Een functie wordt aangeroepen polynoomfunctie wanneer de vormingswet a. is polynoom. Polynoomfuncties worden geclassificeerd volgens de graad van hun polynoom. Als de polynoom die de functievormingswet beschrijft bijvoorbeeld graad twee heeft, zeggen we dat dit een polynoomfunctie van de tweede graad is.
Om de numerieke waarde van een polynoomfunctie te berekenen, vervang variabele door gewenste waarde, waardoor de polynoom een numerieke uitdrukking wordt. In de studie van polynomiale functies is grafische representatie vrij terugkerend. De 1e graads polynoomfunctie heeft een grafiek die altijd gelijk is aan een rechte lijn. De 2e graads functie heeft een grafiek gelijk aan een parabool.
Lees ook: Wat zijn de verschillen tussen een vergelijking en een functie?
Wat is een polynoomfunctie?
Een functie f: R → R staat bekend als een polynoomfunctie als de vormingswet een polynoom is:
f(x) = aNeeXNee + den-1Xn-1 + den-2Xn-2 + … + de2X2 + de1x + a0
Op wat:
x → is de variabele.
n → is een natuurlijk nummer.
DeNee, eenn-1, eenn-2, … De2,De1 en de0 → zijn coëfficiënten.
De coëfficiënten zijn echte getallen die de polynoomvariabele vergezellen.
Voorbeelden:
f(x) = x5 + 3x4 – 3x3 + x² - x + 1
f(x) = -2x³ + x – 7
f(x) = x9
Niet stoppen nu... Er is meer na de reclame ;)
Hoe het polynoomfunctietype bepalen?
Er zijn verschillende soorten polynoomfuncties. Zij is ingedeeld volgens de graad van de polynoom. Als de graad 1 is, staat de functie bekend als een polynoomfunctie van graad 1 of polynoomfunctie van de 1e graad, of ook een affiene functie. Zie hieronder voor voorbeelden van functies van graad 1 tot graad 6.
Zie ook: Wat is een injectorfunctie?
graad van polynoomfunctie
Wat de graad van de polynoomfunctie definieert, is de graad van de polynoom, dus we kunnen een polynoomfunctie van elke graad hebben.
Graad 1 polynoomfunctie
Om een polynoomfunctie ofwel graad 1 of 1e graads polynoom te laten zijn, de wet van vorming van de functie moet zijn f(x) = ax + b, waarbij a en b reële getallen zijn en a ≠ 0. DE graad 1 polynoomfunctie het is ook bekend als een affiene functie.
Voorbeelden:
f(x) = 2x – 3
f(x) = -x + 4
f(x) = -3x
Graad 2 polynoomfunctie
Als een polynoomfunctie een tweedegraads polynoom of een tweedegraads polynoom is, is de functie vorming wet moet zijnf(x) = ax² + bx + c, waarbij a, b en c reële getallen zijn en a ≠ 0. een 2e graads polynoomfunctie het kan ook bekend staan als een kwadratische functie.
Voorbeelden:
f(x) = 2x² - 3x + 1
f(x) = – x² + 2x
f(x) = 3x² + 4
f(x) = x²
Graad 3 polynoomfunctie
Om een polynoomfunctie een 3e of 3e graads polynoom te laten zijn, is de functie vorming wet moet zijnf(x) = ax³ + bx² + cx + d, waarbij a en b reële getallen zijn en a ≠ 0. De functie van graad 3 kan ook een kubieke functie worden genoemd.
Voorbeelden:
f(x) = 2x³ - 3x² + 2x + 1
f(x) = -5x³ + 4x² + 2x
f(x) = 3x³ + 8x – 4
f(x) = -7x³
Graad 4 polynoomfunctie
Zowel voor de polynoomfunctie van graad 4 als voor de anderen is de redenering hetzelfde.
Voorbeelden:
f(x) = 2x4 + x³ - 5x² + 2x + 1
f(x) = x4 + 2x³ - x
f(x) = x4
Graad 5 polynoomfunctie
Voorbeelden:
f(x) = x5 – 2x4 + x3 – 3x² + x + 9
f(x) = 3x5 + x3 – 4
f(x) = -x5
Polynoomfunctie van graad 6
Voorbeelden:
f(x) = 2x6 – 7x5 + x4 – 5x3 + x² + 2x – 1
f(x) = -x6 + 3x5 + 2x³ + 4x + 8
f(x) = 3x6 + 2x² + 5x
f(x) = x6
Numerieke waarde van de functie
De rolvormingswet kennen f(x), om de numerieke waarde van de. te berekenen bezetting voor een waarde Nee, bereken gewoon de waarde van f(Nee). daarom, we hebben de variabele in de formatiewet vervangen.
Voorbeeld:
gegeven de functie f(x) = x³ + 3x² – 5x + 4, vinden we de numerieke waarde van de functie voor x = 2.
Om de waarde van te vinden f(x) wanneer x = 2, doen we f(2).
f(2) = 2³ + 3 · 2² – 5 · 2 + 4
f(2) = 8 + 3 · 4 – 5 · 2 + 4
f(2) = 8 + 12 – 10 + 4
f(2) = 20 – 10 + 4
f(2) = 10 + 4
f(2) = 14
We kunnen zeggen dat de afbeelding van de functie of de numerieke waarde van de functie, wanneer x = 2, gelijk is aan 14.
Zie ook: Inverse functie - bestaat uit de inverse van de functie f (x)
Polynomiale functiegrafieken
Vertegenwoordigen in de cartesiaans vlak de functie, we vertegenwoordigen, op de x-as, de waarden van x, en het beeld van f(x), door punten in het vlak. De punten op het cartesiaanse vlak zijn van het type (Nee, f(Nee)).
