Het staat bekend als een rationaal getal elk nummer dat kan worden weergegeven als een onherleidbare breuk. Door de menselijke geschiedenis heen is het idee van het getal geleidelijk ontwikkeld in overeenstemming met de menselijke behoeften. De weergave van getallen in breuken loste bijvoorbeeld problemen op die alleen werden opgelost met hele getallen.
Een rationaal getal kan worden weergegeven vanuit een breuk, dus er zijn methoden om hele getallen te transformeren, decimale getallen exacte en periodieke decimalen in breuken.
Lees ook: Bewerkingen met breuken - hoe op te lossen?
Wat zijn rationale getallen?
De rationale getallen zijn een uitbreiding van de verzameling gehele getallen, dan werden, naast de gehele getallen, toegevoegd alle breuken. O set van de rationale getallen wordt weergegeven door:
Wat deze representatie zegt, is dat een getal rationaal is als het kan worden weergegeven als de breuk De over B, zoals dat De is een geheel getal en B is een geheel getal dat niet nul is. Maar als we rationale getallen minder rigoureus willen definiëren, kunnen we het volgende zeggen:
Rationele getallen zijn alle getallen die kunnen worden weergegeven als een breuk. |
Voldoe aan deze definitie:
u gehele getallens, bijvoorbeeld: -10, 7, 0;
u exacte decimale getallen, bijvoorbeeld: 1,25; 0,1; 3,1415;
Bij eenvoudige periodieke tienden, bijvoorbeeld: 1.424242…;
Bij samengestelde periodieke tienden, bijvoorbeeld: 1.0288888…
Nee zijn rationale getallen:
Bij niet-periodieke tienden, bijvoorbeeld: 4.1239489201…;
Bij wortelsniet precies, bijvoorbeeld:
;- DE kikkerikz kwadraat van negatieve getallen, bijvoorbeeld:
.
Observatie: Het bestaan van niet-rationele getallen zorgt ervoor dat andere verzamelingen ontstaan, zoals irrationele getallen en complexe getallen.
Niet stoppen nu... Er is meer na de reclame ;)
Vertegenwoordiging van rationale getallen
Begrijpen dat de breuk a. is divisie van twee gehele getallen, om een rationaal getal te zijn, je kunt dit getal als een breuk voorstellen. Daarom kan elk van de hierboven genoemde gevallen als rationale getallen (hele getallen, exacte decimalen en periodieke decimalen) worden weergegeven als een breuk.
gehele getallen
Er zijn oneindig veel mogelijkheden om een geheel getal als een breuk weer te geven, aangezien een breuk in onherleidbare vorm kan worden weergegeven of niet.
Voorbeelden:
exacte decimalen
Om een exact decimaal getal om te zetten in a fractie, we tellen het aantal getallen in het decimale deel, dat wil zeggen na de komma. Als er een getal achter de komma staat, schrijven we het gehele deel plus het decimale deel zonder de komma groter dan 10. Als er twee getallen in het decimale deel groter zijn dan 100, zal in de praktijk het aantal getallen in het decimale deel het aantal nullen zijn dat we in de noemer hebben. Zie het voorbeeld:
periodieke tienden
Het vinden van de fractionele weergave van een tiende is niet altijd een gemakkelijke taak, wat we noemen breuk genereren. Om dit werk te vergemakkelijken, werd opgemerkt dat in de vergelijking die we gebruikten om de genererende breuk te vinden, er regelmatigheden zijn die de ontwikkeling van een praktische methode mogelijk maakten.
Ten eerste moeten we begrijpen dat er twee soorten periodieke tienden zijn, enkelvoudige en samengestelde. een tiende is eenvoudig als er in het decimale deel alleen het deel is dat wordt herhaald, dat wil zeggen de punt. een tiende is samengesteld als er in het decimale deel een niet-periodiek deel is.
Voorbeeld:
9,323232… → eenvoudig periodiek decimaal
Geheel getal is gelijk aan 9.
Periode is gelijk aan 32.
8,7151515… → samengestelde periodieke tienden
Geheel getal is gelijk aan 8.
Niet-periodiek decimaal deel is gelijk aan 7.
Periode is gelijk aan 15.
Zie ook: Equivalente breuken - breuken die dezelfde hoeveelheid vertegenwoordigen
→ 1e geval: het genereren van een breuk van een eenvoudig periodiek decimaalteken
In het eerste geval, om verander een eenvoudig periodiek decimaalteken in een breuk volgens de praktische methode, schrijf gewoon het hele deel plus de punt zonder de komma in de teller. In de noemer voegen we voor elk element in het periodieke deel een 9 toe.
