Progresijas: kādi tie ir, veidi, formulas, piemēri

Mēs zinām, kā progresijas īpašie gadījumi numuru secības. Ir divi progresijas gadījumi:

• aritmētiskā progresija

• ģeometriskā progresija

Lai būtu progresija, mums ir jāanalizē secības raksturojums, ja ir kāds iemesls, ko mēs saucam. kad progresija ir aritmētika, iemesls ir nekas cits kā konstante, kuru mēs pievienojam terminam, lai secībā atrastu tā pēcteci; tagad, strādājot ar progresēšanu ģeometriski, saprātam ir līdzīga funkcija, tikai šajā gadījumā iemesls ir nemainīgais termins, ar kuru mēs reizinām terminu secībā, lai atrastu tā pēcteci.

Līdz paredzama uzvedība progresēšanai ir īpašas formulas, lai atrastu jebkuru terminu šajās secībās, un ir iespējams arī izstrādāt a katra no tām (tas ir, viena aritmētiskajai progresijai un viena ģeometriskajai progresijai), lai aprēķinātu summu NoNē pirmie šīs progresijas nosacījumi.

Lasiet arī: Funkcijas - kas tās ir un kam tās paredzētas?

Pupiņu daudzums vienā ražā darbojas kā ģeometriska progresija

skaitļu secība

Lai saprastu, kas ir progresijas, mums vispirms ir jāsaprot, kas tie ir

numuru secības. Kā norāda nosaukums, mēs zinām skaitļu secību a numuru kopa, kas respektē kārtību, ir vai nav precīzi definēta. Atšķirībā no komplekti cipari, kur kārtībai nav nozīmes, skaitliskā secībā ir svarīga kārtība, piemēram:

Secība (1, 2, 3, 4, 5) atšķiras no (5, 4, 3, 2, 1), kas atšķiras no secības (1, 5, 4, 3, 2). Pat ja elementi ir vienādi, jo secība ir atšķirīga, tāpēc mums ir dažādas secības.

Piemēri:

Mēs varam rakstīt sekvences, kuru veidojumi ir viegli saskatāmi:

a) (0, 2, 4, 6, 8, 10, 12) → pāra skaitļu secība, mazāka vai vienāda ar 12.

b) (17, 15, 13, 11, 9, 7, 5) → nepāra skaitļu regresīva secība no 17 līdz 5.

c) (1, 1, 2, 3, 5, 8, 13…) → pazīstams kā Fibonači secība.

d) (1, -1, 2, -2, 3, -3, 4, -4 ...) → kaut arī šo secību nav iespējams aprakstīt tāpat kā citus, ir viegli paredzēt, kādi būs tās nākamie termini.

Citos gadījumos secību vērtībās var būt kopējā nejaušībaJebkurā gadījumā, lai būtu secība, ir svarīgi, lai būtu sakārtotu vērtību kopa.

līdz 1; 0,1; 0,02; 0,07; 0,0001; 7)

b) (2, 3, -3, 2, 6, 4, 8, -2 ...)

Cik nav iespējams paredzēt, kas ir nākamie vārdi b burtā, mēs joprojām strādājam ar turpinājumu.

Kopumā virknes vienmēr tiek attēlotas iekavās (), šādā veidā:

(The₁, a₂, The₃, a₄, The₅, a₆, a₇, a₈ …) → bezgalīga secība

(The₁, a₂, The₃, a₄, The₅, a₆, a₇, a₈ … A_Nē) → ierobežota secība

Abos gadījumos mums ir šāda pārstāvība:

The₁ → pirmais termiņš

The₂ → otrais termiņš

The₃ → trešais termiņš

.

.

.

The_Nē → n-tais sasaukums

Novērošana: Ir ļoti svarīgi, ka, attēlojot secību, dati tiek iekļauti iekavās. Secības apzīmējumi bieži tiek sajaukti ar iestatīto apzīmējumu. Komplekts tiek attēlots iekavās, un komplektā secība nav svarīga, kas šajā gadījumā padara visu atšķirīgu.

(1, 2, 3, 4, 5) → secība

{1, 2, 3, 4, 5} → iestatīt

Ir īpaši secības gadījumi, kurus sauc par progresijām.

Skatīt arī: Kāds ir skaitīšanas pamatprincips?

Kas ir progresijas?

Secība tiek definēta kā progresija, ja tai ir a regularitāte no viena termina uz otru, kas pazīstams kā iemesls. Ir divi progresēšanas gadījumi, aritmētiskā un ģeometriskā progresija. Lai zinātu, kā atšķirt katru no tiem, mums ir jāsaprot, kāds ir progresēšanas cēlonis un kā šis iemesls mijiedarbojas ar secības noteikumiem.

Kad secībā no viena termina līdz otram man ir: nemainīga summa, šī secība ir definēta kā progresēšana, un šajā gadījumā tā ir a aritmētiskā progresija. Šī vērtība, kuru mēs pastāvīgi pievienojam, ir pazīstama kā attiecība. Otrs gadījums, tas ir, kad secība ir a ģeometriskā progresija, no viena termina uz otru ir a reizinot ar nemainīgu vērtību. Analogiski šī vērtība ir ģeometriskās progresijas attiecība.

