Iedomājieties, ka spēlējat ar bumbiņām, veidojot trīsstūrus. Vispirms varat uzskatīt, ka bumba ir kā mazs trīsstūris:
•
Pēc tam novietojiet divus bumbiņas zem tām un izveidojiet trīs a virsotnes trīsstūris:
•
• •
Ja zem tām novietosiet vēl trīs bumbiņas, tas veidos vēl vienu trīsstūri:
•
• •
• • •
Katrā bumbiņu pievienošanas posmā attiecībā pret iepriekš ievietoto daudzumu vienmēr veidosies trīsstūri. Skatiet trīsstūri, kas izveidots, pievienojot vēl četras bumbiņas:
•
• •
• • •
• • • •
Kopējais bumbiņu skaits katrā solī raksturo skaitļu klasi, ko sauc par trīsstūrveida skaitļi. Matemātiķis Karls Frīdrihs Gauss atklāja formulu, lai norādītu kopējo summu katrā trijstūrī, kur s1atbilda pirmajam trīsstūrim, s2, uz otro trīsstūri un tā tālāk. Gausa aprakstītās summas sākās ar a un, katrā posmā tika pievienots skaitlis, kas atbilda vienu vienību virs pēdējā pievienotā skaitļa:
s1 = 1
s2= 1 + 2 = 3
s3 = 1 + 2 + 3 = 6
s4= 1 + 2 + 3 + 4 = 10
s5 = 1 + 2 + 3 + 4 + 5 = 15
Šo summu rezultāti bija trīsstūrveida skaitļi: 1, 3, 6, 10, 15... Ņemiet vērā, ka katrā no šīm summām ir noteikts modelis. Uzmanīgi aplūkojot, mēs varam redzēt, ka katrs no tiem ir a
aritmētiskā progresija iemesla dēļ 1. Tātad šeit ir gauss summa, kas nosaka, ka nemainīgas attiecības summā, ja pirmo elementu pievienosim pēdējam, mēs iegūsim tādu pašu rezultātu, kā otro elementu pievienojot priekšpēdējam. Apskatīsim, kā notiek Gausa summas process summām. s6 un s7:
Gausa summas process, ko piemēro trīsstūrveida skaitļu summai
Nepārtrauciet tagad... Pēc reklāmas ir vēl kas ;)
ja apstāties s6 un s7 mums ir summas no iepriekš redzamā attēla, reproducēsim šo summu s8, S9, S10 un s11:
s8 = 1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6 + 7 + 8 = 4.9 = 36
s9= 1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6 + 7 + 8 + 9 = 4.10 + 5 = 45
s10= 1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6 + 7 + 8 + 9 + 10 = 5.11 = 55
s11= 1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6 + 7 + 8 + 9 + 10 + 11= 5.12 + 6 = 66
Mēs varam vispārināt, lai iegūtu summu sNē:
sNē = n. (n+1), ja n ir pāra
2
sNē = (n - 1).(n+1) + (n - 1) + 1, ja n ir nepāra
2 2
tāpat kā iekšā skaitļu maģija, mēs varam parādīt vēl vienu interesantu faktu par trīsstūrveida skaitļiem: nākamo trīsstūra skaitļu summu vienmēr rada skaitļus, kurus var klasificēt kā perfektus kvadrātus, tas ir, skaitļus, kuriem ir sakne kvadrāts. Paskatīsimies:
s1 + S2 = 1 + 3 = 4
s2 + S3 = 3 + 6 = 9
s3 + S4 = 6 + 10 = 16
s4 + S5 = 10 + 15 = 25
s5 + S6 = 15 + 21 = 36
s6 + S7 = 21 + 28 = 49
s7 + S8 = 28 + 36 = 64
s8 + S9 = 36 + 45 = 81
s9 + S10 = 45 + 55 = 100
s10 + S11 = 55 + 66 = 121
Iegūtie rezultāti 4, 9, 16, 25, 36, 49, 64, 81, 100 un 121 ir ideāli kvadrāti.
Autore Amanda Gonsalves
Beidzis matemātiku
Vai vēlaties atsaukties uz šo tekstu kādā skolā vai akadēmiskajā darbā? Skaties:
RIBEIRO, Amanda Gonsalvesa. "Trīsstūrveida skaitļi"; Brazīlijas skola. Pieejams: https://brasilescola.uol.com.br/matematica/numeros-triangulares.htm. Skatīts 2021. gada 27. jūlijā.
