U numerieke sets bevatten de volgende sets: Naturals (ℕ), Integers (ℤ), Rationals (ℚ), Irrationals (I), Reals (ℝ) en Complexen (ℂ).
Maak gebruik van de oefeningen die zijn becommentarieerd om uw kennis over dit belangrijke onderwerp van wiskunde te verifiëren.
vraag 1
Welke stelling hieronder is waar?
a) Elk geheel getal is rationaal en elk reëel getal is een geheel getal.
b) Het snijpunt van de verzameling rationale getallen met de verzameling irrationele getallen heeft 1 element.
c) Het nummer 1.83333... is een rationaal getal.
d) De deling van twee gehele getallen is altijd een geheel getal.
Correct alternatief: c) Het getal 1.83333... is een rationaal getal.
Laten we naar elk van de uitspraken kijken:
a) Vals. Eigenlijk is elk geheel getal rationaal, omdat het in de vorm van een breuk kan worden geschreven. Het getal -7, dat een geheel getal is, kan bijvoorbeeld als een breuk worden geschreven als -7/1. Niet elk reëel getal is echter een geheel getal, bijvoorbeeld 1/2 is geen geheel getal.
b) Vals. De reeks rationale getallen heeft geen enkel getal gemeen met de irrationele, aangezien een reëel getal rationeel of irrationeel is. Daarom is het snijpunt een lege verzameling.
c) Waar. Het nummer 1.83333... het is een periodieke tiende omdat het cijfer 3 zich oneindig herhaalt. Dit getal kan als een breuk worden geschreven als 11/6, dus het is een rationaal getal.
d) Vals. Bijvoorbeeld, 7 gedeeld door 3 is gelijk aan 2,33333..., wat een periodiek decimaal is, dus het is geen geheel getal.
vraag 2
De waarde van de onderstaande uitdrukking, wanneer a = 6 en b = 9, is:
a) een oneven natuurlijk getal
b) een getal dat behoort tot de verzameling irrationele getallen
c) is geen echt getal
d) een geheel getal waarvan de modulus groter is dan 2
Correct alternatief: d) een geheel getal waarvan de modulus groter is dan 2.
Laten we eerst de letters vervangen door de aangegeven waarden en de uitdrukking oplossen:
Merk op dat (-6)2 is anders dan - 62, de eerste bewerking kan worden uitgevoerd als: (-6)2 = (- 6). (- 6) = 36. Zonder de haakjes is alleen 6 in het kwadraat, dat wil zeggen - 62 = - (6.6) = -36.
Als we de resolutie voortzetten, hebben we:
Merk op dat aangezien de index van de wortel een oneven getal (kubieke wortel) is, er een negatieve getalswortel is in de reeks reële getallen. Als de wortelindex een even getal zou zijn, zou het resultaat een complex getal zijn.
Laten we nu elk van de gepresenteerde opties analyseren:
De optie De is fout omdat het antwoord een negatief getal is dat geen deel uitmaakt van de verzameling natuurlijke getallen.
Het getal - 3 is geen oneindig niet-periodiek decimaalteken, dus het is geen irrationeel getal, vandaar de letter B het is ook niet de juiste oplossing.
De brief ç is ook verkeerd, aangezien het getal - 3 een getal is dat behoort tot de verzameling reële getallen.
De juiste optie kan alleen de letter zijn d en eigenlijk is het resultaat van de uitdrukking een geheel getal en de modulo van -3 is 3 die groter is dan 2.
vraag 3
Welk alternatief vertegenwoordigt een inclusierelatie in sets (A en B) in de onderstaande tabel?
Correct alternatief: a)
Alternatief "a" is de enige waarin de ene set in de andere is opgenomen. Set A omvat set B of set B is inbegrepen in A.
Dus welke uitspraken zijn correct?
I - A C B
II - B C A
III - A B
IV - B Ɔ A
a) I en II.
b) I en III.
c) I en IV.
d) II en III.
e) II en IV
Correct alternatief: d) II en III.
I - Verkeerd - A zit niet in B (A B).
II - Juist - B zit in A (B C A).
III - Juist - A bevat B (B A).
IV - Verkeerd - B bevat geen A (B A).
vraag 4
We hebben de verzameling A = {1, 2, 4, 8 en 16} en de verzameling B = {2, 4, 6, 8 en 10}. Waar bevinden zich volgens de alternatieven de elementen 2, 4 en 8?
Correct alternatief: c).
Elementen 2, 4 en 8 zijn gemeenschappelijk voor beide sets. Daarom bevinden ze zich in de deelverzameling A ∩ B (A snijpunt met B).
vraag 5
Gegeven sets A, B en C, welk beeld vertegenwoordigt A U (B ∩ C)?
Correct alternatief: d)
Het enige alternatief dat voldoet aan de beginvoorwaarde van B ∩ C (vanwege de haakjes) en, later, de vereniging met A.
vraag 6
Er is een enquête gehouden om inzicht te krijgen in het koopgedrag van consumenten met betrekking tot drie producten. Het onderzoek leverde de volgende resultaten op:
- 40% koopt product A.
