Stapsgewijze opbouw van de grafiek van de tweedegraadsfunctie

Op de basisschool, functies zijn wiskundige formules die elk getal in een numerieke set (het domein) associëren met een enkel getal dat behoort tot een andere set (het tegendomein). Wanneer deze formule a. is tweedegraads vergelijking, we hebben er een middelbare school functie.

Functies kunnen worden weergegeven door geometrische figuren waarvan de definities samenvallen met hun wiskundige formules. Dit is het geval voor de rechte lijn, die functies van de eerste graad voorstelt, en de gelijkenis, die functies van de tweede graad vertegenwoordigt. Deze geometrische figuren heten afbeeldingen.

Het centrale idee van functieweergave door een grafiek

Voor een functie tekenen, is het noodzakelijk om te evalueren welk element van het tegendomein gerelateerd is aan elk element van het domein en ze één voor één te markeren op een Cartesiaans vlak. Wanneer al deze punten zijn gescoord, is het resultaat slechts de grafiek van een functie.

Opmerkelijk is dat de middelbare school functies, worden meestal gedefinieerd in een domein dat gelijk is aan de hele reeks reële getallen. Deze verzameling is oneindig en daarom is het onmogelijk om al zijn punten op een Cartesiaans vlak te markeren. Het alternatief is dus om een ​​grafiek te schetsen die de geëvalueerde functie gedeeltelijk kan weergeven.

Onthoud allereerst dat tweedegraads functies de volgende vorm hebben:

y = ax² + bx + c

Daarom presenteren we: vijf stappen die het mogelijk maken om een ​​tweedegraads functiegrafiek te bouwen, precies zoals die vereist zijn op de middelbare school.

Stap 1 – Algemene functiewaardering

Er zijn enkele indicatoren die u helpen erachter te komen of de juiste weg wordt bewandeld bij het bouwen van de grafiek van de middelbare schoolfunctie.

I - De coëfficiënt "a" van a middelbare school functie geeft zijn concaafheid aan, dat wil zeggen, als a > 0, zal de parabool naar boven zijn en een minimumpunt hebben. Als a < 0, zal de parabool naar beneden zijn en een maximumpunt hebben.

II) Het eerste punt A van de grafiek van een gelijkenis het kan eenvoudig worden verkregen door alleen naar de waarde van de coëfficiënt "c" te kijken. Dus A = (0, c). Dit gebeurt als x = 0. Kijk maar:

y = ax² + bx + c

y = a·0² + b·0 + c

y = c

Stap 2 – Zoek de hoekpuntcoördinaten

de top van a of gelijkenis is zijn maximum (als a < 0) of minimum (als a > 0) punt. Het kan worden gevonden door de waarden van de coëfficiënten "a", "b" en "c" in de formules te vervangen:

X_v = - B
2e

ja_v = –∆
4e

Het hoekpunt V wordt dus gegeven door de numerieke waarden van x_v en jij_v en het kan als volgt worden geschreven: V = (x_vyy_v).

Stap 3 – Willekeurige punten op de grafiek

Het is altijd goed om enkele willekeurige punten aan te geven waarvan de waarden die zijn toegewezen aan de variabele x groter en kleiner zijn dan x_v. Dit geeft je punten voor en na het hoekpunt en maakt het tekenen van de grafiek gemakkelijker.

Stap 4 – Bepaal indien mogelijk de wortels

Als ze bestaan, kunnen (en moeten) de wortels worden opgenomen in het ontwerp van de grafiek van een functie van de tweede graad. Om ze te vinden, stelt u y = 0 in om een ​​kwadratische vergelijking te krijgen die kan worden opgelost met de formule van Bhaskara. onthoud dat oplossen een kwadratische vergelijking is hetzelfde als het vinden van de wortels.

Niet stoppen nu... Er is meer na de reclame ;)

DE Bhaskara-formule het hangt af van de formule van de discriminant. Zijn zij:

x = – b ±
2e

∆ = b² – 4ac

Stap 5 – Markeer alle punten die op het Cartesiaanse vlak zijn verkregen en koppel ze aan elkaar om een ​​parabool te bouwen

Onthoud dat het Cartesiaanse vlak bestaat uit twee loodrecht op elkaar staande getallenlijnen. Dit betekent dat deze lijnen niet alleen alle reële getallen bevatten, maar ook een hoek van 90° vormen.

Voorbeeld van een cartesiaans plan en voorbeeld van een gelijkenis.

Voorbeeld

Plot de tweedegraadsfunctie y = 2x² – 6x.

Oplossing: Merk op dat de coëfficiënten van deze parabool zijn a = 2, b = – 6 en c = 0. Op deze manier wordt door de stap 1, we kunnen stellen dat:

1 – De parabool zal omhoog zijn, als 2 = a > 0.

2 – Een van de punten van deze gelijkenis, weergegeven door de letter A, wordt gegeven door de coëfficiënt c. Spoedig, A = (0,0).

bij stap 2, zien we dat het hoekpunt van deze parabool is:

X_v = - B
2e

X_v = – (– 6)
2·2

X_v = 6
4

X_v = 1,5

ja_v = – ∆
4e

ja_v = – (B² – 4·a·c)
4e

ja_v = – ((– 6)² – 4·2·0)
4·2

ja_v = – (36)
8

ja_v = – 36
8

ja_v = – 4,5

Daarom zijn de hoekpuntcoördinaten: V = (1,5, – 4,5)

De... gebruiken stap 3, we zullen slechts twee waarden kiezen voor de variabele x, één groter en één kleiner dan x_v.

Als x = 1,

y = 2x² – 6x

y = 2·1² – 6·1

y = 2·1 - 6

y = 2 - 6

y = – 4

Als x = 2,

y = 2x² – 6x

y = 2·2² – 6·2

y = 2,4 – 12

y = 8 - 12

y = – 4

Daarom zijn de twee verkregen punten: B = (1, – 4) en C = (2, – 4)

Vacht stap 4, wat niet hoeft te worden gedaan als de functie geen wortels heeft, krijgen we de volgende resultaten:

∆ = b² – 4ac

∆ = (– 6)² – 4·2·0

∆ = (– 6)²

∆ = 36

x = – b ±
2e

x = – (– 6) ± √36
2·2

x = 6 ± 6
4

x' = 12
4

x' = 3

x'' = 6 – 6
4

x'' = 0

Daarom zijn de punten die door de wortels zijn verkregen, in aanmerking genomen dat, om x = 0 en x = 3 te verkrijgen, het noodzakelijk was om y = 0 in te stellen, zijn: A = (0, 0) en D = (3, 0).

Daarmee krijgen we zes punten om de grafiek van de functie y = 2x. te tekenen² – 6x. Nu gewoon voldoen aan de stap 5 om het zeker te bouwen.

Door Luiz Paulo Moreira
Afgestudeerd in wiskunde