Vingrinājumi uz PA un PG

Soli pa solim mācieties aritmētisko un ģeometrisko progresiju ar atrisinātiem un komentētiem uzdevumiem.

1. vingrinājums

AP a2 = 5 un a7 = 15. Atrodiet a4 un pievienojiet pirmos piecus šī AP terminus.

skatīt atbildi

Pareizā atbilde: a4 = 9 un S = 35.

Izšķirtspēja

1. solis: nosakiet iemeslu un a4.
Lai atstātu a2 un nonāktu pie a7, mēs pievienojam 5r, jo tas ir "attālums" starp 7 un 2.

a ar 7 apakšindeksiem ir vienāds ar a ar 2 apakšindeksiem plus 5 r 15 atstarpe ir vienāda ar atstarpi 5 atstarpe plus atstarpe 5 r 15 atstarpe mīnus atstarpe 5 atstarpe ir vienāda ar 5 r 10 atstarpe ir vienāda ar atstarpi 5 r 10 virs 5 ir vienāda ar r 2 vienāds r

Termins a4 ir jēdziens a2 plus 2r, jo, lai nokļūtu no a2 uz a4, mēs "virzām uz priekšu" 2r. Drīzumā

a ar 4 apakšindeksiem ir vienāds ar a ar 2 apakšindeksiem plus 2 r a ar 4 apakšindeksiem ir vienāds ar 5 atstarpi plus atstarpe 2,2 a ar 4 apakšindeksiem ir vienāds ar 5 atstarpi plus atstarpe 4 atstarpe ir vienāda ar atstarpi 9

Tāpēc AP ceturtais termiņš ir 9.

2. solis: nosakiet šīs AP pirmo piecu terminu summu.

AP nosacījumu summu nosaka:

S ir vienāds ar skaitītāja kreiso iekava a ar 1 apakšindeksu un a ar n apakšindeksa labās iekavas. n virs saucēja 2 daļdaļas beigas

a1 = a2 - r (jo mēs atgriežamies vienu pozīciju atpakaļ PA, sākot no a2)
a1 = 5 - 2 = 3

a5 = a7 - 2r (jo mēs atgriežamies divas pozīcijas atpakaļ PA, sākot no a7).
a5 = 15 - 2,2 = 15 - 4 = 11

S ir vienāds ar skaitītāja kreiso iekava 3 atstarpi plus atstarpe 11 labās iekavas.5 virs saucēja 2 daļskaitļa beigas ir vienāda ar skaitītāja 14 atstarpi. atstarpe 5 virs saucēja 2 frakcijas beigas ir vienāda ar 70 virs 2 ir vienāda ar 35

2. vingrinājums

(Aeronautika 2021) Profesors uzrakstīja 8 termiņu pieaugošu aritmētisko progresiju, kas sākas ar skaitli 3 un sastāv tikai no naturāliem skaitļiem. Pēc tam viņš pamanīja, ka šīs aritmētiskās progresijas otrais, ceturtais un astotais termins veido ģeometrisku progresiju šādā secībā. Profesors arī novēroja, ka šīs ģeometriskās progresijas vārdu summa bija vienāda ar

instagram story viewer

a) 42
b) 36
c) 18
d) 9

skatīt atbildi

Atbilde: a) 42

Saskaņā ar AP termini, kas veido PG, ir a2, a4 un a8:

a ar 2 apakšindeksu ir vienāds ar a ar 1 apakšindeksu plus kreisā iekava n mīnus 1 labā iekava r a ar 2 apakšindekss ir vienāds ar 3 plus kreisā iekava 2 mīnus 1 labā iekava r a ar 2 apakšindeksu ir vienāds ar 3 plus r telpa

a ar 4 apakšindeksu ir vienāds ar a ar 1 apakšindeksu plus kreisās iekavas 4 mīnus 1 labās iekavas r a ar 4 apakšindeksiem ir vienāds ar 3 atstarpi plus atstarpe 3 r

a ar 8 apakšindeksu ir vienāds ar 3 plus kreisā iekava 8 mīnus 1 labā iekava r a ar 8 apakšindeksu ir vienāds ar 3 plus 7 r

Trīs terminu summa ir:

S ir vienāds ar a ar 2 apakšindeksiem plus a ar 4 apakšindeksiem plus a ar 8 apakšindeksiem S ir vienāds ar kreiso iekava 3 plus r labās iekavas atstarpe plus atstarpe kreisā iekava 3 plus 3 r iekava labā atstarpe plus atstarpe kreisā iekava 3 plus 7 r labā iekava S ir vienāda ar 9 atstarpi plus atstarpe 11 r atstarpe atstarpe kreisā iekava un Qu a cijas atstarpe I iekava taisnība

