Matrixvermenigvuldiging: hoe te berekenen, voorbeelden

DE mMatrix vermenigvuldiging gebeurt via een algoritme dat veel aandacht vraagt. Om het product tussen matrix A en matrix B te laten bestaan, het is noodzakelijk dat het aantal kolommen geeft eerste hoofdkwartier, in geval van A, is gelijk aan het aantal lijnen geeft maandag hoofdkwartier, in geval B.

Uit de vermenigvuldiging tussen matrices is het mogelijk om te begrijpen wat de identiteitsmatrix is, wat de is neutraal element van matrixvermenigvuldiging, en wat is de inverse matrix van matrix M, dat is matrix M^-1 wiens product van M door M^-1 gelijk is aan de identiteitsmatrix. Het is ook mogelijk om een ​​matrix te vermenigvuldigen met een reëel getal — in dit geval vermenigvuldigen we elk van de termen van de hoofdkwartier op nummer.

Lees ook: Wat is een driehoeksmatrix?

bestaansvoorwaarde

Het vermenigvuldigen tussen matrices is een proces dat veel aandacht vraagt.

Om twee matrices te vermenigvuldigen, moet eerst de bestaansvoorwaarde worden gecontroleerd. Om het product te laten bestaan,

het aantal kolommen in de eerste matrix moet gelijk zijn aan het aantal rijen in de tweede matrix. Verder is het resultaat van de vermenigvuldiging een matrix die hetzelfde aantal rijen heeft als de eerste matrix en hetzelfde aantal kolommen als de tweede matrix.

Bijvoorbeeld het product AB tussen matrices A_3x2 en B_2x5 bestaat omdat het aantal kolommen in A (2 kolommen) gelijk is aan het aantal rijen in B (2 rijen), en het resultaat is matrix AB_3x5. Reeds product tussen C-matrices_3x5 en matrix D_2x5 bestaat niet, aangezien C 5 kolommen heeft en D 3 rijen.

Niet stoppen nu... Er is meer na de reclame ;)

Hoe het product tussen twee matrices berekenen?

Om matrixvermenigvuldiging uit te voeren, het is noodzakelijk om enkele stappen te volgen. We zullen een voorbeeld maken van de vermenigvuldiging van een algebraïsche matrix A_2x3 door matrix B_3x2

We weten dat het product bestaat, omdat matrix A 3 kolommen heeft en matrix B 3 rijen. We noemen C het resultaat van de vermenigvuldiging A·B. Daarnaast weten we ook dat het resultaat een C-matrix is._2x2, omdat matrix A 2 rijen heeft en matrix B 2 kolommen.

Om het product van matrix A. te berekenen_2x3 en matrix B_3X2, laten we een paar stappen volgen.

Eerst zullen we elk van de termen van de matrix C. vinden_2x2:

Om de voorwaarden te vinden, laten we relateer altijd de rijen van matrix A aan de kolommen van matrix B:

ç₁₁ → 1e regel van A en 1e kolom van B
ç₁₂ → 1e regel van A en 2e kolom van B
ç₂₁ → 2e lijn van A en 1e kolom van B
ç₂₂ → 2e lijn van A en 2e kolom van B

We berekenen elk van de termen door de termen in de rij van A en de termen in de kolom van B te vermenigvuldigen. Nu moeten we deze producten toevoegen, te beginnen met ç_11:

1e regel van A
1e kolom van B

ç₁₁ = De₁₁·B₁₁ + De₁₂·B₂₁+ De₁₃·B₃₁

rekenen ç₁₂:

1e regel van A
2e kolom van B

ç₁₂ = De₁₁·B₁₂ + De₁₂·B₂₂+De₁₃·B₃₂

rekenen ç₂₁:

2e lijn van A
1e kolom van B

ç₂₁ = De₂₁·B₁₁ + De₂₂·B₂₁+De₂₃·B₃₁

de term berekenen ç₂₂:

2e lijn van A
2e kolom van B

ç₂₂ = De₂₁·B₁₂ + De₂₂·B₂₂+De₂₃·B₃₂

Dus matrix C wordt gevormd door de termen:

Voorbeeld:

Laten we de vermenigvuldiging tussen matrices A en B berekenen.

