een rekenkundige progressie (PA) is een volgorde numeriek waarin elke term de som is van de vorige door een constante, de verhouding genoemd. Ze bestaan wiskundige uitdrukkingen om de duur van een PA te bepalen en de som van zijn. te berekenen Nee eerste termen.
De formule die wordt gebruikt om de te berekenen som van termen van een eindige PA of de som van de Nee eerste termen van een PA is als volgt:
zoNee = Bij1 + deNee)
2
*n is het aantal BP-termen; De1 is de eerste term, en deNee is de laatste.
Oorsprong van de som van de termen van de PA
Er wordt gezegd dat de Duitse wiskundige Carl Friederich Gauss, ongeveer 10 jaar oud, op school met zijn klas werd gestraft. De leraar zei tegen de leerlingen dat ze alle getallen moesten optellen die in de voorkomen volgorde van 1 tot 100.
Gauss was niet alleen de eerste die in zeer korte tijd finishte, hij was ook de enige die het resultaat goed wist (5050). Verder liet het geen berekeningen zien. Wat hij deed was het volgende pand repareren:
De som van twee termen op gelijke afstand van de uitersten van een eindige PA is gelijk aan de som van de uitersten.
Er was geen kennis over PAN destijds, maar Gauss bekeek de lijst met getallen en realiseerde zich dat het optellen van de eerste bij de laatste zou resulteren in 101; als je de tweede bij de voorlaatste optelt, zou het resultaat ook 101 zijn, enzovoort. Als de som van alle termenparen gelijke afstand van de uitersten kwam op 101, Gauss hoefde dat aantal slechts te vermenigvuldigen met de helft van de beschikbare termen om het resultaat van 5050 te vinden.
Merk op dat van het getal 1 tot het getal 100 er precies 100 getallen zijn. Gauss realiseerde zich dat als hij ze twee bij twee zou optellen, hij 50 resultaten zou krijgen die gelijk zijn aan 101. Daarom is deze vermenigvuldiging gedaan met de helft van de totale termen.
Demonstratie van de som van termen van een PA
Deze prestatie gaf aanleiding tot de uitdrukking die wordt gebruikt om de te berekenen som van Nee eerste termen van een PA. De tactiek die wordt gebruikt om tot deze uitdrukking te komen is als volgt:
een gegeven PAN elk, zullen we de eerste n termen ervan toevoegen. Wiskundig hebben we:
zoNee = de1 + de2 + de3 + … + den – 2 + den - 1 + deNee
Net onder dit som van termen, we zullen er nog een schrijven, met dezelfde termen als de vorige, maar in afnemende zin. Merk op dat de som van de termen in de eerste gelijk is aan de som van de termen in de tweede. Daarom werden beide gelijkgesteld met SNee.
zoNee = de1 + de2 + de3 + … + den – 2 + den - 1 + deNee
zoNee = deNee + den - 1 + den – 2 + … + de3 + de2 + de1
Merk op dat deze twee uitdrukkingen werden verkregen uit een enkele PAN en dat de equidistante termen verticaal zijn uitgelijnd. Daarom kunnen we de uitdrukkingen toevoegen om te verkrijgen:
zoNee = de1 + de2 + de3 + … + den – 2 + den - 1 + deNee
+ zoNee = deNee + den - 1 + den – 2 + … + de3 + de2 + de1
2SNee = (de1 + deNee) + (a2 + den - 1) + … + (an - 1 + de2) + (aNee + de1)
Onthoud dat de som van termen op gelijke afstand van de extremen gelijk is aan de som van de extremen. Daarom kan elk haakje worden vervangen door de som van de uitersten, zoals we hierna zullen doen:
2SNee = (de1 + deNee) + (a1 + deNee) +... + (de1 + deNee) + (a1 + deNee)
Het idee van Gauss was om de equidistante termen van een rij toe te voegen. Dus hij kreeg de helft van het aantal voorwaarden van PAN in resultaten 101. We hebben het zo gemaakt dat elke term van de initiële BP werd toegevoegd aan zijn equidistante waarde, met behoud van zijn aantal termen. Dus, aangezien de PA n termen had, kunnen we de som, in de bovenstaande uitdrukking, veranderen door een vermenigvuldiging en de vergelijking vinden:
2SNee = (de1 + deNee) + (a1 + deNee) +... + (de1 + deNee) + (a1 + deNee)
2SNee = n (a1 + deNee)
zoNee = Bij1 + deNee)
2
Dit is precies de formule die wordt gebruikt om de toe te voegen Nee eerste termen van een PA.
Voorbeeld
Gegeven P.A (1, 2, 3, 4), bepaal de som van de eerste 100 termen.
Oplossing:
We zullen de term a. moeten vinden100. Hiervoor gebruiken we de algemene term formule van een PA:
DeNee = de1 + (n – 1)r
De100 = 1 + (100 – 1)1
De100 = 1 + 99
De100 = 100
Nu de formule voor het optellen van de eerste n termen:
zoNee = Bij1 + deNee)
2
zo100 = 100(1 + 100)
2
zo100 = 100(101)
2
zo100 = 10100
2
zo100 = 5050
Door Luiz Paulo Moreira
Afgestudeerd in wiskunde
Bron: Brazilië School - https://brasilescola.uol.com.br/matematica/soma-dos-termos-uma-progressao-aritmetica.htm
