Logaritme is een zeer belangrijk hulpmiddel, niet alleen voor het gebied van wiskunde, omdat het wordt toegepast op verschillende wetenschapsgebieden, zoals aardrijkskunde, scheikunde en informatica.
Historisch gezien de logaritme ontstaat om accounts te vergemakkelijken die veelvuldig voorkwam in verschillende wetenschappelijke gebieden. John Napier was een pionier in de studie van logaritmen en slaagde erin de operatie te ontwikkelen die in staat is om te transformeren producten in som, onderverdelingen in aftrekkingen en potenties bij vermenigvuldigingen.
Door deze bewerking te definiëren, hebben andere wiskundigen in de loop van de tijd geformaliseerd definities en eigenschappen, daarnaast de bekende well log tafel.
Definitie van de logaritme
Schets de grafiek van de logaritmefunctie (rechts) en zijn exponentiële inverse (links).
overweeg twee echte getallen positief De en B, met naar ≠ 0. de logaritme van B op de basis De is het nummer X als en alleen als, De gestegen tot X is gelijk aan het getal B.
Nomenclatuur:
de → basis
b → logaritme
x → logaritme
Zie de voorbeelden:
Als een logaritme een grondtal gelijk aan 10 heeft, heet het decimale logaritme. Bij het registreren van een decimale log is het niet nodig om grondtal 10 te schrijven. Er wordt overeengekomen dat:
Lees ook: Decimaal logaritme systeem
Hoe bereken je een logaritme?
Om een logaritme te berekenen, moeten we zoeken naar a getal dat, wanneer we het grondtal verhogen, resulteert in de logaritme. Als we als voorbeeld de logaritme van 36 in grondtal 6 in het vorige voorbeeld nemen, zouden we een getal moeten vinden dat, wanneer we grondtal 6 verhogen, resulteert in 36. zoals 62 = 36, met antwoord 2. Laten we naar meer voorbeelden kijken:
1) Log 1000. Om deze logaritme te berekenen, moeten we een getal vinden dat, verhoogd tot 10, gelijk is aan 1000, dat wil zeggen 10X = 1000.
Als we de exponentiële vergelijking oplossen, hebben we:
10X=1000
10X = 103
x = 3
daarom,
1. Bereken de logaritme:
We moeten een getal vinden dat, tot de wortel van 7, gelijk is aan één negenenveertigste. Als we de vergelijking oplossen, hebben we:
Lees verder: Exponentiële vergelijking - vergelijking met onbekend in exponent
Logaritme bestaansvoorwaarde
Beschouw de volgende logaritme:
De uitdrukking is alleen gedefinieerd voor wanneer het grondtal groter is dan nul en verschilt van één en wanneer het grondtal groter is dan nul, dat wil zeggen:
a > 0 en a ≠ 0
b > 0
Eigendom van logaritmen
Zie de belangrijkste hieronder. eigenschappen van logaritmen. Alle hier geciteerde logaritmen voldoen aan de bestaansvoorwaarde.
Eigendom 1
De logaritme van het product van twee factoren is gelijk aan de som van de logaritmen van deze factoren.
Eigendom 2
De logaritme van het quotiënt tussen twee getallen is gelijk aan het verschil van de logaritmen van die getallen.
Eigendom 3
De logaritme van een macht is gelijk aan het vermenigvuldigen van de exponent van die macht met de logaritme van het grondtal van de macht, waarbij we het grondtal van de logaritme behouden.
Eigendom 4
De logaritme van een wortel is gelijk aan de inverse van de index van de wortel vermenigvuldigd met de logaritme, waarbij we ook het grondtal behouden.
Eigendom 5
De logaritme van een getal, in een grondtal verheven tot een macht, is gelijk aan de vermenigvuldiging van de inverse van de exponent van dat grondtal.
Meer weten: Toepassingen van deogarithms: zie voorbeelden
Oefeningen opgelost
vraag 1 - (Fuvest - SP) Als x5 = 1000 en b3 = 100, dus de logaritme van x in grondtal b is:
A) 0,5
B) 0.9
C) 1.2
D) 1.5
E) 2.0
Oplossing
Omdat de getallen 1000 en 100 in grondtal 10 kunnen worden geschreven, hebben we:
Als we de logaritme van x in basis b substitueren en de definitie toepassen, krijgen we:
vraag 2 - (Enem) De waterstofpotentiaal (pH) van een oplossing wordt gedefinieerd als de index die de zuurgraad, neutraliteit of alkaliteit aangeeft. Het wordt als volgt gevonden:
H. zijn+ de concentratie van waterstofionen in die oplossing. De pH van een oplossing, waarbij H+ = 1,0 ·10-9, é:
Oplossing:
De H-waarde vervangen+ in de pH-formule hebben we:
Door L.do Robson Luiz
Wiskundeleraar