Sinus-, cosinus- en tangensoefeningen

Bestudeer met de opgeloste sinus-, cosinus- en tangensoefeningen. Oefen en verhelp je twijfels met de becommentarieerde oefeningen.

vraag 1

Bepaal de waarden van x en y in de volgende driehoek. Beschouw sin 37º = 0,60, cosinus van 37º = 0,79 en tan 37º = 0,75.

Zie antwoord

Antwoord: y = 10,2 m en x = 13,43 m

Om y te bepalen, gebruiken we de sinus van 37º, wat de verhouding is van de andere kant tot de hypotenusa. Het is de moeite waard om te onthouden dat de hypotenusa het segment is tegenover de hoek van 90º, dus het is 17 m waard.

s en n ruimte 37º is gelijk aan y over 17 17 ruimte. s ruimte en n ruimte 37º is gelijk aan y 17 ruimte. spatie 0 komma 60 spatie is gelijk aan y spatie 10 komma 2 m spatie is gelijk aan y spatie

Om x te bepalen, kunnen we de cosinus van 37º gebruiken, wat de verhouding is tussen de zijde die grenst aan de hoek van 37º en de hypotenusa.

cos ruimte 37º is gelijk aan x over 17 17 ruimte. spatie cos spatie 37º is gelijk aan x 17 spatie. spatie 0 komma 79 spatie is gelijk aan spatie x 13 komma 4 m spatie ongeveer gelijk aan spatie x

vraag 2

Bepaal in de volgende rechthoekige driehoek de waarde van de hoek rechte tiet , in graden, en de sinus, cosinus en tangens.

Beschouwen:

zonde 28º = 0,47
cos 28º = 0,88

Zie antwoord

Antwoord: theta is gelijk aan 62 graden teken , cos spatie 62 graden teken ongeveer gelijk aan 0 komma 47 komma s en n spatie 62 graden teken ongeveer gelijk 0 komma 88 spatie en spatie a spatie tan spatie 62 graden teken spatie ongeveer gelijke spatie 1 punt 872.

In een driehoek is de som van de binnenhoeken gelijk aan 180°. Omdat het een rechthoekige driehoek is, is er een hoek van 90º, dus er zijn nog eens 90º over voor de twee hoeken.

instagram story viewer

Op deze manier hebben we:

28 e spatie plus spatie theta spatie is gelijk aan spatie 90 º theta spatie is gelijk aan spatie 90 º spatie min spatie 28 º theta spatie is gelijk aan spatie 62 º

Aangezien deze hoeken complementair zijn (van de ene is de andere hoeveel er over is om 90º te voltooien), is het geldig dat:

cos 62º = zonde 28º = 0,47

sin 62º = cos 28º = 0,88

Tangens berekening

De tangens is de verhouding van de sinus tot de cosinus.

tan spatie 62º spatie is gelijk aan spatie teller s en n spatie 62º boven noemer cos spatie 62º einde van breuk is gelijk aan teller 0 komma 88 boven noemer 0 komma 47 einde van breuk ongeveer gelijk aan 1 komma 872

vraag 3

Op een bepaald moment van een zonnige dag wordt de schaduw van een huis 23 meter lang geprojecteerd. Dit restant maakt 45º ten opzichte van de grond. Bepaal op deze manier de hoogte van het huis.

Zie antwoord

Antwoord: De hoogte van de woning is 23 m.

Om een hoogte te bepalen, de hellingshoek kennende, gebruiken we de tangens van de hoek van 45°.

De raaklijn van 45° is gelijk aan 1.

Het huis en de schaduw op de grond zijn de benen van een rechthoekige driehoek.

$tan spatie 45 º is gelijk aan teller c a t e t o spatie o post t o over noemer c a t e t spatie a d j a c e n t e einde van breuk is gelijk aan teller a l t u r een spatie d a spatie c a s a overnoemer m e d i d a spatie d a spatie s om br r end of fraction tan spatie 45 º is gelijk aan a meer dan 23 1 is gelijk aan a meer dan 23 een spatie is gelijk aan spatie 23 ruimte m$

Zo is de hoogte van het huis 23 m.

vraag 4

Een landmeter is een professional die wiskundige en geometrische kennis gebruikt om metingen te doen en een oppervlak te bestuderen. Met behulp van een theodoliet, een hulpmiddel dat onder andere hoeken meet, gepositioneerd op 37 meter weg van een gebouw, vond hij een hoek van 60° tussen een vlak evenwijdig aan de grond en de hoogte van de gebouw. Als de theodoliet op een statief 180 cm van de grond stond, bereken dan de hoogte van het gebouw in meters.

beschouwen vierkantswortel van 3 is gelijk aan 1 punt 73

Zie antwoord

Antwoord: De hoogte van het gebouw is 65,81 m.

