de set van complexe getallen wordt gevormd door alle z-getallen die in de volgende vorm kunnen worden geschreven:
z = a + bi
In deze vorm is i = √(– 1). In deze getallen wordt a genoemd echt deel en b heet denkbeeldig deel. om de te vertegenwoordigen nummerscomplexen geometrisch, zullen we gebruiken vectoren op de planning.
Geometrische weergave van complexe getallen
U nummerscomplexen kan geometrisch worden weergegeven in a vlak op dezelfde manier gebouwd als cartesiaans vlak: twee loodrechte assen die op hun beurt getallenlijnen. Bovendien zijn deze twee lijnen terug te vinden in hun oorsprong.
Het verschil tussen dit plan en de vlakcartesiaans het is gewoon de interpretatie: de x-as van dit vlak heet de echte as, en de y-as heet de denkbeeldige as. Dus, om een complex getal in dit vlak weer te geven, bekend als plan van Argand-Gauss, moeten we dit getal omzetten in een geordend paar, waarbij de x-coördinaat de. is een deelecht van het complexe getal en de y-coördinaat is van jou. een deeldenkbeeldig.
Daarna is de vector die staat voor a aantalcomplex is altijd de recht segment georiënteerd die begint bij de oorsprong van het plan van Argand-Gauss en eindigt bij punt (a, b), waar a is a een deelecht van het complexe getal en b is het imaginaire deel ervan.
Met andere woorden, het grootste verschil tussen deze plannen is dat, in vlakcartesiaans, we scoren punten en, in het plan van Argand-Gauss, gebruiken we het reële en imaginaire deel van complexe getallen om vectoren te markeren.
De volgende afbeelding toont de vertegenwoordiginggeometrisch van aantalcomplex z = 2 + 3i.
Geometrische weergave van het optellen van complexe getallen
Gegeven de complexen z = a + bi en u = c + di, hebben we de volgende algebraïsche optelling:
Niet stoppen nu... Er is meer na de reclame ;)
a + u = a + bi + c + di
a + u = a + c + (b + d) i
Merk op dat vanuit het oogpunt geometrisch, wat wordt er gedaan bij het toevoegen nummerscomplexen is de som van hun coördinaten op dezelfde as.
Geometrisch is de som tussen de complexen z = a + bi en u = c + di kan als volgt:
1 – Teken vectoren z en u in het vlak van Argand-Gauss;
2 – Download een kopie van de vector u voor het eindpunt van vector z. Met andere woorden, teken een vector van dezelfde lengte als vector u en evenwijdig eraan vanaf punt (a, b).
3 – Download een z’ kopie van vector z voor het eindpunt van vector u;
4 – Merk op dat de vectoren u, u’, z en z’ vormen a parallellogram, en construeer een vector v die begint bij de oorsprong en eindigt bij de ontmoeting tussen de vectoren u’ en z’.
5 - v = z + u
Let op deze constructie in de onderstaande afbeelding:
O vector v is slechts de diagonaal hiervan parallellogram gevormd door de vectoren u, u’, z en z’.
Voorbeeld
Beschouw vector a = 1 + 7i en vector b = 3 – 2i. Zie de constructie van het parallellogram van deze twee vectoren:
Het is dus mogelijk om het resultaat van de som tussen deze twee vectoren te bepalen door de coördinaten van de vector v = (4, 5) te observeren. Daarom, de complex getal v = 4 + 5i.
Door Luiz Paulo Moreira
Afgestudeerd in wiskunde
Wil je naar deze tekst verwijzen in een school- of academisch werk? Kijken:
SILVA, Luiz Paulo Moreira. "Geometrische weergave van de som van complexe getallen"; Braziliaanse School. Beschikbaar in: https://brasilescola.uol.com.br/matematica/representacao-geometrica-soma-numeros-complexos.htm. Betreden op 28 juni 2021.
