We zeggen dat een natuurlijk getal perfect is als het gelijk is aan de som van al zijn factoren (delers), met uitzondering van zichzelf. 6 en 28 zijn bijvoorbeeld perfecte getallen, zie:
6 = 1 + 2 + 3 (factoren van 6: 1, 2, 3 en 6), we sluiten het getal 6 uit.
28 = 1 + 2 + 4 + 7 + 14 (factoren van 28: 1, 2, 4, 7, 14, 28), we sluiten de 28 uit.
Mersennegetallen zijn die in de vorm Mn = 2n – 1. Hij dacht zelfs dat deze uitdrukking mogelijke priemgetallen zou kunnen berekenen rekening houdend met n = priemgetallen, maar later bleek dat hij bijna gelijk had. Bijvoorbeeld:
M1 = 21 – 1 = 1
M2 = 22 – 1 = 3 → n = 2 (neef), M2 = 3 (neef)
M3 = 23 – 1 = 7 → n = 3 (neef), M3 = 7 (neef)
M4 = 24 – 1 = 15
M5 = 25 – 1 = 31 → n = 5 (neef), M5 = 31 (neef)
M6 = 26 – 1 = 63
M7 = 27 – 1 = 127 → n = 7 (neef), M7 = 127 (neef)
M8 = 28 – 1 = 255
M9 = 29 – 1 = 511
M10 = 210 – 1 = 1023
M11 = 211 – 1 = 2047 → n = 11 (neef), M11 = 2047 (geen priemgetal)
M13 = 213 – 1 = 8191 → n = 13 (neef), M13 = 8191 (neef)
Binnen de reeks van priemgetallen zijn er elementen die toegepast in de Mersenne-formule niet genereren priemelementen, bijvoorbeeld het getal 11, wanneer toegepast op de formule resulteerde in 2047, een getal niet neef.
De kennis van perfecte getallen wordt toegeschreven aan Euclid, de beroemde Griekse wiskundige die de meetkunde oprichtte. De methode die hij gebruikt begint met het optellen van 1 machten van 2 bij een priemgetal. Een perfect getal wordt dan verkregen door de som te vermenigvuldigen met de laatste macht van 2.
Let op de relatie tussen het perfecte getal en de Mersenne-priemgetallen.
Niet stoppen nu... Er is meer na de reclame ;)
door Mark Noah
Afgestudeerd in wiskunde
Brazilië School Team
Numerieke sets - Wiskunde - Brazilië School
Wil je naar deze tekst verwijzen in een school- of academisch werk? Kijken:
SILVA, Marcos Noé Pedro da. "Mersenne, Priemgetallen en Perfecte Getallen"; Brazilië School. Beschikbaar in: https://brasilescola.uol.com.br/matematica/mersenne-numeros-primos-numeros-perfeitos.htm. Betreden op 27 juni 2021.
