We hebben een bezetting wanneer we een of meer grootheden relateren. Een deel van natuurlijke fenomenen kan worden bestudeerd dankzij de ontwikkeling op dit gebied van de wiskunde. De studie van functies is verdeeld in twee delen, we hebben het algemene deel, waarin we de conceptenalgemeen, en het specifieke deel, waar we de. bestuderen bijzondere gevallen, zoals polynoomfuncties en exponentiële functies.
Zie ook: Hoe teken je een functie?
Wat zijn functies?
Een functie is een applicatie die: relateert de elementen van twee sets niet leeg. Beschouw twee niet-lege verzamelingen A en B, waarbij een functie f betrekking hebben elk element van A tot maar een onderdeel van B.
Stel je een taxirit voor om deze definitie beter te begrijpen. Voor elke reis, dat wil zeggen voor elke afgelegde afstand, is er een andere en unieke prijs, dat wil zeggen dat het geen zin heeft voor een reis om twee verschillende prijzen te hebben.
We kunnen deze functie die elementen van set A naar set B brengt op de volgende manieren voorstellen.
Merk op dat voor elk element van verzameling A, er a. is enkel gerelateerd element met hem in set B. Nu kunnen we immers denken wanneer een relatie tussen twee verzamelingen geen functie zal zijn? Welnu, wanneer een element van de verzameling A gerelateerd is aan twee verschillende elementen van B, of wanneer er elementen van de verzameling A zijn die niet gerelateerd zijn aan elementen van B. Kijken:
Over het algemeen kunnen we een functie algebraïsch als volgt schrijven:
f: A → B
x → ja
Merk op dat de functie elementen uit verzameling A neemt (weergegeven door x) en ze naar elementen van B (weergegeven door y) brengt. We kunnen ook zeggen dat de elementen van verzameling B gegeven zijn in termen van de elementen van verzameling A, dus we kunnen y voorstellen door:
y = f(X)
Er staat: (y is gelijk aan f van x)
Domein, co-domein en afbeelding van een rol
Wanneer we een rol hebben f, krijgen de sets die verwant zijn speciale namen. Dus overweeg een functie f die elementen uit set A naar elementen uit set B brengt:
f: A → B
De verzameling A, van waaruit de relaties vertrekken, heet domein van de functie, en de set die de "pijlen" van deze relatie ontvangt, wordt genoemd tegendomein. We duiden deze verzamelingen als volgt aan:
Df = A → Domein van f
CDf = B → Tegendomein van f
De subset van het tegendomein van een functie gevormd door elementen die betrekking hebben op elementen van de set heet set Beeld van de functie en wordt aangeduid met:
imf → Afbeelding van f
- Voorbeeld
Beschouw de functie f: A → B weergegeven in het onderstaande diagram en bepaal het domein, het tegendomein en de afbeelding.
Zoals gezegd is de verzameling A = {1, 2, 3, 4} het domein van de functie f,terwijl de verzameling B = {0, 2, 3, –1} het tegendomein is van dezelfde functie. Merk nu op dat de set gevormd door elementen die de pijl (in oranje) gevormd door de elementen {0, 2, -1} ontvangen een subset is van het tegendomein B, deze set is het beeld van de functie v, dus:
Df = EEN = {1, 2, 3, 4}
CDf = B = {0, 2, 3, -1}
imf = {0, 2, –1}
We zeggen dat de 0 is element afbeelding 1 van het domein, evenals de 2 het is het beeld van de elementen 2 en 3 van het domein, en –1 is element afbeelding 4 van het domein. Lees voor meer informatie over deze drie concepten: Ddomein, co-domein en afbeelding.
Surjectieve functie
Een functie f: A → B zal surjectief of surjectief zijn als, en alleen als, de afbeeldingsset samenvalt met het tegendomein, dat wil zeggen, als alle elementen van het contradomein afbeeldingen zijn.
