Exponentiële vergelijking: wat ze zijn en hoe op te lossen (met voorbeelden)

Een vergelijking is exponentieel als de onbekende (onbekende waarde) in de exponent van een macht ligt. Een wiskundige zin die gelijkheid tussen twee termen inhoudt, waarbij het onbekende in ten minste één exponent voorkomt, wordt dus een exponentiële vergelijking genoemd.

Een macht is het resultaat van het product van zijn grondtal op zichzelf, zo vaak als bepaald door de exponent.

In een exponentiële vergelijking bepalen we hoeveel factoren er worden vermenigvuldigd, dat wil zeggen, hoe vaak de basis wordt vermenigvuldigd, om een bepaald resultaat te verkrijgen.

Definitie van exponentiële vergelijking:

startstijl wiskundegrootte 18px recht b tot de macht van recht x is gelijk aan recht tot eindstijl

Waar:

b is de basis;
x is de exponent (onbekend);
a is de kracht.

Op wat recht b niet gelijk aan 1 rechte spatie en recht b groter dan 0 Het is recht a niet gelijk aan 0 .

Voorbeeld van een exponentiële vergelijking:

2 tot de macht van rechte x gelijk aan 8

De onbekende variabele bevindt zich in de exponent. We moeten bepalen hoe vaak 2 zich zal vermenigvuldigen om in 8 te resulteren. Zoals 2. 2. 2 = 8, x = 3, aangezien 2 drie keer moet worden vermenigvuldigd om als resultaat 8 te verkrijgen.

Hoe exponentiële vergelijkingen op te lossen

instagram story viewer

Exponentiële vergelijkingen kunnen op verschillende manieren worden geschreven en om ze op te lossen zullen we gelijke machten met gelijke bases gebruiken, die ook dezelfde exponenten moeten hebben.

Omdat de exponentiële functie injectief is, hebben we:

recht b tot de macht van rechte x met 1 subscriptuiteinde van de exponentiële gelijk aan recht b tot de macht van rechte x met 2 subscriptuiteinde van exponentiële ruimte dubbele pijl links en rechts ruimte rechte x met 1 subscript is gelijk aan rechte x met 2 geabonneerd

Dit betekent dat twee machten met hetzelfde grondtal gelijk zullen zijn als en slechts als hun exponenten ook gelijk zijn.

Eén strategie voor het oplossen van exponentiële vergelijkingen is dus: het gelijk maken van de machtsbasissen. Zodra de bases hetzelfde zijn, kunnen we ze elimineren en de exponenten vergelijken.

Om de grondslagen van machten in een exponentiële vergelijking gelijk te maken, gebruiken we wiskundige hulpmiddelen zoals factorisatie en potentiëringseigenschappen.

Voorbeelden van het oplossen van exponentiële vergelijkingen

voorbeeld 1
2 tot de macht van rechte x gelijk aan 64

Het is een exponentiële vergelijking, omdat de zin een gelijkheid (vergelijking) inhoudt en de onbekende variabele x in de exponent zit (exponentieel).

Om de waarde van de onbekende x te bepalen, stellen we de bases van de machten gelijk, met behulp van de factorisatie van 64.

64 = 2. 2. 2. 2. 2. 2 of 2 tot de macht 6

Vervanging in de vergelijking:

2 tot de macht van rechte x is gelijk aan 2 tot de macht van 6

We negeren de bases en laten alleen de gelijkheid tussen de exponenten over.

x = 6

Dus x = 6 is het resultaat van de vergelijking.

Voorbeeld 2
9 tot de macht van rechte x plus 1 uiteinde van de exponentiële gelijk aan 81

We stellen de bases gelijk met behulp van factorisatie.

9 = 3. 3 =
81 = 3. 3. 3. 3 =

Vervanging in de vergelijking:

open haakjes 3 kwadraat sluit haakjes tot de macht x plus 1 uiteinde van de exponentiële gelijk aan 3 tot de macht van 4

Met behulp van de machtseigenschap van een macht vermenigvuldigen we de exponenten aan de linkerkant.

3 tot de macht 2 x plus 2 uiteinde van de exponentiële gelijk aan 3 tot de macht 4

Als de grondtallen gelijk zijn, kunnen we ze weggooien en de exponenten gelijk maken.