Lai noteiktu r, mēs izmantojam vidējo ģeometrisko:

a ar 4 apakšindeksu ir vienāds ar kvadrātsakni no a ar 2 apakšindeksu. a ar 8 apakšindeksa 3. saknes beigas plus 3 r ir vienāds ar kvadrātsakni no kreisās iekavas 3 plus r labās iekavas. kreisā iekava 3 plus 7 r labās iekavas saknes gals

Kvadrātveida abas puses

kreisā iekava 3 plus 3 r labā iekava kvadrātā ir vienāda ar kreiso iekava 3 plus r labā iekava. kreisā iekava 3 plus 7 r labā iekava

Pirmā termiņa sadalīšana kvadrātā un otrā termiņa sadalīšana:

kreisā iekava 3 plus 3 r labā iekava kvadrātā ir vienāda ar kreiso iekava 3 plus r labā iekava. kreisā iekava 3 plus 7 r labā iekava 9 atstarpe plus atstarpe 18 r atstarpe plus atstarpe 9 r kvadrātā ir vienāda ar 9 atstarpe plus atstarpe 21 r atstarpe plus atstarpe 3 r atstarpe plus atstarpe 7 r kvadrātā 9 r kvadrātā mīnus 7 r kvadrātā ir vienāds ar 24 r atstarpe mīnus atstarpe 18 r atstarpe plus atstarpe 9 atstarpe mīnus atstarpe 9 2 r kvadrātā ir vienāda ar 6 r r kvadrātā ir 3 r a. r telpa ir vienāda ar atstarpi 3 r r telpa ir vienāda ar skaitītāju 3 r virs saucēja r daļas beigas ir vienādas ar 3

Aizvietojot r vienādojumā I, mēs iegūstam:

S telpa ir vienāda ar atstarpi 9 atstarpe plus atstarpe 11 r S atstarpe ir vienāda ar atstarpi 9 atstarpe plus atstarpe 11,3 S atstarpe ir vienāda ar atstarpi 9 atstarpe plus atstarpe 33 S telpa ir vienāda ar atstarpi 42

Tāpēc pirmo trīs terminu summa ir vienāda ar 42.

3. vingrinājums

(PM-SP 2019) 2015. gadā liela naftas kompānija uzsāka ūdens atkārtotas izmantošanas procesu, lai atdzesētu detaļas, kuras saražoja un prognozēja pakāpenisku atkārtoti izmantojamā ūdens apjoma pieaugumu aritmētiskajā progresijā līdz 2050. gadam. gadā.

Tabulā parādīti atkārtoti izmantotā ūdens apjomi pirmajos 3 gados:

Tabula, kas saistīta ar jautājuma atrisinājumu.

Ļaujiet An ir aritmētiskās progresijas vispārīgais termins, kas norāda atkārtoti izmantotā ūdens daudzumu miljonos m³, ja n = 1, kas atspoguļo atkārtoti izmantotā ūdens daudzumu 2016. gadā, n = 2, kas atspoguļo atkārtoti izmantotā ūdens daudzumu 2017. gadā utt. secīgi.

Šādos apstākļos ir nepieciešams

a) An = 0,5n – 23,5.
b) An = 23,5 + 0,5 n.
c) An = 0,5n + 23.
d) An = 23 – 0,5n.
e) An = 0,5n - 23.

skatīt atbildi

Pareizā atbilde: c) An = 0,5n + 23.

objektīvs
Nosakiet An kā funkciju no n.

Izšķirtspēja
Aritmētiskās progresijas attiecība ir 0,5, jo 24 - 23,5 = 0,5.

a1 = 23,5

AP vispārīgo terminu nosaka:

A ar n apakšindeksu ir vienāds ar atstarpi a ar 1 apakšrakstu plus atstarpe kreisā iekava n mīnus 1 labā iekava r

Vērtību aizstāšana:

A ar n apakšindeksu ir vienāds ar 23 komatiem 5 atstarpe plus atstarpe 0 komats 5 n atstarpe mīnus atstarpe 0 komats 5 A ar n apakšindeksu ir vienāds ar 0 komatu 5 n plus 23 atstarpe

4. vingrinājums

(CEDERJ 2021) Secība (2x+3, 3x+4, 4x+5, ...) ir koeficienta 6 aritmētiskā progresija. Šīs progresēšanas ceturtais termiņš ir

a) 31.
b) 33.
c) 35.
d) 37.