We zeggen dan dat een functie surjectief is als alle elementen van het tegendomein pijlen krijgen. Als je dieper op dit soort functies wilt ingaan, bezoek dan onze tekst: Overjet-functie.
injectieve functie
Een functie f: A → B zal injectief of injectief zijn als, en alleen als, verschillende elementen van het domein verschillende afbeeldingen hebben in het tegendomein, dat wil zeggen, soortgelijke afbeeldingen worden gegenereerd door soortgelijke elementen van het domein.
Merk op dat de voorwaarde is dat verschillende elementen van het domein betrekking hebben op verschillende elementen van het tegendomein, waarbij er geen probleem is met de resterende elementen in het tegendomein. Om dit concept beter te begrijpen, kunt u de tekst lezen: Injector functie:.
Bijector-functie
Een functie f: A → B zal bijectief zijn als, en alleen als, het is injector en surjector tegelijk, dat wil zeggen, afzonderlijke elementen van het domein hebben verschillende afbeeldingen en de afbeelding valt samen met het tegendomein.
- Voorbeeld
Onderbouw in elk geval of de functie f (x) = x2 het is injector, surjector of bijector.
De) f: ℝ+ → ℝ
Merk op dat het domein van de functie allemaal positieve reële getallen is en het tegendomein allemaal reële getallen. We weten dat de functie f wordt gegeven door f (x) = x2, stel je nu voor dat alle positieve reële getallen zijn hoog kwadraat, zullen alle afbeeldingen ook positief zijn. We kunnen dus concluderen dat de functie injecterend is en niet surjectief, aangezien negatieve reële getallen geen pijlen zullen ontvangen.
Het injecteert, aangezien elk element van het domein (ℝ+) heeft slechts betrekking op één element van het tegendomein (ℝ).
B) f: ℝ → ℝ+
De functie heeft in dit geval het domein als alle reële getallen en het tegendomein als positieve reële getallen. We weten dat elk reëel getal in het kwadraat positief is, dus alle elementen van het tegendomein hebben pijlen gekregen, dus de functie is surjectief. Het zal niet injecteren omdat domeinelementen betrekking hebben op twee elementen van het tegendomein, bijvoorbeeld:
f(–2) = (–2)2 = 4
f(2) = (2)2 = 4
ç) f:ℝ+ → ℝ+
In dit voorbeeld heeft de functie domein en tegendomein als de positieve reële getallen, dus de functie is bijector, omdat elk positief reëel getal betrekking heeft op een enkele echt nummer positief van het tegendomein, in dit geval het kwadraat van het getal. Bovendien kregen alle tegendomeinnummers pijlen.
samengestelde functie
DE samengestelde functie wordt geassocieerd met de snelkoppeling idee. Beschouw drie niet-lege sets A, B en C. Beschouw ook twee functies f en g, waarbij functie f elementen x uit verzameling A naar elementen y = f (x) uit verzameling B brengt, en functie g elementen y = f (x) naar elementen z uit verzameling C brengt.
De samengestelde functie krijgt deze naam omdat het een toepassing is die elementen uit set A rechtstreeks naar elementen uit set C brengt, zonder door set B te gaan, door de samenstelling van functies f en g. Kijken:
De functie aangeduid met (f o g) brengt de elementen van verzameling A direct naar verzameling C. Het wordt een samengestelde functie genoemd.
- Voorbeeld
Beschouw de functie f(x) = x2 en de functie g (x) = x + 1. Zoek de samengestelde functies (f o g)(x) en (g o f)(x).
De functie f o g wordt gegeven door de functie g toegepast op f, dat wil zeggen:
(f o g)(x) = f (g(x))
Om deze samengestelde functie te bepalen, moeten we rekening houden met de functie f, en in plaats van de variabele x, moeten we de functie schrijven g. Kijken:
X2
(x+1)2
(f o g)(x) = f (g(x)) = x2 + 2x + 1
Evenzo, om de samengestelde functie (g o f)(x) te bepalen, moeten we de functie toepassen f in de rol g, dat wil zeggen, beschouw de functie g en schrijf de functie f in plaats van de variabele. Kijken:
(x + 1)
X2 + 1
Daarom is de samengestelde functie (g o f)(x) = g (f (x)) = x2 + 1.