Piemēri:

a) (1, 4, 7, 10, 13, 16…) → ievērojiet, ka mēs vienmēr pievienojam 3 no viena termina uz otru, tāpēc mums ir aritmētiskā attiecība, kas vienāda ar 3.

b) (1, 10, 100, 1000, 10000…) → šajā gadījumā mēs vienmēr reizinām ar 10 no viena termina uz otru, runājot par koeficienta 10 ģeometrisko progresēšanu.

c) (0, 2, 8, 26…) → pēdējā gadījumā ir tikai viena secība. Lai atrastu nākamo terminu, mēs reizinām terminu ar 3 un pievienojam 2. Šis gadījums, kaut arī nākamo terminu atrašanai ir likumsakarība, tā ir tikai secība, nevis aritmētiska vai ģeometriska progresija.

aritmētiskā progresija

Kad mēs strādājam ar skaitļu secībām, tās secības, kurās mēs varam paredzēt viņu nākamos noteikumus, ir diezgan atkārtotas. Lai šo secību varētu klasificēt kā a aritmētiskā progresija, jābūt a iemesls a. Kopš pirmā termiņa nākamais ir ko veido iepriekšējā termina summa ar iemeslu r.

Piemēri:

a) (4, 7, 10, 13, 16, 19, 22, 25 ...)

Šī ir secība, kuru var klasificēt kā aritmētisko progresēšanu, jo iemesls r = 3 un pirmais termiņš ir 4.

b) (7, 2, -3, -8, -13, -18, -23…)

Šī secība ir aritmētiska progresija ar labu iemeslu. r = -5, un tā pirmais termiņš ir 7.

• PA noteikumi

Daudzos gadījumos mūsu interese ir atrast konkrētu progresijas terminu, nerakstot visu secību. Zinot pirmā termina vērtību un attiecību, aritmētiskajā progresijā ir iespējams atrast jebkura termina vērtību. Lai atrastu arimetiskās progresijas noteikumus, mēs izmantojam formulu:

The_Nē =₁+ (n - 1) r

Piemērs:

Atrodiet P.A 25. termiņu, kura attiecība ir 3, un pirmais termiņš ir 12.

Dati r = 3,₁ = 12. Mēs vēlamies atrast 25. termiņu, tas ir, n = 25.

The_Nē =₁+ (n - 1) r

The₂₅ = 12 + (25 - 1) · 3

The₂₅ = 12 + 24 · 3

The₂₅ = 12 + 72

The₂₅ = 84

• P.A. vispārējais termiņš

Vispārīgā termina formula ir a veids, kā vienkāršot AP termina formulu lai ātrāk atrastu jebkuru progresēšanas terminu. Kad ir zināms pirmais termins un iemesls, pietiek ar formulas aizstāšanu ar terminu P.A., lai atrastu vispārējo aritmētiskās progresijas terminu, kas atkarīgs tikai no Nē.

Piemērs:

Atrodiet vispārīgo P.A. terminu r = 3 un₁ = 2.

The_Nē = 2 + (n -1) r

The_Nē = 2 + (n -1) 3

The_Nē = 2 + 3n - 3

The_Nē = 2n - 1

Tas ir vispārējs P.A. termins, kas kalpo, lai atrastu jebkuru terminu šajā progresijā.

• PA termiņu summa

PA termiņu summa tas būtu diezgan darbietilpīgs, ja būtu nepieciešams atrast katru tā terminu un tos saskaitīt. Visu summas aprēķināšanai ir formula Nē pirmie aritmētiskās progresijas nosacījumi:

Piemērs:

Atrodiet visu nepāra skaitļu summu no 1 līdz 100.

Mēs zinām, ka nepāra skaitļi ir koeficienta 2 aritmētiskā progresija: (1, 3, 5, 7… 99). Šajā progresijā ir 50 termini, jo no 1 līdz 100 puse skaitļu ir pāra un otra puse ir nepāra.

Tāpēc mums ir:

n = 50

The₁ = 1

The_Nē = 99

Piekļūstiet arī: 1. pakāpes funkcija - aritmētiskās progresijas praktiska izmantošana

Ģeometriskā progresija

Stīgu var klasificēt arī kā prprogresija ģeometriski (PG). Lai secība būtu ģeometriska progresija, tai ir jābūt iemeslam, taču šajā gadījumā, lai atrastu nākamo terminu no pirmā termina, mēs veicam koeficienta reizināšana ar iepriekšējo terminu.

Piemēri:

a) (3, 6, 12, 24, 48…) → koeficienta 2 ģeometriskā progresija, un tā pirmais termiņš ir 3.

b) (20, 200, 2000, 20 000…) → koeficienta 10 ģeometriskā progresija, un tā pirmais termiņš ir 20.

