Waarheidstabel: wat het is, hoe je het moet doen, oefeningen

Waarheidstabel is een logisch instrument dat alle logische waarden van een samengestelde propositie bevat. De constructie van een waarheidstabel voor een samengestelde propositie omvat de logische waarden van de eenvoudige proposities waaruit deze bestaat, en de logische operaties tussen deze proposities.

Lees ook: Wat is tenslotte logica?

Samenvatting van de waarheidstabel

• Een waarheidstabel is een instrument dat in de wiskundige logica wordt gebruikt om alle logische waarden van een samengestelde propositie te ordenen.

• De belangrijkste logische bewerkingen van de waarheidstabel zijn negatie (~), conjunctie (˄), disjunctie (˅), conditioneel (→) en biconditioneel (↔).

• Om een ​​waarheidstabel voor een samengestelde propositie te construeren, is het noodzakelijk om de waarheidstabellen van fundamentele logische bewerkingen te gebruiken.

Wat is de waarheidstafel?

Overwegen P Het is Q eenvoudige proposities, dat wil zeggen zinnen waaraan een van de volgende logische waarden kan worden toegewezen: waar (V) of onwaar (F). Een samengestelde propositie gevormd door operaties tussen

P Het is Q is ook een zin die waar of onwaar kan zijn. De logische waarde van deze samengestelde propositie hangt af van de toegekende logische waarden P Het is Q en de operatie(s) daartussen.

De waarheidstabel is a tabel die alle logische waardemogelijkheden voor de samengestelde propositie presenteert op basis van de logische waarden van P Het is Q.

In deze tekst gebruiken we de letter V om de echte logische waarde van een propositie aan te geven en de letter F om de valse logische waarde aan te geven.

Belangrijkste verbindingen van de waarheidstafel

Logische verbindingen (of operatoren) zijn dat wel symbolen of woorden die verband houden met bewerkingen die een eenvoudige propositie verbinden met een andere eenvoudige propositie om een ​​samengesteld voorstel te maken.

Er zijn vijf belangrijke verbindingen, waarvan de werking, het symbool en de betekenis in de onderstaande tabel worden aangegeven.

Operatie	Symbool	Betekenis
Ontkenning	~	Nee
Voegwoord	˄	Het is
Disjunctie	˅	of
Voorwaardelijk	→	als... Dan
Bivoorwaardelijk	↔	als en alleen als

Hoe te lezen:

• ~ P - "Nee P”

• P ˄ Q — “P Het is Q”

• P ˅ Q — “P of Q”

• P→Q - "als P Dan Q”

• P↔Q — “P als en alleen als Q”

Observatie: Het bivoorwaardelijke is het resultaat van de voorwaardelijke werking in beide richtingen, dat wil zeggen: P↔Q middelen P→Q Het is Q→P.

Hoe werkt de waarheidstafel?

De eerste regel van de waarheidstabel geeft alle proposities aan waarvan we de logische waarden willen analyseren, naast de respectieve operaties daartussen. Elke regel van de waarheidstabel geeft de relatie weer tussen de logische waarden van de stellingen in de eerste regel.

Om voor elke samengestelde propositie een waarheidstabel te construeren, is het noodzakelijk de waarheidstabellen van de fundamentele bewerkingen te kennen, die voortkomen uit de belangrijkste logische verbindingen. Laten we eens kijken wat deze waarheidstabellen zijn, verkregen door de regels van propositionele calculus.

• Ontkenning waarheidstabel

Gegeven een eenvoudig voorstel P, de logische waarde van de propositie ~ P is het tegenovergestelde van de logische waarde van P. Dus als P Het is waar ~ P is fout; en als P Het is nep ~ P het is waar.

P	~ p
V	F
F	V

• Conjunctie-waarheidstabel

Gezien de voorstellen P Het is Q, de logische waarde van de propositie P ˄ Q is alleen waar als beide stellingen waar zijn.

P	Q	omdat
V	V	V
V	F	F
F	V	F
F	F	F

• Disjunctie-waarheidstabel

Gezien de voorstellen P Het is Q, de logische waarde van de propositie P ˅ Q is waar als minstens één van de proposities waar is.

