U complexe getallen voortkomen uit de behoefte om op te lossen vergelijkingen Dat heeft negatief getal wortel, die tot dan toe niet op te lossen was door met reële getallen te werken. Complexe getallen kunnen op drie manieren worden weergegeven: a algebraïsche vorm (z = een + bi), samengesteld uit een echt deel De en een denkbeeldig deel B; De geometrische vorm, weergegeven in het complexe vlak dat ook bekend staat als het Argand-Gauss-vlak; en die van jou trigonometrische vorm, ook wel de polaire vorm genoemd. Op basis van hun representatie hebben complexe getallen, aangezien we met een numerieke verzameling werken, goed gedefinieerde bewerkingen: optellen, aftrekken, vermenigvuldigen, delen en versterken.
Via de geometrische weergave in het complexe vlak definiëren we ook de module (weergegeven door |z|) van een complex getal - wat de afstand is van het punt dat het complexe getal vertegenwoordigt tot de oorsprong - en wat is het argument van een complex getal — wat de hoek is die wordt gevormd tussen de horizontale as en het spoor dat de oorsprong verbindt met het punt dat het getal voorstelt complex.
behoefte aan complexe getallen
In de wiskunde was de uitbreiding van een numerieke verzameling naar een nieuwe verzameling door de geschiedenis heen iets heel gewoons. Het blijkt dat de wiskunde zich in de loop van de tijd heeft ontwikkeld, en dan, voldoen aan de behoeften van de tijd, werd opgemerkt dat er nummers waren die niet behoorden tot de numerieke set waarnaar het verwees. Zo was het met de opkomst van numerieke sets gehele getallen, rationale getallen, irrationale getallen en reële getallen, en het was niet anders toen het nodig was om de verzameling reële getallen uit te breiden tot die van complexe getallen.
Wanneer we proberen op te lossen kwadratische vergelijkingen, is het heel gewoon dat we de vierkantswortel van een negatief getal, wat onmogelijk kan worden opgelost in de verzameling reële getallen, vandaar de behoefte aan complexe getallen. Het begin van de studie van deze getallen ontving bijdragen van belangrijke wiskundigen, zoals Giralmo Cardono, maar hun verzameling werd geformaliseerd door Gauss en Argand.
Lees ook: Geometrische weergave van de som van complexe getallen
algebraïsche vorm van een complex getal
Bij het oplossen van een kwadratische vergelijking zoals x² = -25, werd vaak gezegd dat deze onoplosbaar was. Echter, in een poging tot algebrisatie, algebraïsche weergave, die het mogelijk maakt om bewerkingen met deze getallen uit te voeren, ook al kun je de vierkantswortel van een negatief getal niet berekenen.
Om de oplossing te vergemakkelijken van situaties waarin u werkt met de vierkantswortel van een negatief getal, de denkbeeldige eenheid.
Dus, als we de gepresenteerde vergelijking x² = -25 analyseren, hebben we dat:
De oplossingen voor de vergelijking zijn dus -5ik e5ik.
Om de algebraïsche vorm te definiëren, de brief ik, bekend als denkbeeldige eenheid van een complex getal. Een complex getal wordt weergegeven door:
z = De + Bik
Op wat De en B zijn echte cijfers.
De: reëel deel, aangegeven door a = Re (z);
B: denkbeeldig deel, aangegeven met Im (z);
ik: denkbeeldige eenheid.
Voorbeelden
De) 2 + 3ik
B) -1 + 4ik
ç) 5 – 0,2ik
d) -1 – 3ik
wanneer de echt deel is nul, het nummer staat bekend als puur denkbeeldig, bijvoorbeeld -5ik en 5ik het zijn pure denkbeelden omdat ze geen echt deel hebben.
Als het imaginaire deel nul is, is het complexe getal ook een reëel getal.
Bewerkingen met complexe getallen
Zoals elke numerieke set, moeten de bewerkingen zijn: goed gedefinieerdDaarom is het mogelijk om de vier basisbewerkingen van complexe getallen uit te voeren, rekening houdend met de gepresenteerde algebraïsche vorm.
Twee complexe getallen optellen
Het uitvoeren van de toevoeging van twee complexe getallen z1 ez2, we voegen het echte deel van z. toe1 ez2 en de som van het denkbeeldige deel, respectievelijk.
Worden:
z1 = a + bik
z2 = c + dik
z1 +z2 = (a + c) + (b + d)ik
voorbeeld 1
Realisatie van de som van z1 en z2.
z1 = 2 + 3ik
z2 = 1 + 2ik
z1 +z2= (2 + 1) + (3 + 2)ik
z1 +z2= 3 + 5ik
Voorbeeld 2
Realisatie van de som van z1 en z2.
z1 = 5 – 2ik
z2 = – 3 + 2ik
z1+z2 = (5 + (–3)) + (–2 + 2)ik
z1+z2 = (5 – 3) + 0ik
z1 +z2= 3 + 0ik = 3
Zie ook: Geometrische weergave van de som van complexe getallen
Aftrekken van twee complexe getallen
Voordat we het hebben over aftrekken, we moeten definiëren wat de inverse van een complex getal, dat wil zeggen, z = a + bik. De inverse van z, weergegeven door –z, is het complexe getal –z = –a –bik.