Voorbeeld 1:
f(x) = 2x - 1
De grafiek van een 1e graads functie is altijd a Rechtdoor.
Voorbeeld 2:
f(x) = x² - 2x - 1
De 2e graads functiegrafiek is altijd a gelijkenis.
Voorbeeld 3:
f(x) = x³ - x
De grafiek van de 3e graads functie staat bekend als kubieke.
Gelijkheid van veeltermen
Om twee polynomen gelijk te laten zijn, is het noodzakelijk dat, wanneer de Vergelijking tussenin u jouw termen, de coëfficiënten zijn hetzelfde.
Voorbeeld:
Gegeven de volgende veeltermen p(x) en g(x), en wetende dat p(x) = g(x), zoek de waarde van a, b, c en d.
p (x) = 2x³ + 5x² + 3x – 4
g (x) = ax³ + (a + b) x² + (c – 2) x + d
Aangezien de veeltermen hetzelfde zijn, hebben we dat:
ax³ = 2x³
(a + b) x² = 5x²
(c – 2)x = 3x
d = -4
Merk op dat we de waarde van d al hebben, aangezien d = -4. Als we nu elk van de coëfficiënten berekenen, moeten we:
ax³ = 2x³
een = 2
Laten we, als we de waarde van a kennen, de waarde van b vinden:
(a + b) x² = 5x²
a + b = 5
een = 2
2 + b = 5
b = 5 - 2
b = 3
De waarde van c vinden:
(c – 2)x = 3x
c – 2 = 3
c = 3 + 2
c = 5
Zie ook: Polynoomvergelijking - Vergelijking die wordt gekenmerkt door een polynoom gelijk aan 0
Polynomiale bewerkingen
Gegeven twee polynomen, is het mogelijk om de bewerkingen van uit te voeren optellen, aftrekken en vermenigvuldiging tussen deze algebraïsche termen.
Toevoeging
De optelling van twee polynomen wordt berekend door som van ursoortgelijke handen. Om twee termen vergelijkbaar te laten zijn, moet het letterlijke deel (letter met exponent) hetzelfde zijn.
Voorbeeld:
Laat p (x) = 3x² + 4x + 5 en q (x) = 4x² – 3x + 2, bereken de waarde van p (x) + q (x).
3x² + 4x + 5 + 4x² - 3x + 2
Vergelijkbare termen markeren:
3x² + 4x + 5 + 4x² – 3x + 2
Laten we nu de coëfficiënten van vergelijkbare termen optellen:
(3 + 4)x² + (4 - 3)x + 7
7x² + x + 7
Polynoom aftrekken
Aftrekken lijkt erg op optellen, maar voordat u de bewerking uitvoert, we schrijven het tegenovergestelde polynoom.
Voorbeeld:
Gegevens: p (x) = 2x² + 4x + 3 en q (x) = 5x² – 2x + 1, bereken p (x) – q (x).
De tegengestelde veelterm van q (x) is -q (x), wat niets meer is dan de veelterm q (x) met het tegenovergestelde van elk van de termen.
q (x) = 5x² - 2x + 1
-q (x) = -5x² + 2x – 1
We berekenen dus:
2x² + 4x + 3 - 5x² + 2x - 1
Door vergelijkbare termen te vereenvoudigen, hebben we:
(2 - 5)x² + (4 + 2)x + (3 - 1)
-3x² + 6x + 2
Polynomiale vermenigvuldiging
Het vermenigvuldigen van polynoom vereist de toepassing van distributieve eigendom, dat wil zeggen, we vermenigvuldigen elke term van de eerste veelterm met elke term van de tweede term.
Voorbeeld:
(x + 1) · (x² + 2x – 2)
Als we de distributieve eigenschap toepassen, moeten we:
x · x² + x · 2x + x · (-2) + 1 · x² + 1 · 2x + 1 · (-2)
X3 + 2x² + -2x – 2 + x² + 2x + -2
x³ + 3x² - 4
polynomiale deling
Om de te berekenen deling tussen twee polynomen, gebruiken we dezelfde methode die we gebruiken om de deling van twee getallen te berekenen, de sleutelmethode.
Voorbeeld:
Bereken p (x): q (x), wetende dat p (x) = 15x² + 11x + 2 en q (x) = 3x + 1.
Lees ook: Handig Briot-Ruffini-apparaat - Een andere methode voor het berekenen van de verdeling van veeltermen
opgeloste oefeningen
Vraag 1 - De dagelijkse productiekosten van een auto-onderdelenindustrie om een bepaalde hoeveelheid onderdelen te produceren, wordt gegeven door de oprichtingswet f(x) = 25x + 100, waarbij x het aantal geproduceerde stukken die dag is. Wetende dat er op een bepaalde dag 80 stuks werden geproduceerd, waren de productiekosten van deze stukken:
A) BRL 300
B) BRL 2100
C) BRL 2000
D) BRL 1800
E) BRL 1250
Resolutie
alternatief B
f(80) = 25 · 80 + 100
f(80) = 2000 + 100
f(80) = 2100
Vraag 2 - De graad van de functie h(x) = f(x) · g(x), wetende dat f (x) = 2x² + 5x en g(x) = 4x - 5, is:
NAAR 1
B) 2
C) 3
D) 4
E) 5
Resolutie
alternatief C
Eerst zullen we de polynoom vinden die het resultaat is van de vermenigvuldiging tussen f(X en g(X):
f(x) · g(x) = (2x² + 5x) · (4x – 5)
f(x) · g(x) = 8x³ – 10x² + 20x – 25x
Merk op dat dit een polynoom is van graad 3, dus de graad van de functie h(x) is 3.
Door Raul Rodrigues de Oliveira
Wiskundeleraar
