Oplossen systemenlineair het is een zeer terugkerende taak voor studies op het gebied van natuurwetenschappen en wiskunde. De zoektocht naar onbekende waarden leidde tot de ontwikkeling van methoden voor het oplossen van lineaire systemen, zoals de optel-, gelijkheids- en substitutiemethode voor systemen die twee vergelijkingen en twee onbekenden, en de regel en schaling van Crammer, die lineaire systemen van twee vergelijkingen oplossen, maar die handiger zijn voor systemen met meer vergelijkingen. Een lineair systeem is een verzameling van twee of meer vergelijkingen met een of meer onbekenden.
Lees ook:Wat is de relatie tussen matrices en lineaire systemen?
lineaire vergelijking
Het werk met vergelijkingen bestaat vanwege de moet onbekende onbekende waarden vinden. We noemen het een vergelijking als we een algebraïsche uitdrukking met gelijkheid hebben, en het wordt als lineair geclassificeerd als de grootste exponent van zijn onbekenden 1 is, zoals weergegeven in de volgende voorbeelden:
2x + y = 7 → lineaire vergelijking met twee onbekenden
a + 4 = -3 → lineaire vergelijking met één onbekende
Over het algemeen kan een lineaire vergelijking worden beschreven door:
De1X1 + de2X2 + a3x3... + aNeeXNee = c
We kennen als een vergelijkingssysteem wanneer er meer dan één lineaire vergelijking is. We beginnen met lineaire systemen van twee onbekenden.
Lineaire systemen oplossen
Lineaire systemen met twee 1e graads vergelijkingen en twee onbekenden
Om een stelsel van twee vergelijkingen en twee onbekenden op te lossen, zijn er verschillende methoden, de drie bekendste zijn:
- vergelijkingsmethode:
- optelmethode:
- substitutie methode:
Elk van de drie kan een lineair stelsel van twee vergelijkingen en twee onbekenden oplossen. deze methoden: zijn niet zo efficiënt voor systemen met meer vergelijkingen, omdat er andere specifieke methoden zijn om ze op te lossen.
Vervangingsmethode:
De vervangingsmethode bestaat uit: isoleer een van de onbekenden in een van de vergelijkingen en voer de substitutie uit in de andere vergelijking.
Voorbeeld:
1e stap: isoleer een van de onbekenden.
We noemen I de eerste vergelijking en II de tweede vergelijking. Laten we de twee analyseren kies het onbekende dat het gemakkelijkst te isoleren is. Merk op dat in de in vergelijking I → x + 2y = 5, x heeft geen coëfficiënt, wat het isoleren gemakkelijker maakt, dus we zullen de vergelijking herschrijven. Ik vind dit leuk:
ik → x + 2y = 5
ik → x = 5 - 2y
2e stap: vervang I in II.
Nu we vergelijking I met alleen x hebben, kunnen we in vergelijking II x vervangen door 5 – 2y.
II → 3x – 5y = 4
x vervangen door 5 - 2j:
3 (5 - 2j) - 5j = 4
Nu de vergelijking slechts één onbekende heeft, is het mogelijk om deze op te lossen om de waarde van y te vinden.
Als we de waarde van y kennen, zullen we de waarde van x vinden door de waarde van y in vergelijking I te vervangen.
ik → x = 5 - 2y
x = 5 - 2 · 1
x = 5 - 2
x = 3
Dus de oplossing van het systeem is S = {3,1}.
Vergelijkingsmethode:
De vergelijkingsmethode bestaat uit: isoleer een onbekende in de twee vergelijkingen en egaliseer deze waarden.
Voorbeeld:
1e stap: laat I de eerste vergelijking zijn en II de tweede, laten we een van de onbekenden in I en II isoleren. Als we ervoor kiezen om de onbekende x te isoleren, moeten we:
2e stap: stel de twee nieuwe vergelijkingen gelijk, aangezien x = x.
3e stap: vervang de waarde van y door -2 in een van de vergelijkingen.
x = -4 - 3y
x = -4 - 3 (-2)
x = -4 + 6
x = 2
Dus de oplossing van dit systeem is de verzameling S = {2,-2}.