Om de aftrekking tussen z. uit te voeren1en -z2, en daarnaast zullen we de aftrekken tussen reële delen en tussen denkbeeldige delen afzonderlijk, maar het is noodzakelijk om te begrijpen dat -z2 het is het omgekeerde van een complex getal, waardoor het noodzakelijk is om het tekenspel te spelen.
voorbeeld 1
Het aftrekken van z. uitvoeren1 en z2.
z1 = 2 + 3ik
z2 = 1 + 2ik
z1–z2 = (2 – 1) + (3 – 2)ik
z1–z2= 1 + 1ik = 1+ ik
Voorbeeld 2
Het aftrekken van z. uitvoeren1 en z2.
z1= 5 – 2ik
z2 = – 3 + 2ik
z1–z2= (5 – (–3)) + (–2 – 2)ik
z1–z2= (5 + 3) + (–4)ik
z1 –z2= 8 + (–4)ik
z1 –z2= 8 –4ik
Denkbeeldige eenheidskrachten
Voordat we het over vermenigvuldiging hebben, moeten we de kracht van de denkbeeldige eenheid begrijpen. Op zoek naar een methode om machten van te berekenen ikNee, moet men zich realiseren dat deze krachten zich cyclisch gedragen. Laten we hiervoor wat berekenen potenties in ik.
Het blijkt dat de volgende bevoegdheden niets meer zijn dan de herhaling ervan, merk op dat:
ik 4 = ik 2 · ik 2 = (–1) (–1) = 1
ik 5 = ik 2 · ik 3 = (–1) (–ik) = ik
Als we doorgaan met het berekenen van de machten, zullen de antwoorden altijd elementen zijn van de verzameling {1,i,–1,–ik}, om vervolgens een kracht van de eenheid te vinden ikNee, delen we n (de exponent) door 4, en de rust uitvan deze afdeling (r = { 0, 1, 2, 3}) wordt de nieuwe exponent van ik.
Voorbeeld1
Berekening van i25
Als we 25 delen door 4, is het quotiënt 6 en de rest gelijk aan 1. Dus we moeten:
ik 25 = ik1 = ik
Voorbeeld 2
Berekening van ik 403
Als we 403 delen door 4, is het quotiënt 100, omdat 100 · 4 = 400, en de rest is 3, dus we moeten:
ik 403 =ik 3 = -ik
Vermenigvuldiging van complexe getallen
Om de vermenigvuldiging van twee complexe getallen uit te voeren, passen we de distributieve eigenschap. Worden:
z1= a + bik
z2= c + dik, dan het product:
z1 · z2 = (a + bik) (c + dik), het toepassen van de distributieve eigenschap,
z1 · z2 = ac + advertentieik + cbik + bdik 2, maar zoals we hebben gezien, ik ² = -1
z1 · z2 = ac + advertentieik + cbik - bd
z1 · z2= (ac – bd) + (advertentie + cb)ik
Met behulp van deze formule is het mogelijk om het product van twee willekeurige complexe getallen te vinden, maar in a Over het algemeen hoeft het niet te worden versierd, omdat we voor de betreffende berekening gewoon de eigenschap toepassen apply distributief.
Voorbeeld
Berekening van het product van (2+3ik) (1 – 4ik):
(2+3ik) (1 – 4ik) = 2 – 8ik + 3ik– 12ik ², onthoud dat i² = -1:
(2 + 3ik) (1 – 4ik) = 2 – 8ik + 3ik+ 12
(2 + 3ik) (1 – 4ik) = (2 + 12) + (– 8 + 3)ik
(2+3ik) (1 – 4ik) = 14 – 5ik
Ook toegang: Optellen, aftrekken en vermenigvuldigen van complexe getallen
Complexe getalconjugaat
Voordat we over deling praten, moeten we begrijpen wat de conjugaat van een complex getal is. Het concept is eenvoudig, om de conjugaat van een complex getal te vinden, gewoon, uitwisselenmos het teken van het denkbeeldige deel.
deling van twee complexe getallen
Het uitvoeren van de deling van twee complexe getallen, moeten we de breuk vermenigvuldigen met de geconjugeerde van de noemer, zodat wat het reële deel is en wat het imaginaire deel is, goed gedefinieerd is.
Voorbeeld
Berekening van deling van (6 - 4ik): (4 + 2ik)
Zie ook: Tegengesteld, geconjugeerd en gelijkheid van complexe getallen
Complex vlak of Argand-Gauss vlak
Bekend als complex plan of Een planrgand-gauss, hij laat de weergave in geometrische vorm van een complex getal, dit plan is een aanpassing in de cartesiaans vlak om complexe getallen weer te geven. De horizontale as staat bekend als reële deelas Re(z), en de verticale as staat bekend als as van het imaginaire deel Im (z). Dus het complexe getal vertegenwoordigd door a + bik genereert de punten in het complexe vlak gevormd door het geordende paar (a, b).
