O de stelling van Pythagoras geeft de lengte van de zijden van de rechthoekige driehoek weer. Deze geometrische figuur wordt gevormd door een interne hoek van 90°, een rechte hoek genoemd.
De verklaring van deze stelling is:
"De som van de kwadraten van je benen komt overeen met het kwadraat van je hypotenusa."
Formule van de stelling van Pythagoras
Volgens de verklaring van de stelling van Pythagoras wordt de formule als volgt weergegeven:
De2 = b2 + c2
Wezen,
De: hypotenusa
B: categorie
ç: categorie
DE hypotenusa is de langste zijde van een rechthoekige driehoek en de zijde tegenover de rechte hoek. De andere twee zijden zijn de poten. De hoek gevormd door deze twee zijden heeft een maat die gelijk is aan 90right (rechte hoek).
We identificeerden ook de benen, volgens een referentiehoek. Dat wil zeggen, de zijde kan aangrenzende zijde of tegenoverliggende zijde worden genoemd.
Wanneer het been dicht bij de referentiehoek is, wordt het a. genoemd aangrenzend, aan de andere kant, als het tegen deze hoek is, wordt het genoemd tegenover.
Hieronder staan drie voorbeelden van toepassingen van de stelling van Pythagoras op de metrische relaties van een rechthoekige driehoek.
voorbeeld 1: bereken de maat van de hypotenusa
Als een rechthoekige driehoek 3 cm en 4 cm heeft als de afmetingen van de benen, wat is dan de hypotenusa van deze driehoek?
Daarom zijn de zijden van de rechthoekige driehoek 3 cm, 4 cm en 5 cm.
Voorbeeld 2: bereken de maat van een van de poten
Bepaal de maat van een been dat deel uitmaakt van een rechthoekige driehoek, waarvan de hypotenusa 20 cm is en het andere been 16 cm.
Daarom zijn de afmetingen van de zijden van de rechthoekige driehoek 12 cm, 16 cm en 20 cm.
Voorbeeld 3: controleer of een driehoek een rechthoek is
Een driehoek heeft zijden van 5 cm, 12 cm en 13 cm. Hoe weet je of het een rechthoekige driehoek is?
Om te bewijzen dat een rechthoekige driehoek waar is, moeten de afmetingen van de zijden voldoen aan de stelling van Pythagoras.
Aangezien de gegeven maten voldoen aan de stelling van Pythagoras, dwz dat het kwadraat van de hypotenusa gelijk is aan de som van het kwadraat van de benen, kunnen we zeggen dat de driehoek een rechthoek is.
Lees ook: Metrische relaties in de rechthoekige driehoek
Pythagoras Driehoek
Wanneer meet de zijkanten van a rechthoekige driehoek positieve gehele getallen zijn, wordt de driehoek een Pythagoras-driehoek genoemd.
In dit geval worden de benen en de hypotenusa "Pythagoras-pak" of "Pythagoras-trio" genoemd. Om te controleren of drie getallen een Pythagoras trio vormen, gebruiken we de relatie to2 = b2 + c2.
Het bekendste Pythagoras trio wordt vertegenwoordigd door de cijfers: 3, 4, 5. De hypotenusa is gelijk aan 5, het grotere been gelijk aan 4 en het kleinere been gelijk aan 3.
Merk op dat het gebied van de vierkanten die aan elke kant van de driehoek zijn getekend, net als de gerelateerd zijn Stelling van Pythagoras: de oppervlakte van het vierkant aan de lange zijde komt overeen met de som van de oppervlakten van de andere twee plein.
Interessant is dat de veelvouden van deze getallen ook een Pythagoras-reeks vormen. Als we bijvoorbeeld het trio 3, 4 en 5 met 3 vermenigvuldigen, krijgen we de getallen 9, 12 en 15 die ook een Pythagoras-reeks vormen.
Naast de kleuren 3, 4 en 5 zijn er nog tal van andere kleuren. Als voorbeeld kunnen we noemen:
- 5, 12 en 13
- 7, 24, 25
- 20, 21 en 29
- 12, 35 en 37
Lees ook: Trigonometrie in de rechthoekdriehoek
Wie was Pythagoras?
volgens de geschiedenis Pythagoras van Samos (570 u.. - 495 u. C.) was een Griekse filosoof en wiskundige die de Pythagorasschool in Zuid-Italië oprichtte. Ook wel de Pythagorean Society genoemd, omvatte het studies in wiskunde, astronomie en muziek.
Hoewel de metrische relaties van de rechthoekige driehoek al bekend waren bij de Babyloniërs, die lang voor Pythagoras leefden, het eerste bewijs dat deze stelling toegepast op een rechthoekige driehoek wordt verondersteld te zijn gemaakt door Pythagoras.
