Een veeltermvergelijking wordt gekenmerkt door het hebben van een polynoom gelijk aan nul. Het kan worden gekenmerkt door de graad van de polynoom, en hoe groter deze graad, hoe groter de moeilijkheidsgraad bij het vinden van de oplossing of wortel.
Het is in deze context ook belangrijk om te begrijpen wat de fundamentele stelling van de algebra is, die stelt dat: elke polynoomvergelijking heeft minstens één complexe oplossing, met andere woorden: een vergelijking van graad één zal minstens één oplossing hebben, een vergelijking van graad twee zal minstens twee oplossingen hebben, enzovoort.
Lees ook: Wat zijn de klassen van polynomen?
Wat is een polynoomvergelijking?
Een polynoomvergelijking wordt gekenmerkt door een polynoom gelijk aan nul, dus elke uitdrukking van het type P(x) = 0 is een polynoomvergelijking, waarbij P(x) een polynoom is. Hieronder staat het algemene geval van een polynoomvergelijking en enkele voorbeelden.
Houd rekening met deNee, eenn -1, een n -2, …, De1, een0 en x echte getallen
, en n een positief geheel getal is, is de volgende uitdrukking een polynoomvergelijking van graad n.
- Voorbeeld
De volgende vergelijkingen zijn veeltermen.
a) 3x4 + 4x2 – 1 = 0
b) 5x2 – 3 = 0
c) 6x – 1 = 0
d) 7x3 - x2 + 4x + 3 = 0
Net als veeltermen hebben veeltermvergelijkingen hun graad. Om de graad van een polynoomvergelijking te bepalen, zoekt u gewoon de hoogste macht waarvan de coëfficiënt verschilt van nul. Daarom zijn de vergelijkingen van de vorige items respectievelijk:
a) De vergelijking is van vierde graad:3x4+ 4x2 – 1 = 0.
b) De vergelijking is van middelbare school:5x2 – 3 = 0.
c) De vergelijking is van eerste graad:6x – 1 = 0.
d) De vergelijking is van de derdegraads: 7x3- x2 + 4x + 3 = 0.
Hoe een polynoomvergelijking op te lossen?
De methode voor het oplossen van een polynoomvergelijking hangt af van de graad. Hoe groter de graad van een vergelijking, hoe moeilijker het is om deze op te lossen. In dit artikel laten we de oplossingsmethode zien voor polynoomvergelijkingen van de eerste graad, tweede graad en bisquare.
Polynoomvergelijking van de eerste graad
Een polynoomvergelijking van de eerste graad wordt beschreven door a graad 1 polynoom. Dus we kunnen een vergelijking van de eerste graad in het algemeen als volgt schrijven.
Beschouw twee reële getallen De en B met een ≠ 0 is de volgende uitdrukking een polynoomvergelijking van de eerste graad:
ax + b = 0
Om deze vergelijking op te lossen, moeten we de gebruiken gelijkwaardigheidsbeginsel, dat wil zeggen, alles wat aan de ene kant van gelijkheid wordt geopereerd, moet ook aan de andere kant worden geopereerd. Om de oplossing van een vergelijking van de eerste graad te bepalen, moeten we: het onbekende isoleren. Hiervoor is de eerste stap het elimineren van de B aan de linkerkant van de gelijkheid, en dan aftrekkenroeiriemen b aan beide zijden van de gelijkheid.
bijl + b - B = 0 - B
ax = - b
Merk op dat de waarde van de onbekende x niet geïsoleerd is, de coëfficiënt a moet worden geëlimineerd vanaf de linkerkant van de gelijkheid, en laten we daarvoor beide zijden delen door De.
- Voorbeeld
Los de vergelijking 5x + 25 = 0 op.
Om het probleem op te lossen, moeten we het equivalentieprincipe gebruiken. Om het proces te vergemakkelijken, zullen we het schrijven van de bewerking aan de linkerkant van de gelijkheid weglaten, namelijk: equivalent dan om te zeggen dat we het nummer naar de andere kant gaan "doorgeven" en het teken veranderen (inverse operatie).
Lees meer over het oplossen van dit type vergelijking door onze tekst te openen: Eerstegraadsvergelijking met een onbekende.
Polynoomvergelijking van de tweede graad
Een polynoomvergelijking van de tweede graad heeft de eigenschap a graad twee polynoom. Overweeg dus a, b en c reële getallen met a ≠ 0. Een tweedegraadsvergelijking wordt gegeven door:
bijl2 + bx + c = 0
Uw oplossing kan worden bepaald met behulp van de methode van: bhaskara of door factoring. Als je meer wilt weten over vergelijkingen van dit type, lees dan: gelijk aanactie van stweede Grauw.
→ Bhaskara-methode
Met behulp van de methode van Bhaskara worden de wortels gegeven door de volgende formule:
- Voorbeeld
Vind de oplossing van de vergelijking x2 – 3x + 2 = 0.