Voorbeeld
Vertegenwoordiging van het getal 3 + 2ik in de geometrische vorm Z(3,2).
Module en argument van een complex getal
De modulus van een complex getal, geometrisch, is de afstand vanaf punt (a, b) die dit getal in het complexe vlak vertegenwoordigt naar de oorsprong, dat wil zeggen, het punt (0,0).
Zoals we kunnen zien, |z| is de hypotenusa van rechthoekige driehoekdaarom kan het worden berekend door de toe te passen de stelling van Pythagoras, dus we moeten:
Voorbeeld:
Berekening van de modulus van z = 1 + 3ik
O Deargument van een complex getal, geometrisch, is de hoek gevormd door de horizontale as en de |z|
Om de hoekwaarde te vinden, moeten we:
Het doel is om de hoek θ = arg z te vinden.
Voorbeeld:
Zoek het argument voor complexe getallen: z = 2 + 2ik:
Aangezien a en b positief zijn, weten we dat deze hoek in het eerste kwadrant ligt, dus laten we |z| berekenen.
Als je de |z| kent, is het mogelijk om de sinus en de cosinus te berekenen.
Aangezien in dit geval a en b gelijk zijn aan 2, zullen we, wanneer we sinθ berekenen, dezelfde oplossing vinden voor de cosinus.
De waarden van sinθ en cosθ kennen, door de tabel met opmerkelijke hoeken te raadplegen en te weten dat θ hoort bij het eerste kwadrant, dus θ is te vinden in graden of radialen, dus we concluderen wat:
Trigonometrische of polaire vorm
De weergave van het complexe getal in de trigonometrische vorm het is alleen mogelijk nadat we het concept van module en argument hebben begrepen. Op basis van deze representatie worden belangrijke concepten ontwikkeld voor de studie van complexe getallen op een meer gevorderd niveau. Om de trigonometrische weergave uit te voeren, zullen we de algebraïsche vorm z = a + bi onthouden, maar bij het analyseren van het complexe vlak moeten we:
Door in algebraïsche vorm de waarden van a = |z|. te vervangen cos θ en b = |z| sen, we moeten:
z = a + bik
Met z = |z| cos θ + |z| sen ik, zetten |z| als bewijs komen we bij de formule van de trigonometrische vorm:
z= |z|(cos θ + ik · zonde ) |
Voorbeeld: Schrijf, in trigonometrische vorm, het getal
Om in trigonometrische vorm te schrijven, hebben we het argument en de modulus van z nodig.
1e stap – Berekening van |z|
Als je de |z| kent, is het mogelijk om de waarde van θ te vinden door de tabel met opmerkelijke hoeken te raadplegen.
Het is nu mogelijk om het getal z in zijn trigonometrische vorm te schrijven met de hoek in graden of met de hoek gemeten in radialen.
Lees ook: Straling van complexe getallen in trigonometrische vorm
Oefeningen opgelost
Vraag 1 - (UFRGS) Gezien de complexe getallen z1 = (2,–1) en z2 = (3, x), het is bekend dat het product tussen z1 en z2 is een reëel getal. Dus x is gelijk aan:
a) -6
b) -3/2
c) 0
d) 3/2
e) 6
Resolutie
Alternatief D.
Wil het product een reëel getal zijn, dan is het imaginaire deel gelijk aan nul.
Door deze getallen in algebraïsche vorm te schrijven, moeten we:
z1 = 2 – 1ik en z2 = 3 + xik
z1 · z2 = (2 – 1ik) (3 + xik)
z1 · z2 = 6 + 2xik –3ik - Xik ²
z1 · z2 = 6 + 2xik –3ik + X
z1 · z2 = 6+ x + (2x – 3)ik
Aangezien ons belang is dat het imaginaire deel gelijk is aan nul, lossen we op voor 2x – 3 = 0
Vraag 2 - (UECE) Als i het complexe getal is waarvan het kwadraat gelijk is aan -1, dan is de waarde van 5ik 227 + ik 6 – ik 13 het is hetzelfde als:
De) ik + 1
b) 4ik –1
c) -6ik –1
d) -6ik
Resolutie
alternatief C.
Om deze uitdrukking op te lossen, is het noodzakelijk om de rest van elk van de getallen te vinden in deling door 4.
227: 4 resulteert in een quotiënt van 56 en een rest van 3.
ik 227 = ik 3 = –ik
6: 4 resulteert in quotiënt 1 en rest 2.
ik 6 = ik 2 = –1
13: 4 resulteert in quotiënt 3 en rest 1.
ik 13 = ik1 = ik
Dus we moeten:
5ik 227 + ik 6 – ik 13
5 (–ik) + (–1) – ik
–5ik –1 – ik
–6ik – 1
Door Raul Rodrigues de Oliveira
Wiskundeleraar
Bron: Brazilië School - https://brasilescola.uol.com.br/matematica/numeros-complexos.htm