O apothema van een veelhoek is een segment met eindpunten in het midden van de veelhoek en in het midden van een van de zijden. Dit segment vormt een hoek van 90° met de betreffende zijde van de polygoon.
Om de maat van de apothem te berekenen, is het noodzakelijk om rekening te houden met de kenmerken van de polygoon in kwestie. Afhankelijk van de geometrische vorm is het mogelijk om een formule te construeren om deze meting te verkrijgen. Een belangrijke observatie is dat de maat van de apothem van een regelmatige veelhoek gelijk is aan de maat van de straal van de omtrek ingeschreven in de veelhoek.
Lees ook: Wat is de bissectrice?
Samenvatting over de Apothema
De apothem is het segment van een veelhoek dat het middelpunt (ontmoetingspunt van middelloodlijnen) verbindt met het middelpunt van een van de zijden.
De hoek tussen de apothem en de respectieve zijde van de polygoon is 90°.
De maat van de apothem van een regelmatige veelhoek is gelijk aan de maat van de straal van de ingeschreven cirkel in de veelhoek.
De apothema OM van een gelijkzijdige driehoek van zijde ik wordt gegeven door de formule
\(OM = \frac{l\sqrt3}6\)
De apothem OM van een vierkant van zijde ik wordt gegeven door de formule
\(OM = \frac{l}2\)
De apothem OM van een regelmatige zeshoek aan één kant ik wordt gegeven door de formule
\(OM = \frac{l\sqrt3}2\)
Het apothema van een piramide is het segment dat het hoekpunt verbindt met het middelpunt van een van de randen van de basis, en de maat kan worden verkregen door de stelling van Pythagoras.
Voorbeelden van apothem
Om de apothema van een veelhoek te vinden, moeten we de construeren lijnstuk dat het midden van de veelhoek verbindt met het middelpunt van een van de zijden. Onthoud dat het middelpunt van een veelhoek is waar de bissectrices samenkomen.
In deze voorbeelden werd de apothem beschouwd in vlakke veelhoeken. Er is echter een ruimtevoorwerp dat een ander soort apothema heeft: de piramide.
In een piramide zijn er twee soorten apothem: de apothem van de basis, wat de apothem is van de veelhoek die de basis van de piramide vormt, en de apothem van de piramide, wat de segment dat het hoekpunt verbindt met het middelpunt van een basisrand (dat wil zeggen, het is de hoogte van een zijvlak van de basis). piramide).
In het onderstaande voorbeeld met een vierkant grondvlak is segment OM de apothema van de basis en segment VM is het apothema van de piramide, waarbij M het middelpunt van BC is.
Wat zijn de formules voor de apothema?
Als we de kenmerken van een veelhoek kennen, vooral regelmatige veelhoeken, kunnen we formules ontwikkelen voor het berekenen van de maat van de apothem. Laten we eens kijken wat deze formules zijn voor de belangrijkste regelmatige veelhoeken.
Gelijkzijdige driehoek apothema formule
Bij de geval van een gelijkzijdige driehoek, de hoogte en mediaan ten opzichte van een bepaalde zijde zijn hetzelfde. Dit betekent dat het middelpunt van de veelhoek samenvalt met de zwaartepunt van de driehoek. Het punt O verdeelt dus de hoogte AM als volgt:
\(AO = \frac{2}3 AM\) Het is \(OM=\frac{1}03:00\)
Vergeet niet dat de maat van hoogte van een gelijkzijdige driehoek ik is gegeven door:
\(Hoogte\ driehoek\ gelijkzijdig=\frac{l\sqrt3}2\)
Daarom, aangezien AM de hoogte is van de gelijkzijdige driehoek ABC en het segment OM de apothem is van de driehoek, kunnen we de volgende uitdrukking voor de maat van OM uitwerken, ervan uitgaande dat de zijde van de driehoek meet ik:
\(OM =\frac{1}3 AM = \frac{1}3 ⋅\frac{l\sqrt3}2\)
\(OM = \frac{l\sqrt3}6\)
Apothema van de vierkante formule
In het geval van het plein de maat van de apothem komt overeen met de helft van de lengte van de zijde. Dus als O het middelpunt van het vierkant is, is M het middelpunt van een van de zijden, en ik is de lengte van de zijde van het vierkant, dus de formule voor de apothema OM is
\(OM=\frac{l}2\)
Regelmatige zeshoekige apothema-formule
In de regelmatige zeshoek komt de apothem overeen met de hoogte van een gelijkzijdige driehoek met hoekpunten aan twee uiteinden van een van de zijden en in het midden van de veelhoek. In het onderstaande voorbeeld is de apothem OM van de regelmatige zeshoek de hoogte van de gelijkzijdige driehoek OCD, waarbij M het middelpunt van CD is.