Even functie
Overweeg een functie f: A → ℝ, waarbij A een deelverzameling is van de niet-lege reële getallen. Een functie f is alleen even voor alle reële x.
Voorbeeld
Overweeg de functie f: ℝ → ℝ, gegeven door f (x) = x2.
Merk op dat voor elke reële x-waarde, indien gekwadrateerd, het resultaat altijd positief is, dat wil zeggen:
f(x) = x2
en
f(–x) = (–x)2 = x2
Dus f(x) = f(–x) voor elke reële x-waarde, dus de functie f het is een paar.
Lees ook:Vermogen eigenschappens - wat zijn ze en hoe? Bij gebruiklucht?
unieke functie
Overweeg een functie f: A → ℝ, waarbij A een deelverzameling is van de niet-lege reële getallen. Een functie f is alleen oneven voor alle reële x.
- Voorbeeld
Overweeg de functie f: ℝ → ℝ, gegeven door f (x) = x3.
Zie dat voor elke waarde van x we dat kunnen schrijven (–x)3 = -x3. Bekijk enkele voorbeelden:
(–2)3 = –23 = –8
(–3)3 = –33 = –27
Dus we kunnen zeggen dat:
f(–x) = (–x)3 = –X3
f(–x) = (–x)3 = –f(x)
Dus voor elke reële x f(–x) = –f (x), en dus de functie f (x) = x3 is uniek.
toenemende functie
Een functie f é groeiend met een interval als en slechts als, naarmate de domeinelementen groeien, hun afbeeldingen ook groeien. Kijken:
Merk op dat x1 > x2 en hetzelfde gebeurt met de afbeelding, dus we kunnen een algebraïsche voorwaarde stellen voor de functie f worden groeiend.
Aflopende functie
Een functie f é afnemend met een interval als en slechts als, naarmate de domeinelementen groeien, hun afbeeldingen afnemen. Kijken:
Zie dat we in het functiedomein hebben dat x1 > x2, maar dit komt niet voor in de functieafbeelding, waar f (x1) < f(x2). We kunnen dus een algebraïsche voorwaarde vaststellen voor afnemende functies. Kijken:
constante functie
Zoals de naam al zegt, een functie is constante wanneer, voor welke waarde dan ook domein, is de waarde van de afbeelding altijd hetzelfde.
gerelateerde functie:
DE affiene functie of polynoom van de eerste graad is geschreven in de vorm:
f (x) = ax + b
Waar a en b reële getallen zijn, is a niet nul en is je grafiek een lijn. De functie heeft een echt domein en ook een echt tegendomein.
kwadratische functie
DE kwadratische functie of polynoomfunctie van de tweede graad wordt gegeven door een polynoom van de tweede klas, dus:
f(x) = ax2 + bx + c
Waar a, b en c reële getallen zijn met een niet-nul, en je grafiek is a gelijkenis. De rol heeft ook een echt domein en een tegendomein.
modulaire functie:
DE modulaire functie: met variabele x vindt-als in de module en algebraïsch wordt uitgedrukt door:
f(x) = |x|
De functie heeft ook een reëel domein en een tegendomein, dat wil zeggen dat we de absolute waarde van elk reëel getal kunnen berekenen.
exponentiële functie
DE exponentiële functietoont de variabele x in de exponent. Het heeft ook een reëel domein en een echt tegendomein en wordt algebraïsch beschreven door:
f(x) = aX
Waarbij a een reëel getal groter dan nul is.
logaritmische functie
DE logaritmische functie heeft de variabele in logaritme en het domein gevormd door reële getallen groter dan nul.
Goniometrische functies
Bij trigonometrische functies heb de variabele x met goniometrische verhoudingen, de belangrijkste zijn:
f(x) = zonde(x)
f(x) = cos(x)
f(x) = tg(x)
root-functie
De wortelfunctie wordt gekenmerkt door het hebben van de variabele binnen de root, hiermee, als de index van de wortel even is, wordt het domein van de functie alleen de positieve reële getallen.
door Robson Luiz
Wiskundeleraar