skatīt atbildi

Pareizā atbilde: a) 31

Izšķirtspēja
r atstarpe ir vienāda ar atstarpi a ar 2 apakšindeksu mīnus a ar 1 apakšindeksu 6 atstarpe ir vienāda ar atstarpi 3 x plus 4 atstarpe mīnus iekavas pa kreisi 2x plus 3 iekavas pa labi 6 ir vienāds ar 3x plus 4 mīnus 2x mīnus 3 6 ir vienāds ar x plus 1x ir vienāds ar 6 mīnus 1x vienāds 5

Ceturtais termins ir a3 + r, piemēram:

a ar 4 apakšindeksiem ir vienāds ar a ar 3 apakšindeksiem plus r a ar 4 apakšindeksiem ir vienāds ar 4 x atstarpe plus atstarpe 5 atstarpe plus atstarpe r

Atrasto vērtību aizstāšana:

a ar 4 apakšindeksiem ir vienāds ar 4,5 atstarpi plus atstarpe 5 atstarpe plus atstarpe 6 a ar 4 apakšindeksiem ir vienāda ar 20 plus atstarpe 5 atstarpe plus atstarpe 6 a ar 4 apakšindeksiem ir vienāda ar 31

5. vingrinājums

(Enem 2021) Brazīlijā laiks, kas nepieciešams, lai students pabeigtu apmācību līdz augstākā kursa beigšanai, ņemot vērā 9 pamatskolas, 3 vidusskolas un 4 absolvēšanas gadus (vidējais laiks), tas ir 16 gadus vecs. Tomēr brazīliešu realitāte liecina, ka vidējais mācību laiks cilvēkiem, kas vecāki par 14 gadiem, joprojām ir ļoti mazs, kā redzams tabulā.
Tabula, kas saistīta ar jautājuma atrisinājumu.

Apsveriet, ka studiju laika pieaugums katrā periodā šiem cilvēkiem paliek nemainīgs līdz gadam 2050, un ka ir paredzēts sasniegt 70% no laika, kas nepieciešams, lai iegūtu augstāko kursu. iepriekš.
Gads, kurā vidējais mācību laiks personām, kas vecākas par 14 gadiem, sasniegs vēlamo procentu, būs

a) 2018. gads.
b) 2023. gads.
c) 2031. gads.
d) 2035. gads.
e) 2043.

skatīt atbildi

Pareizā atbilde: d) 2035.

1. daļa: noteikt 70% no 16.

70 procentu zīmju atstarpe 16 atstarpe ir vienāda ar atstarpi 70 virs 100 reizināšanas zīme 16 ir vienāda ar 1120 virs 100 ir vienāda ar 11 punktu 2

2.daļa: noteikt, pēc cik periodiem tiks sasniegti 11,2 studiju gadi.

Pētījuma laika secība ir aritmētiskā progresija (AP) ar attiecību 0,6.

r = a2 - a1 = 5,8 - 5,2 = 0,6

a1 = 5,2

Summa 11,2 gadi tiks sasniegta:

A ar n apakšindeksu ir vienāds ar a ar 1 apakšindeksu plus atstarpe kreisā iekava n mīnus 1 labā iekava r 11 komats 2 ir vienāds ar 5 komatu 2 plus kreisā iekava n mīnus 1 labā iekava 0 komats 6 11 komats 2 ir vienāds ar 5 komatu 2 plus 0 komats 6 n mīnus 0 komats 6 11 komats 2 mīnus 5 komats 2 plus 0 komats 6 ir vienāds ar 0 komats 6 n 6 plus 0 komats 6 ir vienāds ar 0 komats 6 n 6 komats 6 ir vienāds ar 0 komats 6 n skaitītājs 6 komats 6 virs saucēja 0 komats 6 daļdaļas beigas ir vienāds ar n 11 vienāds ar n

Summa 11,2 tiks sasniegta PA 11.sastāvā.

3. daļa: noteikt, kurš ir PA gadu 11. sasaukums.

Attiecība ir a2 - a1 = 1999 - 1995 = 4 gadi

A ar 11 apakšindeksu ir vienāds ar a ar 1 indeksu plus kreiso iekava n mīnus 1 labā iekava r A ar 11 apakšindeksu ir vienāds ar 1995 plus kreiso iekava 11 mīnus 1 labā iekava 4 A ar 11 apakšindeksiem ir vienāds ar 1995 plus 10,4 A ar 11 apakšrakstiem ir vienāds ar 1995 atstarpi plus atstarpe 40 A ar 11 apakšindeksiem 2035

Secinājums
70% no 16 gadiem, kas nepieciešami bakalaura grāda iegūšanai, tiks sasniegti 2035. gadā.

