U numerieke sets zijn groeperingen van getallen die ze scheiden op basis van hun belangrijkste kenmerken en ook rekening houdend met hun creatieproces. de set van irrationele nummers is degene wiens elementen zijn decimale getallen dat kan niet het gevolg zijn van divisie tussen twee gehele getallen. Deze definitie is het tegenovergestelde van de definitie van rationaal getal: elk getal dat kan worden geschreven in de vorm van fractie.
Korte geschiedenis
Rationele getallen zijn gemaakt vanuit de behoefte om objecten tussen mensen te verdelen. Later, de getallenlijn, waarbij elk punt overeenkomt met een enkel reëel getal. Toen ze het dieper analyseerden, realiseerden de wiskundigen zich dat er "gaten" in de getallenlijn waren en dat er geen rationale getallen waren die verband hielden met deze punten. Aanvankelijk bestond het vermoeden dat er veel meer getallen waren dan alleen rationale getallen (set die natuurlijke en gehele getallen bevat).
In de loop van de tijd realiseerde men zich dat deze hiaten moesten worden opgevuld met oneindige decimale getallen en niet met periodieke. Beetje bij beetje realiseerde men zich ook dat sommige van deze decimalen konden worden weergegeven door
wortels niet precies.Weergave van irrationale getallen op de getallenlijn
Teken een vierkant van zijde 1, met een van de hoekpunten aan de oorsprong van een getallenlijn, en bereken de diagonale meting door de stelling van Pythagoras:
De diagonaal van vierkante zijde 1 berekenen om het irrationele getal √2. weer te geven
d2 = 12 + 12
d2 = 1 + 1
d2 = 2
d = √2
Wetende dat de diagonaal van dit vierkant √ 2 meet, gebruik gewoon een kompas om deze maat naar de te "transporteren" getallenlijn. Plaats net onder het vierkant het vaste uiteinde van het vierkant aan het begin van de diagonaal en het beweegbare uiteinde aan het einde. Draai het kompas en markeer waar dit uiteinde de getallenlijn raakt.
Welke getallen zijn irrationeel?
U irrationele nummers zijn degenen die niet rationeel zijn. Zijn vertegenwoordigers zijn dus:
Alle eenmalige oneindige decimalen
Merk op dat het onderstaande getal niet periodiek is, maar oneindig lang kan duren.
1,2345678910111213141516171819202122...
Sommige van deze getallen kunnen worden weergegeven door onnauwkeurige wortels en andere zijn zo belangrijk dat ze een "naam" hebben gekregen.
Opmerkelijke irrationele getallen
Binnen de set van irrationele nummers er zijn enkele elementen die in de oudheid door grote wiskundigen werden gebruikt. We zullen er hier slechts twee uitlichten: π en φ.
Het irrationele getal π wordt verkregen uit het resultaat van de deling tussen de lengte en de diameter van een cirkel en vertegenwoordigt het getal dat begint met de volgende decimalen:
3,14159265358979...
Aangezien dit getal oneindig veel decimalen heeft en geen periodiek decimaalteken is, is het irrationeel.
Het gouden getal, weergegeven door de Griekse letter φ, verwijst naar de perfecte verhouding en is evenredig met:
1 + √5
2
Dus het getal φ = 1.6180339... is ook een irrationeel nummer.
Door Luiz Paulo Moreira
Afgestudeerd in wiskunde
Bron: Brazilië School - https://brasilescola.uol.com.br/o-que-e/matematica/o-que-e-conjunto-dos-numeros-irracionais.htm