2e graads functie of kwadratische functie

DE 2e graads functie of kwadratische functie is bezetting echt domein, d.w.z. any echt nummer kan de zijn X en aan elk reëel getal x koppelen we een getal van de vorm ax² + bx + c.

Met andere woorden, de kwadratische functie f wordt gedefinieerd door:

We zullen hieronder zien hoe we dit type functie kunnen berekenen, waarbij we ons herinneren aan Bhaskara's formule voor het vinden van de wortels van de functie, naast het kennen van het type grafiek, de elementen ervan en hoe het te tekenen op basis van de interpretatie van de gegevens die zijn verkregen door de oplossing.

De kwadratische functie vormt een parabool op een Cartesiaans vlak.

Wat is een 2e graads functie?

Een functie f: R à → heet een 2e graads functie of kwadratische functie als er a, b, c € R is met a ≠ 0, zodat f(x) = ax² + bx + c, voor alle x € R.

Voorbeelden:

• f (x) = 6x² - 4x + 5 → De = 6; B = -4; ç = 5.
• f(x) = x² - 9 → De = 1; B = 0; ç = -9.
• f (x) = 3x² +3x → De = 3; B = 3; ç = 0.
• f(x) = x² – x → De = 1; B = -1; ç = 0.

voor elk reëel getal

X, moeten we de noodzakelijke handelingen vervangen en uitvoeren om: vind je foto. Zie het volgende voorbeeld:

Laten we het beeld van het reële getal -2 van de functie f(x) = 6x. bepalen² - 4x + 5. Om dit te doen, vervangt u gewoon het echte getal dat in de functie wordt gegeven, zoals dit:

f(-2) = 6(-2)² – 4(-2) +5

f (-2) = 6(4) + 8 +5

f (-2) = 24 + 8 + 5

f(-2) = 37

Het beeld van het getal -2 is dus 27, wat resulteert in het geordende paar (-2; 37).

Lees ook: 2e graads vergelijking: de vergelijking met exponent 2 onbekend

Niet stoppen nu... Er is meer na de reclame ;)

Grafiek van de kwadratische functie

Bij het schetsen van de kwadratische functie grafiek, vonden we een curve, die we zullen noemen gelijkenis. Jouw concaafheid hangt af van de coëfficiëntDe van functie f. Wanneer de functie de coëfficiënt heeft De groter dan 0, zal de parabool naar boven concaaf zijn; wanneer de coëfficiënt De kleiner is dan 0, zal de parabool hol naar beneden zijn.

Wortels van de kwadratische functie

De wortels van een kwadratische functie vormen de snijpunten van de grafiek van de functie met de assen van de functie. cartesiaans vlak. Wanneer we een kwadratische functie van de vorm y = ax. beschouwen² + bx + c en we nemen in eerste instantie de x = 0, laten we het snijpunt met de O-as zoeken_Y. Als we nu de y = 0, laten we het snijpunt met as O. zoeken_X,dat wil zeggen dat de wortels van de vergelijking het snijpunt met de X-as vormen. Zie een voorbeeld:

a) y = x² – 4x

Laten we x = 0 nemen en het in de gegeven functie vervangen. Dus, y = 0² – 4 (0) = 0. Merk op dat wanneer x = 0, we y = 0 hebben. We hebben dus het volgende geordende paar (0, 0). Dit geordende paar geeft het y-snijpunt. Als we nu y = 0 nemen en in de functie substitueren, krijgen we het volgende:

X² – 4x = 0

x.(x - 4) = 0

x' = 0

x''-4 = 0

x'' = 4

Daarom hebben we twee snijpunten (0, 0) en (4, 0) en in het Cartesiaanse vlak hebben we het volgende:

Realiseer je dat we de relatie van kunnen gebruiken bhaskara om de nullen van de functie te vinden. Hiermee krijgen we een heel belangrijk hulpmiddel: als we naar de discriminant kijken, kunnen we weten op hoeveel plaatsen de grafiek de X-as snijdt.

• Als de delta groter is dan nul (positief), "knipt" de grafiek de x-as in twee punten, dat wil zeggen, we hebben x' en x''.
• Als de delta gelijk is aan nul, "snijdt" de grafiek de x-as in een punt, namelijk x' = x''.
• Als de delta kleiner is dan nul (negatief), "knipt" de grafiek de x-as niet omdat er geen wortels zijn.

opgeloste oefeningen

Vraag 1 - Gegeven de functie f (x) = -x² + 2x – 4. Bepalen:

a) Het snijpunt met de O-as_J.

b) Het snijpunt met de O-as_X.

c) Schets de grafiek van de functie.

Oplossing:

a) Het snijpunt met de O-as bepalen_Y , neem gewoon de waarde van x =

b) 0. -(0)² +2(0) – 4

0 + 0 – 4

-4

We hebben dus het bestelde paar (0, -4).

c) Het snijpunt met de O-as vinden_X, neem gewoon de waarde van y = 0. Dus:

-X² +2x – 4 = 0

Met behulp van de methode van Bhaskara moeten we:

Δ = b² - 4ac

Δ = (2)² - 4(-1)(-4)

Δ = 4 - 16

Δ = -12

Aangezien de waarde van de discriminant kleiner is dan nul, snijdt de functie de X-as niet.

d) Om de grafiek te schetsen, moeten we naar de snijpunten kijken en de concaafheid van de parabool analyseren. Aangezien a < 0, zal de parabool naar beneden concaaf zijn. Dus:

door Robson Luiz
Wiskundeleraar

Bereken de waarde van k zodanig dat de functie f(x) = 4x² – 4x – k geen wortels heeft, dat wil zeggen dat de grafiek van de parabool geen punt gemeen heeft met de x-as.

Bepaal de waarden van m zodat de functie f (x) = (m – 2)x² – 2x + 6 echte wortels heeft.