De stelling van Pythagoras is een van de bekendste, belangrijkste en meest gebruikte stellingen in de wiskunde. Het is essentieel bij het oplossen van problemen in analytische meetkunde, vlakke meetkunde, ruimtelijke meetkunde en trigonometrie.
Naast de stelling waren andere belangrijke bijdragen van de Pythagoras Society for Mathematics:
- Ontdekking van irrationele getallen;
- Eigenschappen van gehele getallen;
- MMC en MDC.
Lees ook: Wiskundige formules
Bewijzen van de stelling van Pythagoras
Er zijn verschillende manieren om de stelling van Pythagoras te bewijzen. Bijvoorbeeld het boek De stelling van Pythagoras, gepubliceerd in 1927, presenteerde 230 manieren om het te demonstreren, en een andere editie, uitgebracht in 1940, nam toe tot 370 demonstraties.
Bekijk de video hieronder en bekijk enkele demonstraties van de stelling van Pythagoras.
Becommentarieerde oefeningen op de stelling van Pythagoras
vraag 1
(PUC) De som van de kwadraten van de drie zijden van een rechthoekige driehoek is 32. Hoe lang is de hypotenusa van de driehoek?
a) 3
b) 4
c) 5
d) 6
Correct alternatief: b) 4.
Uit de informatie in de verklaring weten we dat de2 + b2 + c2 = 32. Aan de andere kant moeten we volgens de stelling van Pythagoras2 = b2 + c2 .
De waarde van b. vervangen2+c2 Door de2 in de eerste uitdrukking vinden we:
De2 + de2 =32 ⇒ 2. De2 = 32 ⇒ tot2 = 32/2 ⇒ tot2 = 16 ⇒ een = √ 16
a=4
Voor meer vragen zie: Stelling van Pythagoras - Oefeningen
vraag 2
(En ook)
In de bovenstaande figuur, die het ontwerp van een trap met 5 treden van dezelfde hoogte weergeeft, is de totale lengte van de leuning gelijk aan:
een) 1.9m
b) 2,1 m
c) 2.0m
d) 1,8 m
e) 2,2 m
Correct alternatief: b) 2.1m.
De totale lengte van de leuning zal gelijk zijn aan de som van de twee lengtes van 30 cm met het gedeelte waarvan we de maat niet weten.
We kunnen aan de figuur zien dat de onbekende sectie de hypotenusa vertegenwoordigt van een rechthoekige driehoek, waarvan de afmeting van een van de benen gelijk is aan 90 cm.
Om de maat van het andere been te vinden, moeten we de lengte van de 5 stappen optellen. Daarom hebben we b = 5. 24 = 120cm.
Om de hypotenusa te berekenen, passen we de stelling van Pythagoras toe op deze driehoek.
De2 = 902 + 1202 naar2 = 8100 + 14 400 tot2 = 22 500 ⇒ a = √ 22 500 = 150 cm
Merk op dat we het idee van de Pythagoreïsche kleuren hadden kunnen gebruiken om de hypotenusa te berekenen, aangezien de benen (90 en 120) veelvouden zijn van de 3, 4 en 5 kleuren (alle termen vermenigvuldigen met 30).
Op deze manier wordt de totale afmeting van de leuning:
30 + 30 + 150 = 210 cm = 2,1 m
Test je kennis met Trigonometrie-oefeningen
vraag 3
(UERJ) Millôr Fernandes schreef in een prachtig eerbetoon aan de wiskunde een gedicht waaruit we het onderstaande fragment halen:
Op zoveel vellen van een wiskundeboek,
a Quotient werd op een dag wild verliefd
door een onbekende.
Hij keek haar aan met zijn ontelbare blikken
en hij zag haar van top tot teen: een vreemde gestalte;
ruitvormige ogen, trapeziumvormige mond,
rechthoekig lichaam, bolvormige borsten.
Maakte jouw leven parallel aan het hare,
totdat ze elkaar ontmoetten in Infinity.
"Wie ben je?" - Vroeg hij in radicale angst.
“Ik ben de som van de vierkanten van de benen.
Maar je mag me hypotenusa noemen.”
(Millor Fernandes. Dertig jaar van mezelf.)
Incognita had het bij het verkeerde eind om te zeggen wie het was. Om aan de stelling van Pythagoras te voldoen, moet het volgende worden gedaan:
a) “Ik ben het kwadraat van de som van de benen. Maar noem me het hypotenusavierkant.”
b) “Ik ben de som van de benen. Maar je mag me hypotenusa noemen.”
c) “Ik ben het kwadraat van de som van de benen. Maar je mag me hypotenusa noemen.”
d) “Ik ben de som van de vierkanten van de benen. Maar noem me het hypotenusavierkant.”
Alternatief d) “Ik ben de som van de vierkanten van de benen. Maar noem me het hypotenusavierkant.”
Meer informatie over het onderwerp:
- gelijkbenige driehoek
- Sinus, cosinus en tangens
- Wiskunde in Enem
