Permutatie is een teltechniek die wordt gebruikt om te bepalen hoeveel manieren er zijn om de elementen van een eindige verzameling te ordenen. Een uitwisseling doen is een uitwisseling uitvoeren en, in combinatorische problemen, betekent dit het uitwisselen van de elementen van plaats, rekening houdend met hun volgorde.
Deze technieken maken deel uit van een gebied van de wiskunde dat combinatorische analyse wordt genoemd en dat tot doel heeft de verschillende manieren om verzamelingen en hun elementen te organiseren te kennen en te tellen. Eenvoudige permutatie en a met herhaalde elementen pakken deze categorie problemen aan.
eenvoudige permutatie
Een eenvoudige permutatie is de ordening van de elementen van een eindige verzameling, wanneer hun elementen herhalen zich niet, zijn onderscheiden. Het wordt gebruikt om de hoeveelheid van deze soorten te bepalen.
De hoeveelheid van permutaties van een verzameling van n elementen is gelijk aan n! (leest n faculteit).
De formule voor het bepalen van het aantal eenvoudige permutaties is
Beschouw een verzameling met n elementen. Om ze in een wachtrij te ordenen, moeten we de eerste kiezen, en daarvoor hebben we n mogelijkheden. Om de tweede te kiezen, hebben we (n-1) mogelijkheden, één minder, omdat we al een optie gebruikten bij het kiezen van de eerste. Dit proces gaat door totdat er nog maar één element overblijft.
Om het totale aantal permutaties te bepalen, vermenigvuldigen we het aantal mogelijkheden dat bestaat bij het kiezen van elk element. Dus:
De bovenstaande uitdrukking heet faculteit van n en we gebruiken het symbool Nee!.
leer meer over faculteit hier.
Voorbeeld:
De verschillende manieren om de letters van een woord te ordenen worden anagrammen genoemd. Hoeveel anagrammen zijn er voor het woord EEND?
Dit zijn de mogelijkheden:
Dus, aangezien het woord PATO 4 letters heeft, moeten we:
Er zijn dus 24 eenvoudige permutaties voor het woord EEND.
Eenvoudige permutatie-oefeningen
vraag 1
Bereken de waarde van .
vraag 2
Overweeg een wachtrij van mensen die het eerst komt, het eerst maalt, waarbij er op elk moment zes mensen zijn. Op hoeveel verschillende manieren kunnen deze mensen van de eerste tot de laatste worden gerangschikt?
Elk bestelformulier is een eenvoudige permutatie, aangezien individuen uniek zijn en zichzelf niet herhalen. Dus met zes personen is het antwoord een permutatie met 6 elementen.
vraag 3
Denk aan het woord VORK en beantwoord de volgende vragen?
a) Hoeveel zijn de anagrammen van het woord VORK?
Omdat de letters niet worden herhaald, is dit een eenvoudig geval van permutatie met 5 elementen.
b) Hoeveel anagrammen beginnen met de letter A?
In dit geval fixeren we de letter A aan het begin en berekenen we de permutaties met de letters GRFO, dit zijn permutaties van 4 elementen.
1 mogelijkheid voor de letter A x .
c) Hoeveel anagrammen zijn er als de klinkers altijd naast elkaar staan?
Een mogelijkheid zou G R F A O zijn.
Er zijn drie manieren om de medeklinkers te ordenen. P3 = 3 x 2 x 1 = 6
Er zijn twee manieren om de klinkers te bestellen. P2 = 2 x 1 = 2
Er zijn nog twee manieren om de groepen (medeklinkers en klinkers) onderling te organiseren. P2 = 2 x 1 = 2
Vermenigvuldig nu gewoon de resultaten.
P3 x P2 x P2 = 6 x 2 x 2 = 24
Er zijn dus 24 anagrammen waarbij de klinkers altijd bij elkaar staan.
Permutatie met herhaling
Een permutatie met herhaalde elementen vindt plaats wanneer in een verzameling van n elementen, sommige gelijk zijn.
In de formule voor het bepalen van het aantal permutaties met herhaling delen we de faculteit van het totaal aantal n elementen door het product van de faculteiten van de herhalende elementen.
is het aantal permutaties van n elementen.
het is het aantal elementen van elk type dat wordt herhaald.
is de faculteit van het totale aantal elementen n.
Voorbeelden
Laten we eens kijken hoeveel permutaties er zijn voor het woord EGG. Laten we de letters inkleuren om het gemakkelijker te maken. Laten we eens kijken naar de anagrammen van het woord EGG.
Het aantal eenvoudige permutaties met 3 elementen wordt gegeven door
Sommige permutaties worden echter herhaald en we kunnen ze niet twee keer tellen. Hiervoor moeten we de waarde van delen (omdat het woord drie letters heeft), door
(omdat de letter O twee keer wordt herhaald).
Het aantal permutaties voor de letters van het woord OVO is dus gelijk aan 3.
Laten we eens kijken naar dit andere voorbeeld waar we het aantal permutaties voor de letters van het woord BANANA zullen definiëren.
Waar:
betekent permutatie met 6 elementen waarbij de letters A en N worden herhaald.
3! want de letter A herhaalt zich drie keer.
2! want de letter N wordt twee keer herhaald.
Een tip om de berekening makkelijker te maken is om de 6 te ontwikkelen! totdat je 3! bereikt, vereenvoudiging met de noemer. Zie de ontwikkeling.
Het aantal permutaties voor de letters in het woord BANANA is dus gelijk aan 60.
Misschien bent u geïnteresseerd in deze inhoud op combinatorische analyse:
Combinatorische analyse
Oefeningen op combinatorische analyse