- 25% koopt product B.
- 33% koopt product C.
- 20% koopt producten A en B.
- 5% koopt producten B en C.
- 19% koopt producten A en C.
- 2% koopt alle drie de producten.
Antwoord op basis van deze resultaten:
a) Welk percentage van de respondenten koopt geen van deze producten?
b) Welk percentage respondenten koopt product A en B en koopt product C niet?
c) Welk percentage van de respondenten koopt ten minste één van de producten?
antwoorden:
a) 44% van de respondenten consumeert geen van de drie producten.
b) 18% van de mensen die beide producten (A en B) consumeren, consumeert product C niet.
c) 56% van de respondenten consumeert ten minste één van de producten.
Laten we om dit probleem op te lossen een diagram maken om de situatie beter te visualiseren.
We moeten altijd beginnen op het snijpunt van de drie sets. Vervolgens nemen we de waarde van het snijpunt van twee sets op, en ten slotte het percentage mensen dat slechts één product van één merk koopt.
Opgemerkt wordt dat het percentage mensen dat twee producten consumeert ook het percentage mensen omvat dat de drie producten consumeert.
Daarom geven we in het diagram het percentage aan van degenen die consumeren enkel en alleen twee producten. Om dit te doen, moeten we het percentage van degenen die de drie producten consumeren aftrekken van degenen die er twee consumeren.
Het aangegeven percentage dat product A en product B consumeert is bijvoorbeeld 20%, maar deze waarde is verantwoordelijk voor de 2% die verband houdt met wie de drie producten consumeert.
Door deze waarden, dwz 20% - 2% = 18%, af te trekken, vinden we het percentage consumenten dat alleen producten A en B koopt.
Rekening houdend met deze berekeningen zal het diagram voor de beschreven situatie zijn zoals weergegeven in de onderstaande figuur:
Op basis van dit schema kunnen we nu verder gaan met het beantwoorden van de gestelde vragen.
De) Het percentage van degenen die geen product kopen is gelijk aan het geheel, dat wil zeggen 100%, behalve dat ze een product consumeren. We moeten dus de volgende berekening maken:
100 - (3 + 18 + 2 + 17 + 2 + 3 + 11) = 100 - 56 = 44%
Spoedig, 44% van de respondenten consumeert geen van de drie producten.
B) Het percentage consumenten dat product A en B koopt en product C niet, wordt gevonden door af te trekken:
20 - 2 = 18%
daarom, 18% van de mensen die beide producten (A en B) consumeren, consumeert product C. niet.
ç) Om het percentage mensen te vinden dat ten minste één van de producten consumeert, telt u alle waarden in het diagram bij elkaar op. Dus we hebben:
3 + 18 + 2 + 17 + 2 + 3 + 11 = 56%
Dus, 56% van de respondenten consumeert ten minste één van de producten.
vraag 7
(Enem/2004) Een cosmeticafabrikant besluit drie verschillende catalogi van zijn producten te produceren, gericht op verschillende doelgroepen. Omdat sommige producten in meer dan één catalogus voorkomen en een hele pagina beslaan, besluit hij een telling te doen om de kosten te drukken met gedrukte originelen. Catalogi C1, C2 en C3 hebben respectievelijk 50, 45 en 40 pagina's. Als hij de ontwerpen uit elke catalogus vergelijkt, ontdekt hij dat C1 en C2 10 pagina's gemeen hebben; C1 en C3 zullen 6 pagina's gemeen hebben; C2 en C3 zullen 5 pagina's gemeen hebben, waarvan 4 ook op C1. Door de overeenkomstige berekeningen uit te voeren, kwam de fabrikant tot de conclusie dat hij voor het samenstellen van de drie catalogi een totaal aantal originelen nodig heeft dat gelijk is aan:
a) 135
b) 126
c) 118
d) 114
e) 110
Correct alternatief: c) 118
We kunnen deze vraag oplossen door een diagram te construeren. Laten we hiervoor beginnen met de pagina's die gemeenschappelijk zijn voor de drie catalogi, dat wil zeggen 4 pagina's.
Van daaruit zullen we de waarden aangeven, waarbij we de waarden aftrekken die al zijn verantwoord. Het diagram ziet er dus uit zoals hieronder aangegeven:
De waarden zijn gevonden door de volgende berekeningen te maken:
- Snijpunt C1, C2 en C3: 4
- Snijpunt C2, C3: 5 - 4 = 1
- Snijpunt C1 en C3: 6 - 4 = 2
- Snijpunt C1 en C2: 10 - 4 = 6
- Alleen C1: 50 - 12 = 38
- Alleen C2: 45 - 11 = 34
- Alleen C3: 40 - 7 = 33
Om het aantal pagina's te vinden, voegt u gewoon al deze waarden toe, dwz:
4 + 1 + 2 + 6 + 38 +34 + 33 = 118
vraag 8
(Enem/2017) In dit thermometermodel registreren de filets de minimum- en maximumtemperaturen van de vorige dag en de grijze filets registreren de huidige omgevingstemperatuur, dat wil zeggen, op het moment van het lezen van de thermometer.
Het heeft dus twee kolommen. Links staan de cijfers in oplopende volgorde, van boven naar beneden, van -30 °C tot 50 °C. In de rechterkolom staan de cijfers in oplopende volgorde, van onder naar boven, van -30°C tot 50°C.
Het lezen gaat als volgt:
- de minimumtemperatuur wordt aangegeven door het onderste niveau van de zwarte filet in de linkerkolom.
- de maximale temperatuur wordt aangegeven door het onderste niveau van de zwarte filet in de rechterkolom.
- de huidige temperatuur wordt aangegeven door het bovenste niveau in de grijze filets in de twee kolommen.
Wat is de dichtstbijzijnde maximumtemperatuur die op deze thermometer is geregistreerd?
a) 5 °C
b) 7°C
c) 13°C
d) 15°C
e) 19°C
Correct alternatief: e) 19°C
Om het probleem op te lossen, leest u gewoon de schaal in de rechterkolom van de zwarte filet, die het maximale temperatuurrecord vertegenwoordigt.
vraag 9
(Enem /2017) Het resultaat van een electoraal onderzoek, naar de voorkeur van de kiezers ten opzichte van twee kandidaten, werd weergegeven door middel van grafiek 1.
Toen dit resultaat in een krant werd gepubliceerd, werd grafiek 1 tijdens de lay-out gesneden, zoals weergegeven in grafiek 2.
Hoewel de gepresenteerde waarden correct zijn en de breedte van de kolommen hetzelfde is, hebben veel lezers bekritiseerde het formaat van grafiek 2 dat in de krant werd afgedrukt en beweerde dat er visuele schade was aan de kandidaat B. Het verschil tussen de hoogteverhoudingen van kolom B tot kolom A in grafieken 1 en 2 is:
a) 0
b) 1/2
c) 1/5
d) 2/15
e) 8/35
Correct alternatief: e) 8/35
Om het probleem op te lossen, moeten we eerst de verhouding tussen de hoogte van kolom B en kolom A in de twee grafieken vinden. Deze verhoudingen worden gevonden door te tellen hoeveel divisies er in elke kolom zijn.
Merk op dat in grafiek 1 kolom A is verdeeld in 7 gelijke "stukken", terwijl kolom B in 3. In grafiek 2 is kolom A verdeeld in 5 gelijke "stukken" en kolom B in slechts 1.
Daarom kunnen de breuken die de verhoudingen van de hoogte van kolom B tot kolom A vertegenwoordigen, worden aangegeven met
Los nu gewoon de aftrekking tussen deze twee breuken op, dus we hebben:
vraag 10
(Enem/2018) Om een logo te maken, wil een professional op het gebied van grafisch ontwerp het bouwen met behulp van de set vlakke punten in de vorm van een driehoek, precies zoals weergegeven in de afbeelding.
Om zo'n afbeelding te bouwen met behulp van een grafisch hulpmiddel, is het nodig om algebraïsch de set te schrijven die de punten van deze afbeelding vertegenwoordigt.
Deze set wordt gegeven door de geordende paren (x; j) ℕ X ℕ, zoals dat
a) 0. x ≤ y ≤ 10
b) 0 ≤ y ≤ x ≤ 10
c) 0 ≤ x ≤ 10, 0 ≤ y ≤ 10
d) 0 ≤ x + y ≤ 10
e) 0 ≤ x + y ≤ 20
Correct alternatief: b) 0 ≤ y ≤ x ≤ 10
Merk op dat het getal uitgedrukt in de vraag, zowel op de y- als de x-as, de natuurlijke getallen omvat (ℕ X ℕ) tussen 0 en 10. We moeten: 0 ≤ y ≤ 10 en 0 ≤ x ≤ 10.
Dus: y = (0.1,2,3,4,5,6,7,8,9,10) en x = (0, 1,2,3,4,5,6,7,8,9, 10 ). De afgebeelde figuur is echter een driehoek. Om aan deze voorwaarde te voldoen, in bestelde paren y kan niet groter zijn dan x.
Merk op dat de waarden van y worden beperkt door gelijkheid met de waarden van x, waardoor de hypotenusa van deze rechthoekige driehoek wordt gevormd: (0,0), (1;1), (2;2), (3;3 ), (4; 4), (5;5)...(10;10).
Zo moeten we: y ≤ x.
Spoedig, 0 ≤ y ≤ x ≤ 10.
Lees ook voor meer informatie:
- Numerieke sets
- echte getallen
- gehele getallen
- Rationele nummers
- irrationele nummers
- Natuurlijke cijfers
- Complexe getallen
- Oefeningen op sets
- Oefeningen op complexe getallen
