O rechthoekige driehoek krijgt deze naam omdat een van zijn hoeken heeft een maat van 90º, dat wil zeggen, het is een rechte hoek. Als een van de meest bestudeerde polygonen in vlakke geometrie, was het mogelijk om enkele relaties te zien tussen de hoeken en ook tussen de zijkanten van deze figuur.
O De stelling van Pythagoras, het is bijvoorbeeld ontwikkeld nadat men zich realiseerde dat er een verband bestaat tussen de afmetingen van de zijden van de driehoek. Dus, als je de afmetingen van twee zijden van de driehoek kent, is het mogelijk om de waarde van de derde zijde te berekenen. De stelling van Pythagoras zegt dat de som van het kwadraat van de benen altijd gelijk is aan het kwadraat van de hypotenusa.
Naast de stelling van Pythagoras, was een ander belangrijk gebied dat door de studies van deze driehoek werd ontwikkeld de trigonometrie, waarin de verhoudingen tussen de zijden van de driehoek, bekend als sinus, cosinus en tangens, worden ontwikkeld. Om deze redenen werd opgemerkt dat er een verhouding is tussen de afmetingen van de zijden van rechthoekige driehoeken die gelijke hoeken hebben.
Lees ook: Wat zijn de opmerkelijke punten van een driehoek?
Functies van de rechter driehoek
De rechthoekige driehoek is a veelhoek met drie zijdenen drie hoeken, en een van deze hoeken is recht, dat wil zeggen, hij heeft 90º. De andere twee hoeken zijn scherp, dat wil zeggen kleiner dan 90º. De langste zijde, die altijd tegenover de hoek van 90 ° is, staat bekend als hypotenusa, en de andere twee heten pekari's.
De rechthoekige driehoek behoudt alle bekende eigenschappen van de gemeenschappelijke driehoek, zoals het feit dat De som van interne hoeken gelijk zijn aan 180º. Omdat de som altijd 180º is en een van zijn hoeken al 90º heeft, kunnen we zeggen dat de andere twee hoeken altijd complementair zijn, dat wil zeggen dat hun som ook gelijk is aan 90º.
a en b → borsten
c → hypotenusa
Omtrek van de rechthoekige driehoek
De omtrek van elke veelhoek is de lengte van de som van al zijn zijden. Dus, om de omtrek van de rechthoekige driehoek te berekenen, tel je gewoon de zijden op.
P = a + b + c
rechthoekig gebied
DE driehoeksgebied rechthoek, evenals a driehoek elke, is de helft van het product tussen de basis en de hoogte. Het bijzondere aan de rechthoekige driehoek is dat een van zijn benen samenvalt met zijn hoogte, omdat ze loodrecht op elkaar staan, dus om de oppervlakte te berekenen, we vermenigvuldigen de benen en delen het resultaat door twee.
Voorbeeld:
Bereken de omtrek en het gebied van de rechthoekige driehoek hieronder, wetende dat de zijden in centimeters worden gegeven.
P = 8 + 15 + 17
P = 40 cm
Laten we nu de oppervlakte berekenen:
Zie ook: De oppervlakte van een driehoek berekenen met hoeken
de stelling van Pythagoras
De bekendste stelling in de wiskunde is zonder twijfel de stelling van Pythagoras. Uit deze stelling was het mogelijk om te zien dat de zijden van een rechthoekige driehoek als volgt gerelateerd zijn: gegeven een willekeurige rechthoekige driehoek, de som van het kwadraat van de benen is gelijk aan het kwadraat van de hypotenusa.
a² + b² = c²
a en b → borsten
c → hypotenusa
Uit deze stelling is het mogelijk om de waarde van beide zijden van een rechthoekige driehoek te vinden, zolang de andere twee maar bekend zijn.
Voorbeeld:
Wat is de waarde van de schuine zijde van de rechthoekige driehoek hieronder, wetende dat de afmetingen in centimeters worden gegeven?
Als we de stelling van Pythagoras toepassen, moeten we:
6² + 8² = x²
36 + 64 = x²
100 = x²
x² = 100
x=√100
x = 10 cm
Lees de tekst voor meer informatie over deze belangrijke relatie: TPythagoras' eorem.
Trigonometrie in de rechthoekige driehoek
De naam trigonometrie verwijst al naar het object van studie:
- tri → drie;
- gono → hoek;
- metriek → metriek of meting.
Trigonometrie is dus het gebied van de wiskunde dat bestudeert de relatie tussen de metingen van de hoeken van de driehoek en hier blijven we bij de rechthoekige driehoek. Trigonometrie bestudeert de verhouding tussen de zijden van de driehoek volgens zijn hoek. Hiermee was het mogelijk om belangrijke concepten te ontwikkelen, wat de redenen zijn sinus, cosinus en tangens. Het is vermeldenswaard dat andere trigonometrische redenen werden ontwikkeld met de verdieping van de studie van trigonometrie in de trigonometrische cirkel.
