DE waarschijnlijkheids theorie is de tak van de wiskunde die experimenten of willekeurige verschijnselen bestudeert en hierdoor is het mogelijk om de kans op een bepaalde gebeurtenis te analyseren.
Wanneer we kansberekeningen associëren, associëren we een zekere mate van vertrouwen dat de mogelijke resultaten van experimenten zullen optreden, waarvan de resultaten niet vooraf kunnen worden bepaald.
Op deze manier associeert de kansberekening het optreden van een resultaat met een waarde die varieert van 0 tot 1, en hoe dichter het resultaat bij 1 ligt, hoe groter de zekerheid dat het voorkomt.
We kunnen bijvoorbeeld de kans berekenen dat een persoon een winnend lot koopt of de kans kennen dat een paar 5 kinderen krijgt, allemaal jongens.
willekeurig experiment
Een willekeurig experiment is een experiment dat niet kan voorspellen welk resultaat zal worden gevonden voordat het wordt uitgevoerd.
Gebeurtenissen van dit type kunnen, wanneer herhaald onder dezelfde omstandigheden, verschillende resultaten geven en deze inconsistentie wordt toegeschreven aan toeval.
Een voorbeeld van een willekeurig experiment is om een zuivere dobbelsteen (dobbelsteen met een homogene massaverdeling) naar boven te rollen. Bij het vallen is het niet mogelijk om met zekerheid te voorspellen welke van de 6 vlakken naar boven zal wijzen.
Waarschijnlijkheidsformule
Bij een willekeurig fenomeen is de kans dat een gebeurtenis plaatsvindt even waarschijnlijk.
Daarom kunnen we de kans op een bepaald resultaat vinden door het aantal gunstige gebeurtenissen en het totale aantal mogelijke uitkomsten te delen:
Wezen:
vader): kans op optreden van een gebeurtenis A
Bij): aantal zaken die ons interesseren (gebeurtenis A)
n (Ω): totaal aantal mogelijke gevallen
Voorbeelden
1) Als we een perfecte dobbelsteen gooien, wat is dan de kans dat een getal kleiner dan 3 zal rollen?
Oplossing
Als de perfecte dobbelsteen hebben alle 6 de gezichten een gelijke kans om open te vallen. Laten we dus de kansformule toepassen.
Hiervoor moeten we bedenken dat we 6 mogelijke gevallen hebben (1, 2, 3, 4, 5, 6) en dat de gebeurtenis "uit een aantal kleiner dan 3" 2 mogelijkheden heeft, dat wil zeggen uit het aantal 1 of het nummer 2. Dus we hebben:
2) Het kaartspel bestaat uit 52 kaarten verdeeld in vier kleuren (harten, klaveren, ruiten en schoppen) met 13 kaarten van elke reeks. Dus als je willekeurig een kaart trekt, wat is dan de kans dat er een kaart uit de klaverenkleur komt?
Oplossing
Als we willekeurig een kaart trekken, kunnen we niet voorspellen wat deze kaart zal zijn. Dit is dus een willekeurig experiment.
In dit geval komt het aantal kaarten overeen met het aantal mogelijke gevallen en hebben we 13 clubs die het aantal gunstige gebeurtenissen vertegenwoordigen.
Als we deze waarden in de kansformule vervangen, hebben we:
Voorbeeldruimte
weergegeven door de letter Ω, komt de steekproefruimte overeen met de reeks mogelijke resultaten die zijn verkregen uit een willekeurig experiment.
Als u bijvoorbeeld willekeurig een kaart uit een stapel neemt, komt de steekproefruimte overeen met de 52 kaarten waaruit deze stapel bestaat.
Evenzo zijn de monsterruimte bij het eenmaal rollen van een dobbelsteen de zes vlakken waaruit deze bestaat:
Ω = {1, 2, 3, 4, 5 en 6}.
Soorten evenementen
De gebeurtenis is een subset van de steekproefruimte van een willekeurig experiment.
Wanneer een gebeurtenis precies hetzelfde is als zijn voorbeeldruimte, wordt het a. genoemd juiste gebeurtenis. Omgekeerd, wanneer de gebeurtenis leeg is, wordt deze a. genoemd onmogelijke gebeurtenis.