Zoals we eerder vermeldden, is de hoogte van een gelijkzijdige driehoek bekend. Dus als de zijde van een regelmatige zeshoek meet ik, dan is de formule voor de apothema OM
\(OM =\frac{l\sqrt3}2\)
Pyramid Apothema-formule
De maat van de apothem van de piramide kan verkregen worden met de Hulp bij de stelling van Pythagoras. In het onderstaande voorbeeld is de driehoek VOM in een vierkante piramide een rechthoek, met benen VO en OM en schuine zijde VM. Merk op dat VO de hoogte van de piramide is, OM de apothem van de basis is en VM de apothem van de piramide is.
Om de maat van de apothem van de piramide te bepalen, moeten we dus de stelling van Pythagoras toepassen:
\((VM)^2=(VO)^2+(OM)^2\)
Voorzichtig! VM is de hoogte van een gelijkbenige driehoek, niet een gelijkzijdige driehoek. In dit geval kunnen we dus de formule voor de hoogte van een gelijkzijdige driehoek niet gebruiken.
Hoe wordt de apothem berekend?
Om de apothema van een veelhoek of de piramide te berekenen, kunnen we de geconstrueerde formules gebruiken of de apothema associëren met de straal van de ingeschreven cirkel.
Voorbeeld 1: Stel dat een cirkel met een straal van 3 cm is ingeschreven in een gelijkzijdige driehoek. Wat is de maat van de apothema van deze driehoek?
Aangezien de apothema van een veelhoek dezelfde maat heeft als de straal van de ingeschreven cirkel, is de apothema van de driehoek 3 cm.
Voorbeeld 2: Hoe groot is de apothema van een regelmatige zeshoek met een zijde van 4 cm?
De formule gebruiken voor de apothema van een regelmatige zeshoek met \(l=4\) cm, we moeten
\(Meting\ van\ apothem=\frac{4\sqrt3}2=2\sqrt3\ cm\)
Lees ook: Alles over de opvallende punten van een driehoek
Opgeloste oefeningen op de apothem
vraag 1
Als een piramide van 4 cm hoog een basisapothema heeft van 3 cm, dan is de meting van het apothema van de piramide
een) 5cm
b) 6cm
c) 7cm
d) 8cm
e) 9cm
Oplossing:
In een piramide kunnen we een rechthoekige driehoek construeren waarin één been de apothem van de basis is, het andere been de hoogte van de piramide en de hypotenusa de apothem van de piramide. Dus door de stelling van Pythagoras toe te passen op de schuine zijde van maat x,
\(x^2=3^2+4^2\)
\(x = 5\cm\)
Alternatief A.
vraag 2
Als de apothema van een vierkant y cm is, dan is de zijde van het vierkant dat ook
De) \(\frac{1}3j \) cm
B) \(\frac{1}2j \) cm
c) y cm
d) 2j cm
e) 3j cm
Oplossing
De apothem van een vierkant is de helft van de lengte van de zijde van het vierkant. Dus als de apothem y cm meet, meet het vierkant 2 y cm.
Alternatief D.
Door Maria Luiza Alves Rizzo
Wiskunde leraar