen we dat de enige die aan de uitingsvoorwaarde voldoet, hoogte is. Onthoud dat hoogte het segment is dat loodrecht staat op één zijde van een driehoek.
door Robson Luiz
Wiskundeleraar
Bron: Brazilië School - https://brasilescola.uol.com.br/matematica/pontos-notaveis-de-um-triangulo.htm