6. vingrinājums

(Fire Department 2021) Lidmašīnai un ugunsdzēsēju mašīnai ir ūdens rezervuāri ar attiecīgi 12 000 un 8 000 litru ūdens tilpumu. Kravas automašīnai ir 2,5 GPM sūknis, kas nozīmē, ka tas spēj sūknēt 2,5 galonus minūtē.

No šīs hipotētiskās situācijas spriest par šādu vienumu, ņemot vērā, ka 1 galons ir vienāds ar 3,8 litriem ūdens.

Ja ūdens tvertnes tilpums ir X tūkstoši litru, tā ka 8, X un 12 atrodas ģeometriskā progresijā, tādā secībā, tad šīs tvertnes tilpums ir mazāks par 10 tūkstošiem litru.

Taisnība

Nepareizi

skatīt atbildi

Pareizā atbilde: pareizi

objektīvs
Pārbaudiet, vai X < 10.

Izšķirtspēja
Ģeometriskā progresijā, PG, vidējais termins ir ģeometriskais vidējais starp galējībām.

X mazāks par kvadrātsakni no 8,12 saknes gals X telpa mazāka par kvadrātsakni no 96

Faktiski aptuvenā kvadrātsakne no 96 ir 9,79. Secinām, ka tvertnes X tilpums ir mazāks par 10 tūkstošiem litru.

7. vingrinājums

(Aeronautika 2021) Esiet P.G. (24, 36, 54, ...). Pievienojot šī G.P. 5. un 6. terminu. ir bijis

a) 81/2
b) 405/2
c) 1215/4
d) 1435/4

skatīt atbildi

Pareizā atbilde: c) 1215/4

objektīvs
Pievienojiet a5 + a6

Izšķirtspēja

1. darbība: nosakiet attiecību q.

PG iemesls ir:

q ir vienāds ar 2 apakšindeksu pār a ar 1 apakšindeksu ir vienāds ar 36 virs 24 ir vienāds ar 3 virs 2

2. darbība: nosakiet a5

a4 = a3. q
a5 = a4. q

A4 aizstāšana ar a5:

a ar 5 apakšindeksu atstarpi ir vienāda ar atstarpi a ar 3 apakšindeksa atstarpi. telpa q telpa. atstarpe q atstarpe ir vienāda ar atstarpi a ar 3 apakšindeksa atstarpi. atstarpe q kvadrātā

3. darbība: nosakiet a6

a6 = a5. q

A5 aizstāšana ar a6:

a ar 6 apakšindeksiem ir vienāds ar a ar 5 apakšindeksu atstarpi. atstarpe q atstarpe ir vienāda ar atstarpi a ar 3 apakšindeksa atstarpi. telpa q atstarpe kvadrātā. atstarpe q atstarpe ir vienāda ar atstarpi a ar 3 apakšindeksa atstarpi. atstarpe q kubā

4. darbība: pievienojiet a5 + a6, aizstājot skaitliskās vērtības.

a ar 5 indeksiem plus a ar 6 indeksiem ir vienāds ar a ar 3 indeksiem. q atstarpe kvadrātā plus atstarpe a ar 3 apakšindeksiem. q kubā a ar 5 apakšindeksiem plus a ar 6 apakšindeksiem ir vienāds ar 54 atstarpi. atstarpe atver iekavas 3 virs 2 aizver iekavas kvadrātā plus atstarpe 54 atstarpe. atstarpe atver iekavas 3 virs 2 aizver iekavas kubā a ar 5 apakšindeksiem plus a ar 6 apakšindeksiem ir vienāds ar 54 atstarpi. telpa 9 virs 4 vietas plus vieta 54 vieta. telpa 27 virs 8

Liekot 54 pierādījumus:

a ar 5 apakšindeksiem plus a ar 6 apakšindeksiem ir vienāds ar 54 atstarpe atver iekavas 9 virs 4 atstarpes plus atstarpe 27 virs 8 aizver iekavas a ar 5 indeksiem plus a ar 6 apakšindeksiem ir vienāds ar 54 atver iekavas skaitītāju 9 telpa. atstarpe 8 virs saucēja 4 atstarpe. atstarpe 8 daļskaitļa beigas plus atstarpes skaitītājs 27 atstarpe. atstarpe 4 pāri saucēja 4 atstarpe. atstarpe 8 daļskaitļa beigas aizver iekavas a ar 5 indeksiem plus a ar 6 apakšindeksiem ir vienāds ar 54 atver iekavas 72 virs 32 plus 108 virs 32 aizver iekavas a ar 5 indeksiem plus a ar 6 indeksiem ir vienāds ar 54 atver iekavas 180 virs 32 aizver iekavas a ar 5 indeksiem plus a ar 6 indeksiem ir vienāds ar 54 telpa. atstarpe 180 virs 32 ir vienāda ar 9720 virs 32 ir vienāda ar 1215 virs 4

