Vergelijkingen van het type cos x = a

Goniometrische vergelijkingen zijn gelijkheden waarbij goniometrische functies van onbekende bogen betrokken zijn. Het oplossen van deze vergelijkingen is een uniek proces dat gebruik maakt van reductietechnieken tot eenvoudigere vergelijkingen. Laten we de concepten en definities van vergelijkingen in de vorm behandelen cosx = a.
Goniometrische vergelijkingen in de vorm cosx = α hebben oplossingen in het interval –1 ≤ x ≤ 1. Het bepalen van de waarden van x die aan dit type vergelijking voldoen, zal aan de volgende eigenschap voldoen: Als twee bogen gelijke cosinuslijnen hebben, dan zijn ze congruent of complementair..
Zij x = α een oplossing van de vergelijking cos x = α. De andere mogelijke oplossingen zijn de bogen die congruent zijn met de boog α of met de boog – α (of met de boog 2π – α). Dus: cos x = cos. Let op de weergave in de trigonometrische cyclus:

We concludeerden dat:
x = α + 2kπ, met k Є Z of x = – α + 2kπ, met k Є Z
voorbeeld 1
Los de vergelijking op: cos x = √2/2.
Uit de tabel met trigonometrische verhoudingen komt que2/2 overeen met een hoek van 45º. Dan:


cos x = √2/2 → cos x = π/4 (π/4 = 180º/4 = 45º)
Dus de vergelijking cosx = √2/2 heeft als oplossing alle bogen die congruent zijn met de boog π/4 of –π/4 of zelfs 2π – π/4 = 7π/4. Let op de afbeelding:

We concluderen dat de mogelijke oplossingen van de vergelijking cos x = √2/2 zijn:
x = π/4 + 2kπ, met k Є Z of x = – π/4 + 2kπ, met k Є Z
Voorbeeld 2
Los de vergelijking op: cos 3x = cos x
Als de 3x- en x-bogen congruent zijn:
3x = x + 2kπ
3x - x = 2kπ
2x = 2kπ
x = kπ
Als de 3x- en x-bogen complementair zijn:
3x = –x + 2kπ
3x + x = 2kπ
4x = 2kπ
x = 2kπ/4
x = kπ/2
De oplossing van de vergelijking cos 3x = cos x is {x Є R / x = kπ of x = kπ/2, met k Є Z}.

door Mark Noah
Afgestudeerd in wiskunde

Bron: Brazilië School - https://brasilescola.uol.com.br/matematica/equacoes-tipo-cos-x-a.htm

Braziliaanse etnische samenstelling

Braziliaanse etnische samenstelling

Zoals bekend is Brazilië een land met een grote etnische diversiteit, dat wil zeggen dat het een ...

read more
Alfa-emissie (α). emissie van alfadeeltjes

Alfa-emissie (α). emissie van alfadeeltjes

De belangrijkste radioactieve emissies zijn alfa (α), bèta (β) en gamma (γ). In dit artikel zulle...

read more
Celkern: wat is het, componenten en functies

Celkern: wat is het, componenten en functies

O kern is een belangrijke structuur gevonden in eukaryotische cellenen afwezig in prokaryotische ...

read more