2 recht x plus 2 is gelijk aan 4 2 recht x is gelijk aan 4 min 2 2 recht x is gelijk aan 2 recht x is gelijk aan 2 gedeeld door 2 is gelijk aan 1

Dus x = 1 is het resultaat van de vergelijking.

Voorbeeld 3

0 komma 75 tot de macht van recht x gelijk aan 9 gedeeld door 16 spatie

We transformeren de basis 0,75 in een centesimale breuk.

haakjes openen 75 gedeeld door 100 haakjes sluiten tot de macht recht x gelijk aan 9 gedeeld door 16 spatie

We vereenvoudigen de centesimale breuk.

open haakjes 3 gedeeld door 4 sluit haakjes tot de macht recht x gelijk aan 9 gedeeld door 16 spatie

We factoriseren 9 en 16.

open haakjes 3 gedeeld door 4 sluit haakjes tot de macht recht x gelijk aan 3 kwadraat gedeeld door 4 kwadraat

Door de bases gelijk te stellen, krijgen we x = 2.

open haakjes 3 over 4 sluit haakjes tot de macht x gelijk aan open haakjes 3 over 4 sluit haakjes in het kwadraat

x = 2

Voorbeeld 4

Wij transformeren de wortel in een kracht.

4 tot de macht x gelijk aan 32 tot de macht 1 derde uiteinde van de exponentiële waarde

We houden rekening met de machtsbases.

haakjes openen 2 kwadraat haakjes sluiten tot de macht x gelijk aan haakjes openen 2 tot de macht 5 haakjes sluiten tot de macht 1 derde uiteinde van exponentieel

Door de exponenten te vermenigvuldigen, zijn we gelijk aan de grondtallen.

2 tot de macht 2 x einde van de exponentiële gelijk aan 2 tot de macht 5 gedeeld door 3 einde van de exponentiële

Daarom moeten we:

2 rechte x is gelijk aan 5 gedeeld door 3 rechte x gelijk aan teller 5 gedeeld door de noemer 2.3 einde van de breuk is gelijk aan 5 gedeeld door 6

Voorbeeld 5

Factoring 25

haakjes openen 5 kwadraat haakjes sluiten tot de macht van rechte x min 6,5 tot de macht van rechte x plus 5 is gelijk aan 0

We herschrijven de macht van 5² tot de x. De volgorde van exponenten wijzigen.

haakjes openen 5 tot de macht x haakjes sluiten kwadraat min 6,5 tot de macht x plus 5 is gelijk aan 0

We gebruiken een hulpvariabele, die we y zullen noemen.

5 tot de macht van rechte x is gelijk aan rechte y (bewaar deze vergelijking, we zullen hem later gebruiken).

Vervanging in de vorige vergelijking.

recht y kwadraat min 6. recht y plus 5 is gelijk aan 0 recht y kwadraat min 6 recht y plus 5 is gelijk aan 0

Als we de kwadratische vergelijking oplossen, hebben we:

de toename is gelijk aan b kwadraat min 4. De. c stapgrootte is gelijk aan linker haakje minus 6 rechter haakje kwadraat minus 4,1.5 stapgrootte is gelijk aan 36 min 20 stapgrootte is gelijk aan 16

rechte y met 1 subscript is gelijk aan teller minus rechte b plus vierkantswortel van de toename boven noemer 2. recht naar het einde van de rechte breuk y met 1 subscript gelijk aan de teller minus linkerhaakje min 6 rechterhaakje plus vierkantswortel van 16 boven noemer 2.1 einde van rechte breuk y met 1 subscript gelijk aan teller 6 plus 4 boven noemer 2 einde van breuk gelijk aan 10 gedeeld door 2 gelijk aan 5

rechte y met 2 subscript is gelijk aan teller min rechte b min vierkantswortel van de toename boven noemer 2. recht naar het einde van de breuk rechte y met 2 subscript gelijk aan teller 6 min 4 boven noemer 2 einde van breuk gelijk aan 2 gedeeld door 2 gelijk aan 1

De oplossing voor de kwadratische vergelijking is {1, 5}, maar dit is niet de oplossing voor de exponentiële vergelijking. We moeten teruggaan naar de variabele x, met behulp van 5 tot de macht van rechte x is gelijk aan rechte y.