Een schets maken van de situatie die we hebben:

De hoogte van het gebouw kan dus worden bepaald met behulp van de raaklijn van 60º, vanaf de hoogte waar de theodoliet zich bevindt, en het resultaat wordt toegevoegd met 180 cm of 1,8 m, aangezien dit de hoogte is vanaf de grond.

De 60° tangens is gelijk aan vierkantswortel van 3 .

Hoogte vanaf de theodoliet

tan spatie 60 º spatie is gelijk aan spatie teller hoogte spatie d de spatie p r is d i o boven noemer 37 einde van breuk vierkantswortel van 3 spatie is gelijk aan teller spatie a l t u r een spatie d de spatie p r is d i o boven noemer 37 einde van breuk 1 komma 73 spatie. spatie 37 spatie gelijk aan l t u r a spatie d o spatie p r is d i o 64 komma 01 spatie gelijk aan spatie a l t u r a spatie d o spatie p r e d i o

Totale hoogte

64,01 + 1,8 = 65,81 m

De hoogte van het gebouw is 65,81 m.

vraag 5

Bepaal de omtrek van de vijfhoek.

Beschouwen:
zonde 67° = 0.92
cos 67° = 0,39
bruin 67° = 2.35

Zie antwoord

Antwoord: De omtrek is 219,1 m.

De omtrek is de som van de zijden van de vijfhoek. Omdat er een rechthoekig deel is van 80 m, is de overzijde ook 80 m lang.

De omtrek wordt gegeven door:

P = 10 + 80 + 80 + a + b
P = 170 + a + b

Het zijn De, evenwijdig aan de blauwe stippellijn, kunnen we de lengte bepalen met behulp van de 67°-raaklijn.

tan spatie 67 graden teken is gelijk aan een spatie van meer dan 10 2 komma 35 is gelijk aan spatie van meer dan 102 spatie van komma 35. spatie 10 spatie is gelijk aan spatie a 23 komma 5 spatie is gelijk aan spatie a

Om de waarde van b te bepalen, gebruiken we de cosinus van 67°

cos ruimte 67 graden teken ruimte is gelijk aan ruimte 10 boven b b is gelijk aan teller 10 boven noemer cos ruimte 67 teken van graad einde van breuk b is gelijk aan teller 10 boven noemer 0 komma 39 einde van breuk b spatie ongeveer gelijk aan 25 komma 6

De omtrek is dus:

P = 170 + 23,5 + 25,6 = 219,1 m

vraag 6

Zoek de sinus en cosinus van 1110°.

Zie antwoord

Gezien de trigonometrische cirkel hebben we dat een volledige draai 360 ° heeft.

Als we 1110° door 360° delen, krijgen we 3,0833.... Dit betekent 3 volledige beurten en een beetje meer.

Als we 360° x 3 = 1080° nemen en aftrekken van 1110 hebben we:

1110° - 1080° = 30°

Als we de richting tegen de klok in als positief beschouwen, keren we na drie volledige bochten terug naar het begin, 1080° of 0°. Vanaf dit punt gaan we nog eens 30° vooruit.

Dus de sinus en cosinus van 1110° zijn gelijk aan de sinus en cosinus van 30°

$s en n spatie 1110 graden teken spatie is gelijk aan spatie s en n spatie 30 graden teken spatie is gelijk aan spatie 1 half cos spatie 1110 teken van graad spatie is gelijk aan spatie cos spatie 30 graden teken spatie is gelijk aan spatie teller vierkantswortel van 2 boven noemer 2 einde van fractie$

vraag 7

(CEDERJ 2021) Terwijl ze studeerde voor een trigonometrietest, leerde Júlia dat sin² 72° gelijk is aan

1 - cos² 72°.

cos² 72° - 1.

tg² 72° - 1.

1 - tg² 72º.

feedback uitgelegd

De fundamentele relatie van trigonometrie zegt dat:

s en n kwadraat x spatie plus spatie cos kwadraat x is gelijk aan 1

Waar x de waarde van de hoek is.

Als we x = 72º nemen en de sinus isoleren, hebben we:

s en n kwadraatruimte 72º is gelijk aan 1 min cos kwadraatruimte 72º

vraag 8

Oprijplaten zijn een goede manier om de toegankelijkheid voor rolstoelgebruikers en mensen met beperkte mobiliteit te waarborgen. De toegankelijkheid van gebouwen, meubilair, ruimtes en stedelijke uitrusting is wettelijk gegarandeerd.

De Braziliaanse Vereniging van Technische Normen (ABNT), in overeenstemming met de Braziliaanse wet voor de integratie van personen met Handicap (13.146/2015), regelt de constructie en bepaalt de helling van de hellingen, evenals de berekeningen voor hun bouw. De ABNT rekenrichtlijnen geven een maximale hellingsgrens aan van 8,33% (verhouding 1:12). Dit betekent dat een hellingbaan, om een verschil van 1 m te overbruggen, minimaal 12 m lang moet zijn en dit definieert dat de hellingshoek van de helling ten opzichte van het horizontale vlak niet groter kan zijn dan 7°.

