Sarežģīti skaitļi ir skaitļi, kas sastāv no reālas un iedomātas daļas.
Tie apzīmē visu sakārtoto pāru kopu (x, y), kuru elementi pieder reālo skaitļu kopai (R).
Komplekso skaitļu kopu apzīmē ar Ç un nosaka darbības:
- Vienlīdzība: (a, b) = (c, d) ↔ a = c un b = d
- Papildinājums: (a, b) + (c, d) = (a + b + c + d)
- Reizināšana: (a, b). (c, d) = (ac - bd, ad + bc)
Iedomātā vienība (i)
Norāda ar vēstuli i, iedomātā vienība ir sakārtots pāris (0, 1). Drīz:
i. i = -1 ↔ i2 = –1
Tādējādi i ir –1 kvadrātsakne.
Z algebriskā forma
Z algebrisko formu izmanto, lai attēlotu kompleksu skaitli, izmantojot formulu:
Z = x + yi
Kur:
- x ir reāls skaitlis, ko norāda x = Re (Z), tiek izsaukts z īstā daļa.
- y ir reāls skaitlis, ko norāda y = Im (Z), tiek izsaukts iedomāta Z daļa.
Komplekss skaitļu konjugāts
Kompleksā skaitļa konjugātu apzīmē ar z, ko definējis z = a - bi. Tādējādi tiek apmainīta tās iedomātās daļas zīme.
Tātad, ja z = a + bi, tad z = a - bi
Kad reizinām kompleksu skaitli ar tā konjugātu, rezultāts būs reāls skaitlis.
Vienlīdzība starp kompleksiem skaitļiem
Ir divi kompleksi skaitļi Z1 = (a, b) un Z2 = (c, d), tie ir vienādi, ja a = c un b = d. Tas ir tāpēc, ka tām ir identiskas reālas un iedomātas daļas. Tādējādi:
a + bi = c + di Kad a = c un b = d
Darbības ar kompleksiem skaitļiem
Ar kompleksiem skaitļiem ir iespējams veikt saskaitīšanas, atņemšanas, reizināšanas un dalīšanas darbības. Apskatiet tālāk norādītās definīcijas un piemērus:
Papildinājums
Z1 + Z2 = (a + c, b + d)
Algebriskā formā mums ir:
(a + bi) + (c + di) = (a + c) + i (b + d)
Piemērs:
(2 + 3i) + (–4 + 5i)
(2–4) + i (3 + 5)
–2 + 8i
Atņemšana
Z1 - Z2 = (a - c, b - d)
Algebriskā formā mums ir:
(a + bi) - (c + di) = (a - c) + i (b - d)
Piemērs:
(4 - 5i) - (2 + i)
(4 - 2) + i (–5 –1)
2 - 6i
Reizināšana
(a, b). (c, d) = (ac - bd, ad + bc)
Algebriskā formā mēs izmantojam sadales īpašību:
(a + bi). (c + di) = ac + adi + bci + bdi2 (i2 = –1)
(a + bi). (c + di) = ac + adi + bci - bd
(a + bi). (c + di) = (ac - bd) + i (ad + bc)
Piemērs:
(4 + 3i). (2 - 5i)
8 - 20i + 6i - 15i2
8 - 14i + 15
23 - 14i
Nodaļa
Z1/ Z2 = Z3
Z1 = Z2. Z3
Iepriekšminētajā vienlīdzībā, ja Z3 = x + yi, mums ir:
Z1 = Z2. Z3
a + bi = (c + di). (x + yi)
a + bi = (cx - dy) + i (cy + dx)
Pēc nezināmo x un y sistēmas mums ir:
cx - dy = a
dx + cy = b
Drīz,
x = ac + bd / c2 + d2
y = bc - ad / c2 + d2
Piemērs:
2 - 5i / i
2 - 5i /. (- i) / (- i)
-2i + 5i2/–i2
5 - 2i
Iestājeksāmena vingrinājumi ar atgriezenisko saiti
1. (UF-TO) Apsveriet i iedomātā komplekso skaitļu vienība. Vērtība izteiksmei (i + 1)8 é:
a) 32i
b) 32
c) 16
d) 16i
C) alternatīva: 16
2. Komplekss skaitlis z, kas pārbauda vienādojumu iz - 2w (1 + i) = 0 (w norāda z) konjugātu:
a) z = 1 + i
b) z = (1/3) - i
c) z = (1 - i) / 3
d) z = 1 + (i / 3)
e) z = 1 - i
E alternatīva: z = 1 - i
3. (Vunesp-SP) Apsveriet komplekso skaitli z = cos π / 6 + i sin π / 6. z vērtība3 + Z6 + Z12 é:
tur
b) ½ + √3 / 2i
c) i - 2
d) i
e) 2i
D alternatīva: i
Pārbaudiet vairāk jautājumu ar komentētu izšķirtspēju Vingrinājumi ar kompleksiem skaitļiem.
Video nodarbības
Lai paplašinātu zināšanas par kompleksiem skaitļiem, noskatieties videoklipu "Ievads kompleksos skaitļos"
Sarežģītu skaitļu vēsture
Sarežģītu skaitļu atklāšana tika veikta 16. gadsimtā, pateicoties matemātiķa Girolamo Cardano (1501-1576) ieguldījumam.
Tomēr tikai 18. gadsimtā šos pētījumus formalizēja matemātiķis Karls Frīdrihs Gauss (1777-1855).
Tas bija liels solis uz priekšu matemātikā, jo negatīvam skaitlim ir kvadrātsakne, kas līdz sarežģītu skaitļu atklāšanai tika uzskatīta par neiespējamu.
Lai uzzinātu vairāk, skatiet arī
- Ciparu kopas
- Polinomi
- iracionāli skaitļi
- 1. pakāpes vienādojums
- Potenciācija un radiācija