• PG termiņš

Ģeometriskā progresijā mēs pārstāvam burta iemeslu kas. Ģeometriskās progresijas termiņu var atrast pēc formulas:

The_Nē =₁ · kas^{n - 1}

Piemērs:

Atrodiet PG 10. termiņu, to zinot kas = 2 un₁ = 5.

The_Nē =₁ · kas^{n - 1}

The₁₀ = 5 · 2^{10 - 1}

The₁₀ = 5 · 2⁹

The₁₀ = 5 · 512

The₁₀ = 2560

• PG vispārīgais termins

Kad mēs zinām pirmo terminu un iemeslu, ir iespējams ģenerēt vispārējā termina formulu no ģeometriskas progresijas, kas ir atkarīga tikai no Nē. Lai to izdarītu, mums vienkārši jāaizstāj pirmais termins un attiecība, un mēs atradīsim vienādojumu, kas atkarīgs tikai no Nē.

Izmantojot iepriekšējo piemēru, kur attiecība ir 2 un pirmais termiņš ir 5, šī GP vispārējais termins ir:

The_Nē =₁ · kas^{n - 1}

The_Nē = 5 · 2^{n - 1}

• PG terminu summa

Visu progresēšanas noteikumu pievienošana būtu daudz darba. Daudzos gadījumos visas secības rakstīšana šīs summas iegūšanai ir laikietilpīga. Lai atvieglotu šo aprēķinu, ģeometriskajai progresijai ir formula, kas kalpo, lai aprēķinātu summa Nē pirmie elementi no ierobežota PG:

Piemērs:

Atrodiet ģimenes ārstu pirmo desmit terminu (1, 2, 4, 8, 16, 32…) summu.

Ņemiet vērā, ka šī PG attiecība ir vienāda ar 2.

The₁ = 1

kas = 2

Nē = 10

Lasiet arī: Eksponenciālā funkcija - praktiska ģeometriskās progresijas izmantošana

atrisināti vingrinājumi

Jautājums 1 - Dažas dienas zinātnieki novēro noteiktu baktēriju kultūru. Viens no viņiem analizē šīs populācijas pieaugumu, un viņš pamanīja, ka pirmajā dienā bija 100 baktērijas; otrajā - 300 baktērijas; trešajā - 900 baktērijas utt. Analizējot šo secību, mēs varam teikt, ka tā ir:

A) 200 aritmētiskā progresija.

B) proporcijas 200 ģeometriskā progresija.

C) 3. iemesla arimetiska progresēšana.

D) proporcijas 3 ģeometriskā progresija.

E) secība, bet ne progresēšana.

Izšķirtspēja

D alternatīva

Analizējot secību, mums ir šādi termini:

Ņemiet vērā, ka 900/300 = 3, kā arī 300/100 = 3. Tāpēc mēs strādājam ar PG koeficientu 3, jo mēs no pirmā termiņa reizinām ar trim.

2. jautājums - (Enem - PPL) Skriešanas iesācējam tika noteikts šāds ikdienas treniņu plāns: pirmajā dienā noskriet 300 metrus un no otrās palielināt 200 metrus dienā. Lai uzskaitītu savu sniegumu, viņš izmantos čipu, kas piestiprināts pie viņa čības, lai izmērītu treniņā veikto distanci. Apsveriet, ka šī mikroshēma atmiņā saglabā ne vairāk kā 9,5 km skrējienu / soļošanu, un tā jānovieto treniņa sākumā un jāizmet, kad ir iztērēta vieta datu rezervei. Ja šis sportists izmanto mikroshēmu no pirmās treniņa dienas, cik dienas pēc kārtas šī mikroshēma spēs saglabāt šī ikdienas treniņu plāna nobraukumu?

A) 7

B) 8

C) 9

D) 12

E) 13

Izšķirtspēja

B alternatīva

Analizējot situāciju, mēs zinām, ka mums ir PA ar iemeslu 200 un sākotnējā izbeigšana ir vienāda ar 300.

Turklāt mēs zinām, ka summa S_Nē = 9,5 km = 9500 metri.

Ar šiem datiem atradīsim terminu a_Nē, kas ir kilometru skaits, kas reģistrēts pēdējā uzglabāšanas dienā.

Ir arī vērts atcerēties, ka jebkurš termins a_Nē var rakstīt kā:

The_Nē =₁ + (n - 1)r

Ņemot vērā vienādojumu 200n² + 400n - 19000 = 0, visus nosacījumus varam sadalīt ar 200, vienkāršojot vienādojumu un atrodot: n² + 2n - 95 = 0.

Delta un Bhaskara mums ir:

a = 1

b = 2

c = -95

Δ = b² - 4ac

Δ = 2² – 4 · 1 · (-95)

Δ = 4 – 4 · (-95)

Δ = 4 + 380

Δ = 384

Mēs zinām, ka 8,75 atbilst 8 dienām un dažām stundām. Šajā gadījumā dienu skaits, kurās mērījumu var veikt, ir 8 dienas.

Autors Rauls Rodrigess de Oliveira
Matemātikas skolotājs

Avots: Brazīlijas skola - https://brasilescola.uol.com.br/matematica/progressoes.htm