Volgens de vorige informatie, zodat een hellingbaan, met een lengte gelijk aan 14 m en een helling van 7º in ten opzichte van het vlak, binnen de ABNT-normen valt, moet het dienen om een opening te overbruggen met een maximale hoogte van

Gebruik: sin 7e = 0,12; cos 7º = 0,99 en tan 7º = 0,12.

a) 1,2 meter.

b) 1,32 meter.

c) 1,4 meter.

d) 1,56 m.

e) 1,68 meter.

feedback uitgelegd

De helling vormt een rechthoekige driehoek met een lengte van 14 m en maakt een hoek van 7º ten opzichte van de horizontaal, waarbij de hoogte de zijde tegenover de hoek is.

Sinus van 7° gebruiken:

s en n ruimte 7 graden teken gelijk aan meer dan 1414 ruimte. s spatie en n spatie 7 graden tekenruimte is gelijk aan spatie a14 spatie. spatie 0 komma 12 spatie is gelijk aan spatie a1 komma 68 spatie is gelijk aan spatie a

s en n 7e ruimte is gelijk aan een ruimte van meer dan 140 punt 12. spatie 14 spatie is gelijk aan spatie a1 komma 68 spatie is gelijk aan spatie a

De hoogte die de oprit moet bereiken is 1,68 m.

vraag 9

(Unesp 2012) Op een glooiend terrein wordt een ziekenhuisgebouw gebouwd. Om de constructie te optimaliseren, ontwierp de verantwoordelijke architect de parkeerplaats in de kelder van het gebouw, met ingang vanaf de achterstraat van het land. De receptie van het ziekenhuis bevindt zich 5 meter boven het niveau van de parkeerplaats, waardoor de aanleg van een rechte oprit voor patiënten met mobiliteitsproblemen noodzakelijk is. De figuur geeft schematisch deze helling (r) weer, verbindingspunt A, op de ontvangstverdieping, met punt B, op de parkeerverdieping, die een minimum α helling van 30º en een maximum van 45º moet hebben.

Onder deze omstandigheden en rekening houdend met vierkantswortel van 2 is gelijk aan 1 punt 4 , wat moeten de maximale en minimale waarden zijn, in meters, van de lengte van deze oprit?

Zie antwoord

Antwoord: De lengte van de oprit is minimaal 7 m en maximaal 10 m.

Het project voorziet al en stelt de hoogte vast op 5 m. We moeten de lengte van de helling berekenen, de hypotenusa van de rechthoekige driehoek, voor de hoeken van 30° en 45°.

Voor de berekening hebben we de sinus van de hoek gebruikt, zijnde de verhouding tussen de tegenoverliggende zijde, 5 m, en de hypotenusa r, de lengte van de helling.

Voor de opvallende hoeken 30° en 45° zijn de sinuswaarden:

s en n spatie 30 graden teken spatie is gelijk aan spatie 1 halve s en n spatie 45 graden teken spatie is gelijk aan spatie teller vierkantswortel van 2 boven noemer 2 einde van breuk

voor 30°

tot 45°

rationaliseren

Vervanging van de waarde van

vraag 10

(EPCAR 2020) 's Nachts vliegt een helikopter van de Braziliaanse luchtmacht over een vlak gebied en ziet een UAV (Air Vehicle .) onbemand) van ronde vorm en verwaarloosbare hoogte, met een straal van 3 m evenwijdig aan de grond geparkeerd op 30 m van hoogte.

De UAV bevindt zich op een afstand van y meter van een zoeklicht dat op de helikopter is geïnstalleerd.

De lichtstraal van het zoeklicht dat de UAV passeert, valt op het vlakke gebied en produceert een cirkelvormige schaduw met middelpunt O en straal R.

De straal R van de omtrek van de schaduw vormt een hoek van 60º met de lichtstraal, zoals te zien is in de volgende afbeelding.

Op dat moment rent een persoon die zich in punt A op de omtrek van de schaduw bevindt, naar punt O, voet van de loodlijn getrokken vanuit de schijnwerper naar het vlakke gebied.

De afstand, in meters, die deze persoon aflegt van A naar O is een getal tussen

a) 18 en 19

b) 19 en 20

c) 20 en 21

d) 22 en 23

feedback uitgelegd

doelstelling

Bepaal de segmentlengte AO in bovenframe , straal van de cirkel van de schaduw.

Gegevens

Hoogte van O tot UAV is 30 m.
De straal van de UAV is 3 m.

Met behulp van de 60° tangens bepalen we het rood gemarkeerde onderdeel in de volgende afbeelding:

Afbeelding gekoppeld aan de oplossing van het probleem.

Gezien de tangens van 60° = vierkantswortel van 3 en de raaklijn is de verhouding tussen de zijde tegenover de hoek en de aangrenzende zijde, we hebben: