De mmc en de mdc vertegenwoordigen respectievelijk het kleinste gemene veelvoud en de grootste gemene deler tussen twee of meer getallen.
Mis de kans niet om al uw twijfels op te helderen door middel van de becommentarieerde en opgeloste oefeningen die we hieronder presenteren.
Voorgestelde oefeningen
Oefening 1
Bepaal met betrekking tot de nummers 12 en 18 zonder rekening te houden met 1.
a) De delers van 12.
b) De delers van 18.
c) De gemeenschappelijke delers van 12 en 18.
d) De grootste gemene deler van 12 en 18.
a) 2, 3, 4, 6 en 12.
b) 2, 3, 6, 9, 18.
c) 2, 3 en 6
d) 6
Oefening 2
Bereken de MMC en MDC tussen 36 en 44.
Oefening 3
Beschouw een getal x, natuurlijk. Classificeer vervolgens de uitspraken als waar of onwaar en motiveer.
a) De grootste gemene deler van 24 en x kan 7 zijn.
b) De grootste gemene deler van 55 en 15 kan 5 zijn.
a) Nee, want 7 is geen deler van 24.
b) Ja, want 5 is een gemeenschappelijke deler tussen 55 en 15.
Oefening 4
In een presentatie voor de lancering van de nieuwe raceauto van het TodaMatéria-team werd een ongewone race verreden. Er deden drie voertuigen mee: de lanceerwagen, de wagen van vorig seizoen en een gewone personenwagen.
Het circuit is ovaal, het drietal startte samen en hield constante snelheden aan. De lanceerwagen heeft 6 minuten nodig om één ronde te voltooien. De auto van vorig seizoen heeft 9 minuten nodig om één ronde af te leggen en de personenauto heeft 18 minuten nodig om één ronde af te leggen.
Hoe lang duurt het na de start van de race voordat ze weer samen door hetzelfde startpunt gaan?
Om te bepalen is het noodzakelijk om de mmc te berekenen (6, 9, 18).
Dus gingen ze 18 minuten later opnieuw door hetzelfde startpunt.
Oefening 5
In één confectie zitten rollen gaas van 120, 180 en 240 centimeter. U moet de stof in gelijke stukken knippen, zo groot mogelijk, en er blijft niets over. Wat is de maximale lengte van elke gaasstrook?
Om te bepalen, moeten we de mdc (120,180,240) berekenen.
De langst mogelijke lengte, zonder overhangen, is 60cm.
Oefening 6
Bepaal de MMC en MDC uit de volgende getallen.
a) 40 en 64
Correct antwoord: mmc = 320 en mdc = 8.
Om mmc en mdc te vinden, is de snelste methode om de getallen gelijktijdig te delen door de kleinst mogelijke priemgetallen. Zie hieronder.
Merk op dat mmc wordt berekend door de getallen die bij factoring worden gebruikt te vermenigvuldigen en ggd wordt berekend door de getallen te vermenigvuldigen die de twee getallen tegelijkertijd delen.
b) 80, 100 en 120
Correct antwoord: mmc = 1200 en mdc = 20.
De gelijktijdige ontleding van de drie getallen geeft ons de mmc en mdc van de gepresenteerde waarden. Zie hieronder.
De deling door de priemgetallen gaf ons het resultaat van mmc door de factoren te vermenigvuldigen en mdc door de factoren te vermenigvuldigen die de drie getallen tegelijkertijd delen.
Oefening 7
Bepaal met behulp van priemfactorisatie: wat zijn de twee opeenvolgende getallen waarvan mmc 1260 is?
a) 32 en 33
b) 33 en 34
c) 35 en 36
d) 37 en 38
Correct alternatief: c) 35 en 36.
Eerst moeten we het getal 1260 ontbinden en de priemfactoren bepalen.
Door de factoren te vermenigvuldigen, vinden we dat de opeenvolgende getallen 35 en 36 zijn.
Laten we als bewijs de mmc van de twee getallen berekenen.
Oefening 8
Om de studentendag te vieren, wordt er een speurtocht gehouden met leerlingen uit drie klassen van het 6e, 7e en 8e leerjaar. Zie hieronder het aantal leerlingen per klas.
| Klasse | 6º | 7º | 8º |
| Aantal leerlingen | 18 | 24 | 36 |
Bepaal via het mdc het maximum aantal leerlingen per klas dat in teamverband kan deelnemen aan de competitie.
Antwoord daarna: hoeveel teams kunnen er gevormd worden door respectievelijk de 6e, 7e en 8e klasse met het maximale aantal deelnemers per team?
a) 3, 4 en 5
b) 4, 5 en 6
c) 2, 3 en 4
d) 3, 4 en 6
Correct alternatief: d) 3, 4 en 6.
Om deze vraag te beantwoorden, moeten we beginnen met het ontbinden van de gegeven waarden in priemgetallen.
Daarom hebben we het maximale aantal studenten per team gevonden en op deze manier heeft elke klas:
6e jaar: 6/18 = 3 teams
7e jaar: 6/24 = 4 teams
8e jaar: 36/6 = 6 teams
Toelatingsexamens opgelost
vraag 1
(Apprentice Sailor - 2016) Laat A = 120, B = 160, x = mmc (A, B) en y = mdc (A, B), dan is de waarde van x + y gelijk aan:
a) 460
b) 480
c) 500
d) 520
e) 540
Correct alternatief: d) 520.
Om de waarde van de som van x en y te vinden, is het eerst nodig om deze waarden te vinden.
Op deze manier gaan we de getallen in priemfactoren ontbinden en vervolgens de mmc en mdc tussen de gegeven getallen berekenen.
Nu we de waarde van x (mmc) en y (mdc) kennen, kunnen we de som vinden:
x + y = 480 + 40 = 520
Alternatief: d) 520
vraag 2
(Unicamp - 2015) Onderstaande tabel geeft enkele voedingswaarden weer voor dezelfde hoeveelheid van twee voedingsmiddelen, A en B.
Beschouw twee isocalorische porties (van dezelfde energiewaarde) van voedsel A en B. De verhouding tussen de hoeveelheid eiwit in A en de hoeveelheid eiwit in B is gelijk aan
a) 4.
b) 6.
c) 8.
d) 10.
Correct alternatief: c) 8.
Om isocalorische porties van voedsel A en B te vinden, berekenen we de mmc tussen de respectieve energiewaarden.
We moeten dus rekening houden met de benodigde hoeveelheid van elk voedsel om de calorische waarde te verkrijgen.
Gezien voedsel A, om een calorische waarde van 240 Kcal te hebben, is het noodzakelijk om de initiële calorieën te vermenigvuldigen met 4 (60. 4 = 240). Voor voedsel B is het noodzakelijk om te vermenigvuldigen met 3 (80. 3 = 240).
Zo wordt de hoeveelheid eiwit in voedsel A vermenigvuldigd met 4 en die in voedsel B met 3:
Voedsel A: 6. 4 = 24 g
Eten B: 1. 3 = 3 g
We hebben dus dat de verhouding tussen deze hoeveelheden wordt gegeven door:
Alternatief: c) 8
vraag 3
(UERJ - 2015) In de onderstaande tabel zijn drie mogelijkheden aangegeven om n notebooks in pakketten in te delen:
Als n kleiner is dan 1200, is de som van de cijfers van de grootste waarde van n:
a) 12
b) 17
c) 21
d) 26
Correct alternatief: b) 17.
Gezien de waarden die in de tabel worden gerapporteerd, hebben we de volgende relaties:
n = 12. x + 11
n = 20. y + 19
n = 18. z + 17
Merk op dat als we 1 boek zouden toevoegen aan de waarde van n, we geen rest meer zouden hebben in de drie situaties, omdat we een ander pakket zouden vormen:
n + 1 = 12. x + 12
n+1 = 20. x + 20
n+1 = 18. x + 18
Dus n + 1 is een gemeenschappelijk veelvoud van 12, 18 en 20, dus als we de mmc vinden (wat het kleinste gemene veelvoud is), kunnen we van daaruit de waarde van n+1 vinden.
De mmc berekenen:
Dus de kleinste waarde van n + 1 is 180. We willen echter de grootste waarde van n kleiner dan 1200 vinden. Laten we dus op zoek gaan naar een veelvoud dat aan deze voorwaarden voldoet.
Laten we hiervoor 180 vermenigvuldigen totdat we de gewenste waarde hebben gevonden:
180. 2 = 360
180. 3 = 540
180. 4 = 720
180. 5 = 900
180. 6 = 1 080
180. 7 = 1 260 (deze waarde is groter dan 1 200)
We kunnen dus de waarde van n berekenen:
n + 1 = 1 080
n = 1080 - 1
n = 1079
De som van de cijfers wordt gegeven door:
1 + 0 + 7 + 9 = 17
Alternatief: b) 17
Zie ook: MMC en MDC
vraag 4
(Enem - 2015) Een architect renoveert een huis. Om bij te dragen aan het milieu, besluit het om houten planken uit het huis te hergebruiken. Het heeft 40 planken van 540 cm, 30 met 810 cm en 10 met 1080 cm, allemaal van dezelfde breedte en dikte. Hij vroeg een timmerman om de planken in stukken van gelijke lengte te zagen, zonder weg te gaan restjes, en zodat de nieuwe stukken zo groot mogelijk waren, maar korter in lengte dat 2m.
In antwoord op het verzoek van de architect moet de timmerman produceren:
a) 105 stuks.
b) 120 stuks.
c) 210 stuks.
d) 243 stuks.
e) 420 stuks.
