Aritmētiskā progresija (P.A.) ir skaitļu secība, kur atšķirība starp diviem secīgiem noteikumiem vienmēr ir vienāda. Šo pastāvīgo atšķirību sauc par P.A.
Tādējādi, sākot no secības otrā elementa, skaitļi, kas parādās, ir konstantu summas rezultāts ar iepriekšējā elementa vērtību.
Tas atšķir to no ģeometriskās progresijas (PG), jo šajā skaitļi tiek reizināti ar attiecību, savukārt aritmētiskajā progresijā tie tiek pievienoti.
Aritmētiskajā progresijā var būt fiksēts terminu skaits (ierobežots P.A.) vai bezgalīgs terminu skaits (bezgalīgs P.A.).
Lai norādītu, ka secība turpinās bezgalīgi, mēs izmantojam elipses, piemēram:
- secība (4, 7, 10, 13, 16, ...) ir bezgalīga P.A.
- secība (70, 60, 50, 40, 30, 20, 10) ir ierobežota P.A.
Katru P.A. terminu identificē pēc pozīcijas, kuru tas ieņem secībā, un katra vārda apzīmēšanai mēs izmantojam burtu (parasti burtu The), kam seko skaitlis, kas norāda tā pozīciju secībā.
Piemēram, termins The4 rakstā P.A (2, 4, 6, 8, 10) ir skaitlis 8, jo tas ir skaitlis, kas secībā ieņem 4. pozīciju.
P.A. klasifikācija
Pēc proporcijas vērtības aritmētiskās progresijas iedala:
- Pastāvīgs: kad attiecība ir vienāda ar nulli. Piemēram: (4, 4, 4, 4, 4 ...), kur r = 0.
- Pieaug: ja attiecība ir lielāka par nulli. Piemēram: (2, 4, 6, 8,10 ...), kur r = 2.
- dilstoši: ja attiecība ir mazāka par nulli (15, 10, 5, 0, - 5, ...), kur r = - 5
P.A. Īpašības
1. īpašums:
Galīgajā P.A. divu terminu summa, kas atrodas vienādā attālumā no galējībām, ir vienāda ar galējību summu.
Piemērs
2. īpašums:
Ņemot vērā trīs P.A. kārtas secības, vidējais termins būs vienāds ar pārējo divu terminu vidējo aritmētisko.
Piemērs
3. īpašums:
Ierobežotā P.A. ar nepāra skaitu terminu centrālais termins būs vienāds ar vidējo aritmētisko starp terminiem, kas atrodas vienādā attālumā no tā. Šis īpašums izriet no pirmā.
Vispārējā termina formula
Kur,
an: termins, kuru mēs vēlamies aprēķināt
a1: P.A. pirmais termiņš
n: termina pozīcija, kuru mēs vēlamies atklāt
r: iemesls
Formulas skaidrojums
Tā kā P.A. attiecība ir nemainīga, mēs varam aprēķināt tā vērtību no visiem secīgajiem noteikumiem, tas ir:
Tāpēc mēs varam atrast P.A. otrā termiņa vērtību, rīkojoties šādi:
Lai atrastu trešo terminu, mēs izmantosim to pašu aprēķinu:
A vērtības aizstāšana2, ko mēs atradām agrāk, mums ir:
Ja izmantosim to pašu pamatojumu, mēs varam atrast:
Ievērojot atrastos rezultātus, mēs atzīmējam, ka katrs termins būs vienāds ar pirmā termiņa summu ar attiecību, kas reizināta ar iepriekšējo pozīciju.
Šis aprēķins tiek izteikts, izmantojot P. A. vispārīgā termina formulu, kas ļauj mums zināt jebkuru aritmētiskās progresijas elementu.
Piemērs
Aprēķiniet P.A 10. termiņu: (26, 31, 36, 41, ...)
Risinājums
Pirmkārt, mums jānosaka, ka:
The1 = 26
r = 31 - 26 = 5
n = 10 (10. sasaukums).
Aizstājot šīs vērtības vispārējā termina formulā, mums ir:
TheNē =1 + (n - 1). r
The10 = 26 + (10-1). 5
The10 = 26 + 9 .5
The10 = 71
Tāpēc norādītās aritmētiskās progresijas desmitais locījums ir vienāds ar 71.
Visu terminu formula no jebkura k termina
Bieži vien, lai definētu jebkuru vispārīgu terminu, ko mēs saucam par, mums nav pirmā termina a1, bet mēs zinām kādu citu terminu, ko mēs saucam par ak.
Mēs varam izmantot vispārīgo terminu formulu no jebkura k termina:
Ņemiet vērā, ka vienīgā atšķirība bija izmaiņas 1. indeksā pirmajā formulā uz k otrajā.