8. vingrinājums

(UERJ 2019) Trijstūriem A1B1C1, A2B2C2, A3B3C3, kas parādīti tālāk, ir attiecīgi perimetrs p1, p2, p3. Šo trīsstūru virsotnes, sākot no otrās, ir iepriekšējā trijstūra malu viduspunkti.

Attēls, kas saistīts ar problēmas risinājumu.

atzīsti to kaudze A ar 1 apakšindeksu B ar 1 apakšindeksu ar slīpsvītru virs kaudzes B ar 1 apakšindeksu C ar 1 apakšindeksu ar slīpsvītru augšpusē ir vienāds ar 7 atstarpi un atstarpes steku A ar 1 apakšrakstu C ar 1 apakšrakstu ar slīpsvītru augšā ir vienāds 4 .

Tādējādi (p1, p2, p3) definē šādu progresiju:

a) attiecība aritmētiskā = – 8
b) attiecība aritmētiskā = – 6
c) ģeometriskā attiecība = 1/2
d) ģeometriskā attiecība = 1/4

skatīt atbildi

Pareizā atbilde: c) ģeometriskā attiecība = 1/2

Izšķirtspēja

1. solis: definējiet perimetrus p1, p2 un p3.

p ar 1 apakšrakstu ir vienāds ar atstarpi A ar 1 apakšrakstu B ar 1 apakšrakstu ar slīpsvītru augšpusē plus atstarpes steka B ar 1 apakšrakstu C ar 1 apakšrakstu ar slīpsvītru augšpusē plus kaudze A ar 1 apakšindeksu C ar 1 apakšindeksu ar slīpsvītru virs p ar 1 apakšindeksu ir vienāds ar 7 atstarpi plus atstarpe 7 atstarpe plus atstarpe 4 p ar 1 apakšindeksu ir vienāda ar 18

Ar paralēlismu mēs pārbaudām, vai iekšējā trīsstūra malas ir puse no tieši ārējā trijstūra malas.

Piemēram, B2A2 = A1C2

Tādējādi p2 ir puse no p1, tāpat kā p3 ir puse no p2. Mums ir:

p ar 2 apakšindeksu ir vienāds ar p ar 1 apakšindeksu, kas dalīts ar 2, ir vienāds ar 9 un p ar 3 apakšindeksu ir vienāds ar p ar 2 apakšindeksu dalīts ar 2, ir vienāds ar 9 atstarpi, dalītu ar 2, ir vienāds ar 4 komatu 5

2. solis: salieciet progresiju un klasificējiet to.

p ar 1 apakšindeksu komata atstarpe p ar 2 apakšindeksu komata atstarpe p ar 3 apakšindeksa atstarpi ir vienāda ar atstarpi 18 komata atstarpe 9 komata atstarpe 4 komats 5

Izrādās, ka, lai noteiktu p2, 18 reizina ar 1/2.

18 atstarpes reizināšanas zīmes atstarpe 1 puse ir vienāda ar 9

Arī 9 reizināts ar 1/2 ir 4,5.

9 atstarpes reizināšanas zīmes atstarpe 1 puse ir vienāda ar 9 virs 2 ir vienāda ar 4 komatu 5

Secinājums
Mēs pārbaudām, vai progresija ir ģeometriska ar attiecību 1/2.

9. vingrinājums

(Enem 2021) Grafikā ir norādīta nozares reģistrētā produkcija janvārī, martā un aprīlī.

Loģistikas problēmu dēļ produkcijas apsekojums par februāri netika veikts. Tomēr informācija par pārējiem trim mēnešiem liecina, ka ražošana šajā četru mēnešu periodā pieauga eksponenciāli, kā liecina diagrammā redzamā tendences līkne.

Pieņemot, ka izaugsme šajā periodā bija eksponenciāla, var secināt, ka šīs nozares saražotā produkcija februāra mēnesī tūkstošos vienību bija

a) 0.
b) 120.
c) 240.
d) 300.
e) 400.

skatīt atbildi

Pareizā atbilde: c) 240.

Izšķirtspēja

PG vispārīgais termins ir eksponenciāls a kā funkcija no n, kur a1 un q ir nemainīgi skaitļi.