Voorbeeld
Stel je voor dat we een doos hebben met ballen genummerd van 1 tot 20 en dat alle ballen rood zijn.
De gebeurtenis "trek een rode bal" is een zekere gebeurtenis, aangezien alle ballen in de doos van deze kleur zijn. De gebeurtenis "trek een getal groter dan 30" is onmogelijk, aangezien het hoogste getal in het vak 20 is.
Combinatorische analyse
In veel situaties is het mogelijk om het aantal mogelijke en gunstige gebeurtenissen in een willekeurig experiment direct te ontdekken.
Bij sommige problemen moet u deze waarden echter berekenen. In dit geval kunnen we de permutatie-, rangschikkings- en combinatieformules gebruiken volgens de situatie die in de vraag wordt voorgesteld.
Ga voor meer informatie over het onderwerp naar:
- Combinatorische analyse
- Combinatorische Analyse Oefeningen
- Fundamenteel principe van tellen
- Permutatie
Voorbeeld
(EsPCEx - 2012) De kans op het verkrijgen van een getal dat deelbaar is door 2 bij de willekeurige keuze van een van de permutaties van de cijfers 1, 2, 3, 4, 5 is
Oplossing
In dit geval moeten we het aantal mogelijke gebeurtenissen achterhalen, dat wil zeggen hoeveel verschillende getallen we krijgen door de volgorde van de gegeven 5 cijfers te veranderen (n=5).
Omdat in dit geval de volgorde van de cijfers verschillende getallen vormen, gebruiken we de permutatieformule. Daarom hebben we:
Mogelijke evenementen:
Daarom kunnen we met 5 cijfers 120 verschillende nummers vinden.
Om de kans te berekenen, moeten we nog het aantal gunstige gebeurtenissen vinden dat, in dit geval, is om een getal te vinden dat deelbaar is door 2, wat gebeurt als het laatste cijfer van het getal 2 is of 4.
Aangezien we voor de laatste positie alleen deze twee mogelijkheden hebben, zullen we de andere 4 posities waaruit het nummer bestaat, als volgt moeten verwisselen:
Gunstige gebeurtenissen:
De kans wordt gevonden door te doen:
Lees ook:
- De driehoek van Pascal
- Complexe getallen
- Wiskunde in Enem
Oefening opgelost
1) PUC/RJ-2013
Als a = 2n + 1 met n ∈ {1, 2, 3, 4}, dan is de kans op het getal De een paar zijn is
naar 1
b) 0.2
c) 0,5
d) 0,8
e) 0
Als we elke mogelijke waarde van n in de uitdrukking voor het getal a vervangen, merken we dat het resultaat altijd een oneven getal zal zijn.
Daarom is "een even getal zijn" een onmogelijke gebeurtenis. In dit geval is de kans gelijk aan nul.
Alternatief: e) 0
2) UPE - 2013
In een groep van een cursus Spaans zijn drie mensen van plan een uitwisselingsprogramma te doen in Chili en zeven in Spanje. Van deze tien mensen zijn er twee gekozen voor het interview dat beurzen zal trekken om in het buitenland te studeren. De kans dat deze twee uitverkorenen behoren tot de groep van degenen die van plan zijn een uitwisseling te doen in Chili is
Laten we eerst het aantal mogelijke situaties zoeken. Aangezien de keuze van de 2 personen niet afhangt van de volgorde, zullen we de combinatieformule gebruiken om het aantal mogelijke gevallen te bepalen, namelijk:
Er zijn dus 45 manieren om 2 personen te kiezen uit een groep van 10 personen.
Nu moeten we het aantal gunstige gebeurtenissen berekenen, dat wil zeggen, de twee getrokken mensen willen de uitwisseling in Chili doen. We gebruiken opnieuw de combinatieformule:
Er zijn dus 3 manieren om 2 van de 3 mensen te kiezen die in Chili willen studeren.
Met de gevonden waarden kunnen we de gevraagde waarschijnlijkheidssubstitutie in de formule berekenen:
Alternatief: b)
Lees meer over enkele gerelateerde onderwerpen:
- De binomiaal van Newton
- Waarschijnlijkheidsoefeningen (eenvoudig)
- Waarschijnlijkheidsoefeningen
- statistiek
- Statistieken - Oefeningen
- Wiskundige formules