We weten dat in A_2x2 en B_2x3, het aantal kolommen in de eerste is gelijk aan het aantal rijen in de tweede, dus het product bestaat. Dus we maken C = A· B en we weten dat C_2x3.

Vermenigvuldigen, we moeten:

Zie ook: Wat is een getransponeerde matrix?

identiteitsmatrix

Bij vermenigvuldiging tussen matrices zijn er enkele speciale gevallen, zoals: de identiteitsmatrix, het neutrale element van vermenigvuldiging tussen matrices.. De identiteitsmatrix is ​​een vierkante matrix, dat wil zeggen dat het aantal rijen altijd gelijk is aan het aantal kolommen. Verder zijn alleen de termen van de diagonaal gelijk aan 1 erin, en de andere termen zijn allemaal gelijk aan nul. Wanneer we een matrix M vermenigvuldigen met de identiteitsmatrix I_Nee, We moeten:

M · ik_Nee = M

Identiteitsmatrices van bestelling 2 tot bestelling 5

Voorbeeld:

Wat is de inverse matrix?

Gegeven een matrix M, kennen we deze als een inverse matrix van M. de matrix M^-1wiens product M · M^-1 gelijk aan à identiteitsmatrix I_Nee. Wil een matrix een inverse hebben, dan moet deze vierkant zijn, en zijn bepalend moet anders zijn dan 0. Laten we eens kijken naar voorbeelden van matrices die invers zijn:

Als we het product A·B berekenen, moeten we:

Merk op dat de product tussen A en B gegenereerde matrix I₂. Wanneer dit gebeurt, zeggen we dat B de inverse matrix van A is. Lees voor meer informatie over dit type matrix: Inverse matrix.

Matrixvermenigvuldiging met een reëel getal

In tegenstelling tot vermenigvuldiging tussen matrices, is er ook matrixvermenigvuldiging met één echt nummer, wat een veel eenvoudigere operatie is om de oplossing te vinden.

Gegeven een matrix M, vermenigvuldiging van de matrix met een reëel getal k is gelijk aan de matrix kM. Om deze matrix te vinden kM, genoeg vermenigvuldig alle termen in de matrix met de constante k.

Voorbeeld:

als k = 5 en rekening houdend met matrix M hieronder, vind matrix 5M.

vermenigvuldigen:

opgeloste oefeningen

Vraag 1 - (Unitau) Gegeven matrices A en B,

de waarde van element c₁₁ van matrix C = AB is:

A) 10.

B) 28.

C) 38.

D) 18.

E) 8.

Resolutie

Alternatief A.

Hoe willen we de term c₁₁, laten we de termen in de eerste rij en A vermenigvuldigen met de termen in de eerste kolom van B.

c berekenen₁₁ = 1 · 3 + 2 · 2 + 3 · 1 = 3 + 4 + 3 = 10

Vraag 2 - (Enem 2012) Een student registreerde de tweemaandelijkse cijfers van enkele van zijn vakken in een tabel. Hij merkte op dat de numerieke gegevens in de tabel een 4×4-matrix vormden en dat hij de jaargemiddelden voor deze disciplines kon berekenen met behulp van het product van matrices. Alle tests hadden hetzelfde gewicht en de tabel die hij kreeg, wordt hieronder weergegeven.

Om deze gemiddelden te verkrijgen, vermenigvuldigde hij de matrix verkregen uit de tabel met de matrix:

Resolutie

Alternatief E.

Het gemiddelde is niets meer dan de som van de elementen gedeeld door het aantal elementen. Merk op dat er 4 noten per regel zijn, dus het gemiddelde is de som van die noten gedeeld door 4. Delen door 4 is hetzelfde als vermenigvuldigen met fractie ¼. De matrix van cijfers is ook een 4x4-matrix, dus we moeten vermenigvuldigen met een 4x1-matrix, dat wil zeggen, het heeft 4 rijen en 1 kolom, om de matrix te vinden met het gemiddelde van de cijfers.

Door Raul Rodrigues de Oliveira
Wiskundeleraar