Zie ook: Wat zijn de verschillen tussen functie en vergelijking?
optelmethode:
De optelmethode bestaat uit het vermenigvuldigen van alle termen van een van de vergelijkingen, zodanig dat, wanneer het toevoegen van vergelijking I aan vergelijking II, een van zijn onbekenden is gelijk aan nul.
Voorbeeld:
1e stap: vermenigvuldig een van de vergelijkingen zodat de coëfficiënten tegengesteld zijn.
Merk op dat als we vergelijking II vermenigvuldigen met 2, we 4y hebben in vergelijking II en -4y in vergelijking I, en dat door we voegen I + II toe, we krijgen 0y, dus laten we alle termen in vergelijking II vermenigvuldigen met 2 zodat dit gebeuren.
ik → 5x – 4y = -5
2 · II → 2x + 4j = 26
2e stap: voer de som I + 2 · II uit.
3e stap: vervang de waarde van x = 3 in een van de vergelijkingen.
Lineaire systemen met drie 1e graads vergelijkingen en drie onbekenden
Wanneer het systeem drie onbekenden heeft, passen we andere oplossingsmethoden toe. Al deze methoden relateren coëfficiënten aan matrices, en de meest gebruikte methoden zijn de regel van Crammer of schaling. Voor de resolutie in beide methoden is de matrixweergave van het systeem nodig, zelfs het 2x2-systeem kan worden weergegeven door middel van een matrix. Er zijn twee mogelijke representaties, de volledige matrix en de onvolledige matrix:
Voorbeeld:
Het systeem
Kan worden weergegeven door volledige matrix
En voor onvolledige matrix
De regel van Crammer
Oplossingen vinden voor een 3x3-systeem, met onbekenden x, y en z, met behulp van de De regel van Crammer, is het noodzakelijk om de determinant van de onvolledige matrix en zijn variaties te berekenen. Dus we moeten:
D → determinant van de onvolledige matrix van het systeem.
DX → determinant van de onvolledige matrix van het systeem, waarbij de kolom van x wordt vervangen door de kolom met onafhankelijke termen.
Dja → determinant van de onvolledige matrix van het systeem, waarbij de kolom van y wordt vervangen door de kolom met onafhankelijke termen.
Dz → determinant van de onvolledige matrix van het systeem, waarbij de kolom van z wordt vervangen door de kolom met onafhankelijke termen.
Dus om de waarde van je onbekenden te vinden, moeten we eerst de. berekenen bepalend D, DX, Dja gekoppeld aan het systeem.
Voorbeeld:
1e stap: bereken D.
2e stap: bereken DX.
3e stap: dan kunnen we de waarde van x vinden, omdat:
4e stap: bereken Dj.
5e stap: dan kunnen we de waarde van y berekenen:
6e stap: nu we de waarde van x en y kennen, kunnen we in beide lijnen de waarde van z vinden door de waarde van x en y te vervangen en z te isoleren. Een andere optie is om D. te berekenenz.
Vervanging van x = 0 en y = 2 in de eerste vergelijking:
2x + y - z = 3
2 · 0 + 2 – z = 3
0 + 2 - z = 3
-z = 3 - 2
-z = -1 (-1)
z = -1
Daarom is de systeemoplossing de aanbesteding (0.2,-1).
Ook toegang: Probleemoplossing door vergelijkingssystemen
schalen
Een andere methode om lineaire systemen op te lossen is schaling, waarbij we alleen de volledige matrix en bewerkingen tussen de lijnen gebruiken om hun onbekenden te isoleren. Laten we het onderstaande systeem schalen.
1e stap: schrijf de volledige matrix die het systeem voorstelt.
wees L1, L2 en ik3 respectievelijk de lijnen 1, 2 en 3 van de matrix, zullen we bewerkingen uitvoeren tussen L1 en ik2 en ik1 en ik3, zodat het resultaat de termen in de eerste kolom van de tweede en derde rij gelijk maakt aan nul.
