Permutaties maken deel uit van telproblemen. We gebruiken permutaties om het aantal orden van de elementen in een set te kennen. Oefen je kennis over permutatie en los je twijfels op met de opgeloste oefeningen.
Oefening 1
Twee vrienden speelden met zeszijdige dobbelstenen. Het is bekend dat de nummers 4, 1, 2 en 5 uitkwamen, niet noodzakelijkerwijs in die volgorde. Hoeveel reeksen resultaten kunnen er zijn geweest?
Antwoord: 24
Een bepaalde volgorde van de resultaten zou kunnen zijn:
1, 2, 4 en 5 of
5, 4, 5 en 1 of
4, 5, 1 en 2
Om het totale aantal mogelijke ordeningen te bepalen, berekenen we een permutatie met vier verschillende elementen.
Oefening 2
Een groep van zes vrienden ging een film kijken in de bioscoop en kochten hun kaartjes voor dezelfde rij stoelen. Als je bedenkt dat er een stel is en ze in aangrenzende stoelen zaten, op hoeveel manieren zouden deze vrienden dan in de rij stoelen kunnen passen?
Antwoord: 240
Omdat bij de berekening rekening wordt gehouden met alle elementen van de set "vrienden", is het een permutatieprobleem.
Om het totaal mogelijke aantal permutaties te berekenen, hebben we vijf elementen in overweging genomen, omdat het koppel altijd samen moet zijn.
Bovendien moeten we van deze 120 mogelijkheden met twee vermenigvuldigen, omdat het koppel met elkaar van plaats kan wisselen.
Het aantal mogelijke manieren waarop vrienden zich kunnen organiseren in de rij stoelen is dus:
120. 2 = 240
Oefening 3
Een klas van zeven leerlingen speelt op de binnenplaats en profiteert van hun pauze. Bij het horen van het signaal dat de terugkeer naar de klaslokalen aangeeft, gaan de leerlingen in een rij staan. Op hoeveel verschillende manieren kunnen leerlingen de wachtrij vormen?
Antwoord: 5040
Het totale aantal mogelijke manieren om de wachtrij te organiseren is een permutatie van 7 verschillende elementen.
Oefening 4
Een fotograaf stelt zijn camera in om vijf kinderen, gerangschikt op een bankje, te fotograferen. In deze groep zitten 3 meisjes en 2 jongens. Een mogelijke opstelling van de kinderen voor de foto zou zijn:
Op hoeveel manieren kan de fotograaf, gezien de posities waarin kinderen op de bank kunnen zitten, de jongens en meisjes organiseren en zo verschillende foto's maken?
Antwoord: 10
Dit is een geval van permutatie met herhaalde elementen. We moeten het totale aantal permutaties delen door het product tussen de permutaties van de elementen die worden herhaald.
Oefening 5
Hoeveel anagrammen kunnen gemaakt worden met de letters van het woord PREFEITURA?
Antwoord: 907 200
Het woord STADHUIS heeft 10 letters, waarvan sommige herhaald worden. De letter E komt twee keer voor, evenals de R.
We berekenen de verdeling tussen de permutaties van 10 elementen en delen deze door het product van de permutaties van herhaalde elementen.
Oefening 6
(UEMG 2019) Uit de verzameling van alle permutaties van de letters in het woord PONTA wordt er willekeurig één verwijderd. Wat is de kans dat een woord dat begint en eindigt met een klinker wordt verwijderd?
a) 1/20
b) 1/10
c) 1/6
d) 1/5
Stap 1: aantal van alle permutaties met de letters van het woord PONTA.
Omdat er vijf verschillende letters zijn, hebben we:
Stap 2: aantal permutaties die beginnen en eindigen met een klinker.
Voor de eerste letter zijn er twee klinkeropties, voor de laatste letter is er maar 1.
Voor medeklinkers zijn er 3! mogelijkheden.
2.3!.1 = 2.3.2.1.1 = 12
Stap 3: bepaal de waarschijnlijkheidsratio.
Oefening 7
(EsPCex 2012) De kans op het verkrijgen van een getal dat deelbaar is door 2 bij het willekeurig kiezen van een van de permutaties van de cijfers 1, 2, 3, 4, 5 is
a) 1/5
b) 2/5
c) 3/4
d) 1/4
e) 1/2
Stap 1: totale permutaties.
Omdat er vijf verschillende elementen zijn, geldt dat het aantal permutaties van 5 elementen gelijk is aan 5 faculteiten.
Stap 2: permutaties van getallen die deelbaar zijn door twee met de vijf cijfers.
Om deelbaar te zijn door 2 is de voorwaarde dat het even is. Er zijn dus twee opties voor het laatste cijfer, 2 en 4.
Voor de overige posities zijn er 4! mogelijkheden.
Stap 3: waarschijnlijkheidsberekening.
Oefening 8
(EsFCEx 2022) Laat P de set permutaties zijn van de reeks 1, 3, 6, 9, 12 waarvan de eerste term verschilt van 1. Als een van deze reeksen willekeurig wordt getrokken, is de kans dat de tweede term 3 is gelijk aan p/q, waarbij p, q ∈ IN* en ggd (p, q) = 1. Daarom is q – p gelijk aan
a) 13.
b) 15.
c) 12.
d) 14.
e) 11.
Stap 1: bepaal het totaal aantal mogelijke gevallen in de monsterruimte.
Van rechts naar links kan het eerste getal niet één zijn, dus er zijn 4 mogelijkheden om de eerste positie in te nemen.
Er zijn er 4 om de andere posities te bezetten! mogelijkheden.
De permutaties zijn:
1.4! = 4.4.3.2.1 = 96
Stap 2: bepaal de mogelijkheden dat de gebeurtenis plaatsvindt, waarbij de tweede drie is en de eerste verschillend is van één.
De permutaties zijn:
3.1.3.2.1 = 18
Stap 3: waarschijnlijkheidsratio.
De waarschijnlijkheidsratio is:
Met p = 18 en q = 96.
Er geldt echter nog steeds de voorwaarde dat de grootste gemene deler tussen p en q 1 is, wat niet voorkomt bij 18 en 96.
We moeten breuken vereenvoudigen en testen die gelijkwaardig zijn aan 18/96.
Stap 4: vereenvoudiging van de waarschijnlijkheidsfractie en bepaling van p en q.
Omdat ggd (3, 16) = 1, p = 3 en q = 16.
Stap 5: conclusie.
q - p = 16 - 3 = 13
Leer meer over permutatie.
Voor meer oefeningen, zie:
Combinatorische analyseoefeningen
ASTH, Rafael. Permutatie-oefeningen opgelost en uitgelegd.Alle materie, [z.d.]. Beschikbaar in: https://www.todamateria.com.br/exercicios-de-permutacao/. Toegang op:
Zie ook
- Combinatorische analyse
- Combinatorische analyse-oefeningen
- Permutatie: eenvoudig en met herhaling
- Regeling in de wiskunde: wat het is, hoe te berekenen, voorbeelden
- 27 Basiswiskundeoefeningen
- Combinatie in wiskunde: berekenen en voorbeelden
- Waarschijnlijkheidsoefeningen
- Waarschijnlijkheid