Merk op dat de coëfficiënten van de vergelijking respectievelijk a = 1, b = – 3 en c = 2 zijn. Als we deze waarden in de formule vervangen, moeten we:
→ Factorisatie
Zie dat het mogelijk is om de uitdrukking x. te ontbinden2 – 3x + 2 = 0 met het idee van polynomiale factorisatie.
x2 – 3x + 2 = 0
(x – 2) · (x – 1) = 0
Merk nu op dat we een product hebben dat gelijk is aan nul, en een product is alleen gelijk aan nul als een van de factoren gelijk is aan nul, dus we moeten:
x – 2 = 0
x = 2
of
x - 1 = 0
x = 1
Zie dat we de oplossing voor de vergelijking hebben gevonden met behulp van twee verschillende methoden.
bi-kwadraatvergelijking
DE bikwadraatvergelijking het is een bijzonder geval van een veeltermvergelijking van de vierde graad, zou normaal gesproken een vierdegraadsvergelijking worden geschreven in de vorm:
bijl4 + bx3 + doos2 + dx + e = 0
waar de cijfers a B C D en en zijn reëel met een ≠ 0. Een vierdegraadsvergelijking wordt als bi-kwadraat beschouwd als de coëfficiënten b = d = 0, dat wil zeggen, de vergelijking heeft de vorm:
bijl4 + doos2 + en = 0
Zie in het onderstaande voorbeeld hoe u deze vergelijking oplost.
- Voorbeeld
Los de x-vergelijking op4 – 10x2 + 9 = 0.
Om de vergelijking op te lossen, gaan we de volgende onbekende verandering gebruiken, en wanneer de vergelijking bi-kwadraat is, gaan we die verandering doorvoeren.
x2 =p
Merk uit de bi-kwadraatvergelijking op dat x4 = (x2)2 en daarom moeten we:
x4 – 10x2 + 9 = 0
(x2)2 – 10x2 + 9 = 0
voor2 – 10p + 9 = 0
Zie dat we nu een polynoomvergelijking van de tweede graad hebben en we kunnen de methode van Bhaskara gebruiken, zoals deze:
We moeten echter onthouden dat er aan het begin van de oefening een onbekende wijziging is aangebracht, dus we moeten de waarde toepassen die is gevonden in de vervanging.
x2 =p
Voor p = 9 hebben we dat:
x2 = 9
x' = 3
of
x’’ = – 3
Voor p = 1
x2 = 1
x' = 1
of
x’’ = – 1
Daarom is de oplossingsverzameling van de bi-kwadraatvergelijking:
S = {3, –3, 1, –1}
Lees ook: Briot-Ruffini's praktische apparaat - verdeling van polynomen
Fundamentele Stelling van Algebra (TFA)
De fundamentele stelling van de algebra (TFA), bewezen door Gauss in 1799, stelt dat elke polynoomvergelijking als volgt minstens één complexe wortel heeft.
De wortel van een polynoomvergelijking is de oplossing, dat wil zeggen, de onbekende waarde maakt de gelijkheid waar. Een vergelijking van de eerste graad heeft bijvoorbeeld een wortel die al is bepaald, evenals een vergelijking van de tweede graad, die ten minste twee wortels heeft, en een bi-kwadraat, die ten minste vier wortels heeft.
opgeloste oefeningen
vraag 1 – Bepaal de waarde van x die de gelijkheid waar maakt.
2x – 8 = 3x + 7
Oplossing
Merk op dat om de vergelijking op te lossen, het nodig is om het te organiseren, dat wil zeggen, laat alle onbekenden aan de linkerkant van de gelijkheid.
2x – 8 = 3x + 7
2x – 3x = 7 + 8
– x = 15
Volgens het equivalentieprincipe kunnen we beide zijden van de gelijkheid met hetzelfde getal vermenigvuldigen, en aangezien we de waarde van x willen vinden, zullen we beide zijden met -1 vermenigvuldigen.
(–1)– x = 15(–1)
x = – 15
vraag 2 – Marcos heeft R$ 20 meer dan João. Samen slagen ze erin om twee paar sneakers te kopen, die R $ 80 per paar kosten en zonder geld meer te hebben. Hoeveel reais heeft John?
Oplossing
Stel dat Mark x reais heeft, zoals John 20 reais meer heeft, dus hij heeft x + 20.
Markeringen → x reals
João → (x + 20) reais
hoe hebben ze gekocht? twee paar sneakers die elk 80 reais kosten, dus als we de onderdelen van elk samenvoegen, moeten we:
x + (x + 20) = 2 · 80
x + x = 160 – 20
2x = 140
Daarom had Mark 70 reais en João 90 reais.
door Robson Luiz
Wiskundeleraar
Bron: Brazilië School - https://brasilescola.uol.com.br/matematica/equacao-polinomial.htm