Voorbeeld:
De genererende breuk van 9.323232... heeft, zoals we hebben gezien, een periode gelijk aan 32, dat wil zeggen twee getallen in zijn periode, dus de noemer is 99. Het gehele deel plus het periodieke deel zonder de komma is 932, wat de teller is. Dus de genererende fractie van deze tiende is:
→ 2e geval: breuk genereren van een samengesteld periodiek decimaalteken
De periodieke samengestelde tiende is iets omslachtiger. Laten we de genererende fractie van de tiende zoeken waaraan we in het voorbeeld hebben gewerkt.
8,7151515… → samengesteld periodiek decimaal.
Geheel getal is gelijk aan 8.
Niet-periodiek decimaal deel is gelijk aan 7.
Het decimale deel van de periode is gelijk aan 15.
De teller wordt de aftrekken 8715 – 87, dat wil zeggen, het verschil tussen het getal dat van het hele deel naar het periodieke deel gaat met het niet-herhalende deel van de tiende.
De teller is gelijk aan 8715 – 87 = 8628.
Laten we het decimale deel analyseren om de noemer te vinden. Laten we eerst kijken naar het niet-periodieke en periodieke decimale deel. In dit geval is het decimale deel van het getal 715. Laten we voor elk getal in het periodieke deel a. toevoegen 9 aan het begin van de noemer. Aangezien het periodieke deel in dit geval twee cijfers (15) heeft, zullen er twee 9-en in de noemer staan. Voor elk getal in het decimale deel dat niet periodiek is, voegen we a. toe 0 aan het einde van de noemer, wat zal zijn 990.
Binnenkort, de breuk genereren van de tiende zal zijn:
Eigenschappen van rationale getallen
Tussen twee rationale getallen zal er altijd een ander rationaal getal zijn
Het is interessant om na te denken over deze eigenschap, die veel werd besproken door oude volkeren, en een paradox werd. Als je twee rationale getallen kiest, zal er altijd een getal tussen staan.
Voorbeeld:
Tussen 1 en 2 is er 1,5; tussen 1 en 1,5 is er 1,25; tussen de 1 en de 1,25, is er de 1,125 enzovoort. Hoe graag ik ook twee rationale getallen kies met heel weinig verschil ertussen, het is altijd mogelijk om er een rationaal getal tussen te vinden. Deze eigenschap maakt onmogelijk om opvolger en voorganger in rationale getallen te definiëren.
De vier bewerkingen op de verzameling rationale getallen zijn gesloten
We zeggen dat de set gesloten is voor de som, bijvoorbeeld als de som van twee rationale getallen altijd een ander rationaal getal als antwoord genereert. Dit is wat er gebeurt met de vier bewerkingen op Q.
DE optellen, aftrekken, delen en vermenigvuldigen tussen twee rationale getallen resulteert altijd in een rationaal getal. Sterker nog, zelfs de potentiëring van een rationaal getal zal altijd een rationaal getal als antwoord genereren.
De verzameling van rationale getallen is niet gesloten voor de bestraling. Dus, maangezien 2 een rationaal getal is, is de vierkantswortel van 2 a irrationeel nummer.
Zie ook: Equivalente breuken - breuken die dezelfde hoeveelheid vertegenwoordigen
Deelverzamelingen van rationale getallen
We weten hoe deelverzamelingen of inclusierelatie de verzamelingen gevormd door elementen die behoren tot de verzameling rationale getallen. Er zijn verschillende mogelijke subsets, als de reeks gehele getallen of natuurlijk, omdat elk geheel getal rationaal is, net zoals elk natuurlijk getal rationaal is.
Voorbeeld:
Reeks gehele getallen: Z= {…-3, -2, -1, 0.1, 2, 3, …}.
Als dat gebeurt, zeggen we dat Z Q (Er staat: Z zit in Q of de verzameling hele getallen zit in de verzameling rationale getallen.)
Er zijn enkele symbolen die essentieel zijn voor het maken van subsets van Q, dit zijn: +,- en *, die respectievelijk positief, negatief en niet-null betekenen.
Voorbeelden:
Q* → (leest: verzameling van niet-nul rationale getallen.)
Vraag+ → (leest: verzameling positieve rationale getallen.)
Vraag- → (leest: reeks negatieve rationale getallen.)
Vraag*+ → (leest: reeks positieve en niet-nul rationale getallen.)
Vraag*- → (leest: reeks negatieve en niet-nul rationale getallen.)
Merk op dat al deze verzamelingen deelverzamelingen zijn van Q, aangezien alle elementen tot de verzameling van rationale getallen behoren. Naast de gepresenteerde verzamelingen kunnen we met verschillende deelverzamelingen in Q werken, zoals de verzameling gevormd door oneven getallen, of nichten en neven, of paren, ten slotte zijn er verschillende en verschillende mogelijkheden van subsets.
Door Raul Rodrigues de Oliveira
Wiskundeleraar