P	Q	omdat
V	V	V
V	F	V
F	V	V
F	F	F

• Voorwaardelijke waarheidstabel

Gezien de voorstellen P Het is Q, de logische waarde van de propositie P→Q is vals wanneer P is waar en Q is onwaar en is in andere gevallen waar.

P	Q	p →Q
V	V	V
V	F	F
F	V	V
F	F	V

• Bivoorwaardelijke waarheidstabel

Gezien de voorstellen P Het is Q, de logische waarde van de propositie P↔Q is alleen waar als beide proposities waar zijn of beide onwaar.

P	Q	P ↔ Q
V	V	V
V	F	F
F	V	F
F	F	V

Constructie van de waarheidstafel

Op basis van de waarheidstabellen van fundamentele operaties kunnen we waarheidstabellen construeren voor elke samengestelde propositie. Daarom we moeten de betrokken proposities identificeren en de bewerkingen uitvoeren volgens de waarheidstabellen in het vorige onderwerp.

Observatie: Het aantal rijen in een waarheidstabel van een samengestelde propositie gevormd door N eenvoudige stellingen is 2^N.

Voorbeeld: Construeer de waarheidstabel van de stelling ~ (P ˄ Q).

We gebruiken een waarheidstabel met vier kolommen: één voor de stelling P, één voor het voorstel Q, één voor het voorstel P ˄ Q, en de laatste voor de uiteindelijke stelling, namelijk ~ (P ˄ Q).

P

Q

omdat

~ (p˄q)

We kunnen de eerste drie kolommen van deze tabel vullen met informatie uit de waarheidstabel van de conjunctieoperatie.

P	Q	omdat	~ (p˄q)
V	V	V
V	F	F
F	V	F
F	F	F

Ten slotte is de vierde kolom de ontkenning van elke logische waarde in de derde kolom.

P	Q	omdat	~ (p˄q)
V	V	V	F
V	F	F	V
F	V	F	V
F	F	F	V

Lees ook: Hoe de logica van Aristoteles werkt

Oefeningen met de waarheidstafel

Vraag 1

Bouw de waarheidstabel van de stelling ~ (P ˄ ~ Q).

Oplossing

We gebruiken een waarheidstabel met vijf kolommen: één voor de stelling P, één voor het voorstel Q, één voor het voorstel ~ Q, één voor het voorstel P ˄ ~ Q, en de laatste voor de uiteindelijke stelling, ~ (P ˄ ~ Q).

P

Q

~q

p ˄ ~ q

~ (p ˄ ~ q)

Vul nu gewoon elke kolom in en voer de respectievelijke bewerkingen uit:

P	Q	~q	p ˄ ~ q	~ (p ˄ ~ q)
V	V	F	F	V
V	F	V	V	F
F	V	F	F	V
F	F	V	F	V

vraag 2

Construeer de waarheidstabel van de stelling ~ P ˅ Q → ~ Q.

Oplossing

We gebruiken een waarheidstabel met zes kolommen: één voor de stelling P, één voor het voorstel Q, één voor het voorstel ~ P, één voor het voorstel ~ Q, één voor de stelling ~ P ˅ Q, en de laatste voor het uiteindelijke voorstel, ~ P ˅ Q → ~ Q.

P

Q

~ p

~q

~ p˅ q

~ p˅q → ~q

Vul nu gewoon elke kolom in en voer de respectievelijke bewerkingen uit:

P	Q	~ p	~q	~ p˅ q	~ p˅q → ~q
V	V	F	F	F	V
V	F	F	V	F	V
F	V	V	F	V	F
F	F	V	V	F	V

Bronnen

ALENCAR FILHO, E. in. Inleiding tot de wiskundige logica. São Paulo: Nobelprijs, 2002.

VAZ, R. M. Formalisering van logisch redeneren op basis van wiskundige logica. Proefschrift (professionele masteropleiding wiskunde) – Federale Universiteit van Mato Grosso do Sul, Três Lagoas, 2014. Beschikbaar in https://repositorio.ufms.br/handle/123456789/2333 .

Bron: Brazilië School - https://brasilescola.uol.com.br/matematica/tabela-verdade.htm