Correct alternatief: e) 420 stuks.
Aangezien de stukken gevraagd worden even lang en zo groot mogelijk te zijn, berekenen we de mdc (maximale gemene deler).
Laten we de mdc tussen 540, 810 en 1080 berekenen:
De gevonden waarde kan echter niet worden gebruikt, omdat er een beperking is op de lengte van minder dan 2 m.
Dus laten we 2,7 delen door 2, aangezien de gevonden waarde ook een gemeenschappelijke deler is van 540, 810 en 1080, aangezien 2 de kleinste gemeenschappelijke priemfactor van deze getallen is.
Dan is de lengte van elk stuk gelijk aan 1,35 m (2,7: 2). Nu moeten we berekenen hoeveel stukken we van elk bord zullen hebben. Hiervoor doen we:
5.40: 1.35 = 4 stuks
8.10: 1.35 = 6 stuks
10,80: 1,35 = 8 stuks
Gezien de hoeveelheid van elk bord en optellend, hebben we:
40. 4 + 30. 6 + 10. 8 = 160 + 180 + 80 = 420 stuks
Alternatief: e) 420 stuks
vraag 5
(Enem - 2015) De beheerder van een bioscoop verstrekt jaarlijks gratis kaartjes aan scholen. Dit jaar worden er 400 tickets verdeeld voor een middagsessie en 320 tickets voor een avondsessie van dezelfde film. Er kunnen meerdere scholen worden gekozen om tickets te ontvangen. Er zijn enkele criteria voor de distributie van tickets:
- elke school moet tickets voor een enkele sessie ontvangen;
- alle in aanmerking komende scholen moeten hetzelfde aantal tickets ontvangen;
- er blijven geen tickets over (dwz alle tickets worden uitgedeeld).
Het minimum aantal scholen dat kan worden gekozen om tickets te verkrijgen, volgens de vastgestelde criteria, is,
a) 2.
b) 4.
c) 9.
d) 40.
e) 80.
Correct alternatief: c) 9.
Om het minimum aantal scholen te weten te komen, moeten we het maximum aantal tickets weten dat elke school kan ontvangen, aangezien dit aantal gelijk moet zijn in beide sessies.
Op deze manier berekenen we de mdc tussen 400 en 320:
De gevonden mdc-waarde vertegenwoordigt het grootste aantal tickets dat elke school zal ontvangen, zodat er geen restanten zijn.
Om het minimum aantal scholen te berekenen dat kan worden gekozen, moeten we ook het aantal tickets voor elke sessie delen door het aantal tickets dat elke school zal ontvangen, dus we hebben:
400: 80 = 5
320: 80 = 4
Het minimum aantal scholen zal dus gelijk zijn aan 9 (5 + 4).
Alternatief: c) 9.
vraag 6
(Cefet/RJ - 2012) Wat is de waarde van de numerieke uitdrukking ?
a) 0.2222
b) 0.2323
c) 0.2332
d) 0,3222
Correct alternatief: a) 0.2222
Om de waarde van de numerieke uitdrukking te vinden, is de eerste stap het berekenen van de mmc tussen de noemers. Dus:
De gevonden mmc wordt de nieuwe noemer van de breuken.
Om de breukwaarde echter niet te wijzigen, moeten we de waarde van elke teller vermenigvuldigen met het resultaat van het delen van de mmc door elke noemer:
Als we de optelling en deling oplossen, hebben we:
Alternatief: a) 0.2222
vraag 7
(EPCAR - 2010) Een boer plant bonen in een recht bed. Hiervoor begon hij de plaatsen te markeren waar hij de zaden zou planten. Onderstaande figuur geeft de punten weer die al door de boer zijn gemarkeerd en de afstanden, in cm, ertussen.
Deze boer markeerde vervolgens andere punten onder de bestaande, zodat de afstand d onder hen was allemaal hetzelfde en het grootst mogelijke. als X staat voor het aantal keer de afstand d werd verkregen door de boer, dus X is een getal dat deelbaar is door
a) 4
b) 5
c) 6
d) 7
Correct alternatief: d) 7.
Om de vraag op te lossen, moeten we een getal vinden dat de gepresenteerde getallen tegelijkertijd deelt. Aangezien de afstand wordt gevraagd om zo ver mogelijk te zijn, laten we de mdc ertussen berekenen.
Op deze manier is de afstand tussen elk punt gelijk aan 5 cm.
Om het aantal keren dat deze afstand werd herhaald te vinden, delen we elk origineel segment door 5 en voegen we de gevonden waarden toe:
15: 5 = 3
70: 5 = 14
150: 5 = 30
500: 5 = 100
x = 3 + 14 + 30 + 100 = 147
Het gevonden getal is deelbaar door 7, aangezien 21.7 = 147
Alternatief: d) 7
Zie ook: Veelvouden en verdelers