Voordat u begrijpt wat elk van deze verhoudingen is, is het belangrijk om te begrijpen wat een tegenoverliggende zijde is en wat een aangrenzende zijde is onder een hoek van een driehoek.
Zoals we hebben gezien, is de hypotenusa is de zijde vertegenwoordigd door segment AB, aangezien het altijd de langste zijde van de driehoek is en ook de zijwaarts gerichte hoek van 90º. De andere zijden staan bekend als benen. Afhankelijk van de hoek die we als referentie nemen, kan de zijde tegenover of aangrenzend zijn.
De pekari staat bekend als het tegenovergestelde wanneer hij naar de hoek kijkt. De zijde overstaande hoek ꞵ is bijvoorbeeld de zijde AC; aan de andere kant is de zijde die tegenover de hoek lado staat, de zijde BC.
O pekari staat bekend als aangrenzend wanneer hij vormt de hoek nabij de hypotenusa. Merk op dat hoek tussen zijde BC en AB ligt. Aangezien AB de schuine zijde van de rechthoekige driehoek is, is AB een been dat grenst aan hoek ꞵ. Met dezelfde redenering is het mogelijk om te zien dat de lado AC is de aangrenzende zijde van hoek ɑ.
Door elke zijde van de driehoek te begrijpen, is het mogelijk om de te begrijpen trigonometrische verhoudingen.
Om trigonometrische verhoudingen toe te passen, moeten we de opmerkelijke hoeken kennen, dat wil zeggen de hoeken van 30º, 45º en 60º. De meeste examen- en toelatingsexamenproblemen zijn gekoppeld aan deze invalshoeken, en het is daarom noodzakelijk om de waarden van de redenen voor elk van hen te kennen.
Zie de tabel met de sinus-, cosinus- en tangenswaarden voor de opvallende hoeken:
Als je de waarde van de trigonometrische verhoudingen van de driehoek kent door middel van een zijde en een hoek, is het mogelijk om alle zijden van een rechthoekige driehoek uit trigonometrie te vinden.
Voorbeeld:
Zoek de waarde van x.
Laten we, om de waarde van x te vinden, eens kijken naar de gegeven hoek. Merk op dat het grenst aan de zijde waarvan we de maat kennen, dat wil zeggen, AC grenst aan de hoek van 30°. Vervolgens passen we de raaklijnverhouding toe, die de aangrenzende zijde en de hypotenusa met elkaar in verband brengt. Als we naar de tabel kijken, weten we ook dat cosinus van 30° gelijk is aan √ 3/2.
Ook toegang: 4 meest voorkomende fouten in basis trigonometrie
opgeloste oefeningen
Vraag 1 - (IFG) Theodoliet is een precisie-instrument voor het meten van horizontale en verticale hoeken, gebruikt in de bouw. Een bedrijf werd ingehuurd om een gebouw van vier verdiepingen te schilderen. Om de totale te schilderen oppervlakte te weten te komen, moet ze de hoogte van het gebouw vinden. Eén persoon plaatst het instrument op 1,65 meter hoogte en vindt een hoek van 30°, zoals weergegeven in de afbeelding. Ervan uitgaande dat de theodoliet zich op 13√3 meter van het gebouw bevindt, wat is dan de hoogte, in meters, van het te schilderen gebouw?
A) 11.65
B) 12.65
C) 13.65
D) 14.65
E) 15,65
Resolutie
Alternatief D.
Omdat we de zijde tegenover de hoek van 30° willen vinden, wetende dat de 13√3-afstand, de afstand van de theodoliet tot het gebouw, de zijde is die grenst aan de hoek van 30°, zullen we de raaklijn gebruiken:
Nu tellen we 13 + 1,65 = 14,65 meter hoog op.
Vraag 2 - Om op zijn eigendom te planten, verdeelde een boer zijn bebouwbare land in de rechthoekige vorm in tweeën, op zijn diagonaal, en vormde twee rechthoekige driehoeken. In deze divisie wordt de helft van het land omheind met draad, met behulp van 4 draden. Hoeveel zal er aan draad worden uitgegeven, wetende dat de afmetingen van het land 20 meter breed en 21 meter lang zijn?
A) 29 meter
B) 70 meter
C) 140 meter
D) 210 meter
E) 280 meter
Resolutie
Alternatief E.
Laten we eerst de terreindiagonaal vinden, de hypotenusa van de rechthoekige driehoek. Om het makkelijker te maken, maken we een foto van de situatie:
We moeten dus:
d² = 20² + 21²
d² = 400 + 441
d² = 841
d = √841
d=29
Om rond te gaan, moeten we 29 + 20 + 21 = 70 meter afleggen, evenals 4 ronden, 70 · 4 = 280 meter.
Door Raul Rodrigues de Oliveira
Wiskundeleraar
Bron: Brazilië School - https://brasilescola.uol.com.br/matematica/triangulo-retangulo.htm