Laten we de tweede regel van de matrix analyseren en deze vervangen door het resultaat van L2 → -2 · L1 + L2, om de term a21 op nul te zetten.
De21 = -2 · 1 + 2 = 0
De22 = -2 · 2 + 1 = -3
De23 = -2 · (-3) + 1 = 7
De24 =-2 · 10 + 3 = -17
Dus de L2 zal 0 -3 7 -17 zijn.
Laten we de derde rij van de matrix analyseren en deze vervangen door het resultaat van L3 → 3L1 + L2, om de term te resetten naar31.
De31 = 3 · 1 – 3 = 0
De32 = 3 · 2 + 2 = 8
De33 = 3 · (-3) +1 = -8
De34 = 3 · 10 – 6 = 24
Dus de L3 zal 0 8 -8 24 zijn.
Merk op dat ze allemaal deelbaar zijn door 8, zodat de L-lijn3 houd het simpel, laten we het delen door 8.
L3 → L3 : 8 wordt: 0 1-1 3.
Dus de nieuwe matrix van de geschaalde vergelijking zal zijn:
Het doel is nu om kolom y in de derde rij opnieuw in te stellen, we zullen bewerkingen uitvoeren tussen L2 en ik3, met als doel de tweede kolom van een ervan opnieuw in te stellen.
We zullen L3 vervangen door L3 → L2 + 3L3.
De31 = 0 + 3 · 0 = 0
De32 = -3 + 3 · 1 = 0
De33 = 7 + 3 · (-1) = 4
De34 = -17 + 3 · 3 = -8
Dus L3 zal zijn: 0 0 4 -8.
De nieuwe geschaalde matrix wordt:
Als we deze matrix nu opnieuw als een systeem voorstellen, door x, y en z aan de kolommen toe te voegen, vinden we het volgende:
We kunnen dan de waarde van elk van de onbekenden vinden. Als we vergelijking III analyseren, moeten we:
Als z = -2, laten we de waarde van z in de tweede vergelijking invullen:
Laten we ten slotte in de eerste vergelijking de waarde van y en z vervangen om de waarde van x te vinden.
Zie ook: 1e graads ongelijkhedensysteem - hoe los je het op?
lineaire systeemclassificatie
Een lineair systeem is een verzameling lineaire vergelijkingen, die meerdere onbekenden en meerdere vergelijkingen kan hebben. Er zijn verschillende methoden om het op te lossen, ongeacht het aantal vergelijkingen. er zijn er drie waarderingen voor een lineair systeem.
- Bepaald mogelijk systeem (SPD): als je maar één oplossing hebt.
- Onbepaald mogelijk systeem (SPI): wanneer het oneindige oplossingen heeft.
- onmogelijk systeem(SI): wanneer er geen oplossing is.
opgeloste oefeningen
vraag 1 (IFG 2019) Beschouw de som van de afmetingen van een basis en de hoogte ten opzichte van die basis van een driehoek gelijk aan 168 cm en het verschil gelijk aan 24 cm. Het is juist om te stellen dat de afmetingen van de basis en de hoogte ten opzichte van deze basismaat respectievelijk:
a) 72 cm en 96 cm
b) 144 cm en 24 cm
c) 96 cm en 72 cm
d) 24 cm en 144 cm
Resolutie
alternatief C.
Zij h → hoogte en b → grondtal, dan hebben we het volgende stelsel:
Door de methode van optellen, moeten we:
Om de waarde van h te vinden, vervangen we b = 96 cm in de eerste vergelijking:
b + h = 168
96 + uur = 168
h = 168 - 96
h = 72 cm
vraag 2 De onvolledige matrix die het volgende lineaire systeem vertegenwoordigt, is:
Resolutie
alternatief C.
De onvolledige matrix is er een die de coëfficiënten van x, y en z heeft, dus het wordt een 3x3 matrix. Als we de alternatieven analyseren, is degene die de 3x3-matrix met de juiste tekens bevat, de letter C.
Door Raul Rodrigues de Oliveira
Wiskundeleraar
Bron: Brazilië School - https://brasilescola.uol.com.br/matematica/sistemas-lineares.htm