Būt,
an: P.A. termins (termins jebkurā n pozīcijā)
ak: P.A. k termins (termins jebkurā k pozīcijā)
r: iemesls
P.A. nosacījumu summa
Lai atrastu ierobežota P.A. terminu summu, vienkārši izmantojiet formulu:
Kur,
sNē: P.A. pirmo n terminu summa
The1: P.A. pirmais termiņš
TheNē: secībā ieņem n-to pozīciju (termins pozīcijā n)
Nē: termiņa amats
Lasiet arī par PA un PG.
Vingrinājums atrisināts
1. vingrinājums
SPRK / RJ - 2018. gads
Zinot, ka secībā esošie skaitļi (y, 7, z, 15) ir aritmētiskā progresijā, kāda ir summa y + z?
a) 20
b) 14
c) 7
d) 3.5
e) 2
Lai atrastu z vērtību, mēs varam izmantot īpašību, ka tad, kad mums būs trīs secīgi termini, vidējais termins būs vienāds ar pārējo divu vidējo aritmētisko. Tātad mums ir:
Ja z ir vienāds ar 11, tad attiecība būs vienāda ar:
r = 11 - 7 = 4
Tādā veidā y būs vienāds ar:
y = 7 - 4 = 3
Tādēļ:
y + z = 3 + 11 = 14
Alternatīva: b) 14
2. vingrinājums
SFPS - 2017. gads
Zemāk redzamajā attēlā mums ir taisnstūru secība, visu augstumu a. Pirmā taisnstūra pamats ir b, bet nākamie taisnstūri ir iepriekšējā vērtējuma bāzes vērtība plus mērvienība. Tādējādi otrā taisnstūra pamats ir b + 1, bet trešais ir b + 2 un tā tālāk.
Apsveriet tālāk minētos apgalvojumus.
I - Taisnstūra laukumu secība ir koeficienta 1 aritmētiskā progresija.
II - taisnstūra laukumu secība ir koeficienta a aritmētiskā progresija.
III - Taisnstūru laukumu secība ir attiecības a ģeometriskā progresija.
IV - n-tā taisnstūra laukums (ANē) var iegūt pēc formulas ANē = a. (b + n - 1).
Pārbaudiet alternatīvu, kurā ir pareizs (-ie) paziņojums (-i).
tur.
b) II.
c) III.
d) II un IV.
e) III un IV.
Aprēķinot taisnstūru laukumu, mums ir:
A = a. B
1 = a. (b + 1) = a. b + a
2 = a. (b + 2) = a. B. + 2
3 = a. (b + 3) = a. b + 3a
No atrastajām izteiksmēm mēs atzīmējam, ka secība veido P.A. attiecību, kas vienāda ar The. Turpinot secību, mēs atradīsim n-tā taisnstūra laukumu, ko piešķir:
Nē= a. b + (n - 1) .a
Nē = a. b + a. plkst
liekot The kā pierādījums mums ir:
Nē = a (b + n - 1)
Alternatīva: d) II un IV.
3. vingrinājums
UERJ
Atzīstiet futbola čempionāta rīkošanu, kurā sportistu saņemtos brīdinājumus attēlo tikai dzeltenās kartītes. Šīs kartes tiek pārvērstas naudas sodos saskaņā ar šādiem kritērijiem:
- Pirmās divas saņemtās kartes soda naudu nerada;
- Trešā karte rada naudas sodu R $ 500,00.
- Šīs kartes rada naudas sodus, kuru vērtība vienmēr tiek palielināta par R $ 500,00 attiecībā pret iepriekšējās soda naudas vērtību.
Tabulā parādīti naudas sodi, kas saistīti ar pirmajām piecām sportistam uzliktajām kartītēm.
Apsveriet sportistu, kurš čempionāta laikā saņēma 13 dzeltenās kartītes. Kopējā sodu summa, ko rada visas šīs kartes, ir:
a) 30 000
b) 33 000
c) 36 000
d) 39 000
Pareiza atbilde: b) 33 000
Sākot ar trešo dzelteno kartīti, naudas soda summa palielinās P.A. ar attiecību R $ 500.00. Ņemot vērā pirmo termiņu a1, ar trešās kartes vērtību R $ 500,00.
Lai noteiktu soda naudas kopējo summu, mums jāizmanto P.A. nosacījumu summas formula.
Tā kā sportistam ir 13 dzeltenās kartītes, bet pirmās divas nerada naudas sodus, mēs izveidosim 13-2 terminu, tas ir, 11 nosacījumu, P.A.
Tādējādi mums ir šādas vērtības:
a1 = 500
n = 11
r = 500
Lai atrastu n-tā termina a11 vērtību, mēs izmantojam vispārīgo terminu formulu.
an = a1 + (n-1) .r
a21 = 500 + (11-1) x 500
a21 = 500 + 10 x 500
a21 = 5500
Piemērojot P.A.
Atrisiniet vairāk vingrinājumu:
Aritmētiskā virzība - vingrinājumi
Uzziniet vairāk, lasot arī:
- Skaitliskā secība
- Ģeometriskā progresija
- Ģeometriskā progresija - vingrinājumi
- Matemātikas formulas
