varbūtības teorija ir matemātikas nozare, kas pēta eksperimentus vai gadījuma parādības, un caur to ir iespējams analizēt kāda notikuma iespējamību.
Aprēķinot varbūtību, mēs saistām zināmu ticamības pakāpi, ka notiks iespējamie eksperimentu rezultāti, kuru rezultātus nevar iepriekš noteikt.
Tādā veidā varbūtības aprēķins rezultāta rašanos saista ar vērtību, kas svārstās no 0 līdz 1, un jo tuvāk rezultāts ir 1, jo lielāka ir tā rašanās noteiktība.
Piemēram, mēs varam aprēķināt varbūtību, ka cilvēks nopirks laimējušo loterijas biļeti vai zinās izredzes, ka pārim būs 5 bērni, visi zēni.
izlases eksperiments
Nejaušs eksperiments ir tāds, kas nevar paredzēt, kāds rezultāts tiks atrasts pirms tā veikšanas.
Šāda veida notikumi, atkārtojoties vienādos apstākļos, var dot atšķirīgus rezultātus, un šī nekonsekvence tiek attiecināta uz nejaušību.
Nejauša eksperimenta piemērs ir objektīvās matricas (formas, kurai ir viendabīgs masas sadalījums) ripināšana uz augšu. Krītot, nav iespējams droši paredzēt, kura no sešām sejām būs vērsta uz augšu.
Varbūtības formula
Gadījuma parādībā notikuma iespējamība ir vienlīdz iespējama.
Tāpēc mēs varam atrast noteiktā rezultāta iespējamību, dalot labvēlīgo notikumu skaitu un kopējo iespējamo rezultātu skaitu:
Būt:
p (A): notikuma iespējamība A
plkst.): mūs interesējošo gadījumu skaits (A notikums)
n (Ω): kopējais iespējamo gadījumu skaits
Piemēri
1) Cik liela ir varbūtība, ka aizritēs skaitlis, kas mazāks par 3,
Risinājums
Kā perfekta mirst, visām 6 sejām ir vienādas iespējas nokrist ar seju uz augšu. Tāpēc izmantosim varbūtības formulu.
Lai to izdarītu, mums jāņem vērā, ka mums ir 6 iespējamie gadījumi (1, 2, 3, 4, 5, 6) un ka notikumam "no skaitļa, kas ir mazāks par 3" ir 2 iespējas, tas ir, no skaita 1 vai skaitlis 2. Tātad mums ir:
2) Kāršu paka sastāv no 52 kartītēm, kas sadalītas četros uzvalkos (sirsniņas, nūjas, dimanti un lāpstas) ar 13 kārtīm no katra uzvalka. Tādējādi, ja jūs izvēlaties karti nejauši, kāda ir varbūtība, ka karte iznāks no kluba uzvalka?
Risinājums
Zīmējot karti pēc nejaušības principa, mēs nevaram paredzēt, kāda būs šī karte. Tātad tas ir nejaušs eksperiments.
Šajā gadījumā karšu skaits atbilst iespējamo gadījumu skaitam, un mums ir 13 klubi, kas pārstāv labvēlīgu notikumu skaitu.
Aizstājot šīs vērtības varbūtības formulā, mums ir:
Vietas paraugs
ko pārstāv vēstule Ω, parauga telpa atbilst iespējamo rezultātu kopai, kas iegūta nejaušā eksperimentā.
Piemēram, nejauši paņemot karti no klāja, parauga telpa atbilst 52 kartēm, kas veido šo klāju.
Tāpat parauga telpa, vienu reizi ritinot matricu, ir sešas sejas, kas to veido:
Ω = {1, 2, 3, 4, 5 un 6}.
Notikumu veidi
Notikums ir jebkura nejauša eksperimenta izlases vietas apakškopa.
Kad notikums ir tieši tāds pats kā parauga telpa, to sauc par a pareizais notikums. Un otrādi, ja notikums ir tukšs, to sauc par a neiespējams notikums.
Piemērs
Iedomājieties, ka mums ir kaste ar bumbiņām, kas numurētas no 1 līdz 20, un ka visas bumbiņas ir sarkanas.
Pasākums "uzzīmē sarkanu bumbu" ir drošs notikums, jo visas lodziņā esošās bumbiņas ir šīs krāsas. Notikums "uzzīmēt skaitli, kas lielāks par 30" nav iespējams, jo lielākais skaitlis lodziņā ir 20.
Kombinatoriskā analīze
Daudzās situācijās nejaušā eksperimentā ir iespējams tieši atklāt iespējamo un labvēlīgo notikumu skaitu.
Tomēr dažās problēmās jums būs jāaprēķina šīs vērtības. Šajā gadījumā mēs varam izmantot permutācijas, izkārtojuma un kombinācijas formulas atbilstoši jautājumā piedāvātajai situācijai.
Lai uzzinātu vairāk par tēmu, dodieties uz:
- Kombinatoriskā analīze
- Kombinatoriskās analīzes vingrinājumi
- Skaitīšanas pamatprincips
- Permutācija
Piemērs
(EsPCEx - 2012) Varbūtība iegūt skaitli, kas dalās ar 2, nejauši izvēloties vienu no ciparu 1, 2, 3, 4, 5 permutācijām, ir
Risinājums
Šajā gadījumā mums jānoskaidro iespējamo notikumu skaits, tas ir, cik daudz dažādu skaitļu mēs iegūstam, mainot doto 5 ciparu secību (n = 5).
Tā kā šajā gadījumā ciparu secība veido dažādus skaitļus, mēs izmantosim permutācijas formulu. Tāpēc mums ir:
Iespējamie notikumi:
Tāpēc ar 5 cipariem mēs varam atrast 120 dažādus skaitļus.
Lai aprēķinātu varbūtību, mums joprojām ir jāatrod to labvēlīgo notikumu skaits, kuri šajā gadījumā ir atrast skaitli, kas dalās ar 2, kas notiks, kad skaitļa pēdējais cipars būs 2 vai 4.
Ņemot vērā, ka pēdējai pozīcijai mums ir tikai šīs divas iespējas, tad mums būs jāmaina pārējās 4 pozīcijas, kas veido skaitli, šādi:
Labvēlīgi notikumi:
Varbūtība tiks noteikta, rīkojoties šādi:
Lasīt arī:
- Paskāla trīsstūris
- Sarežģīti skaitļi
- Matemātika Enem
Vingrinājums atrisināts
1) SPRK / RJ - 2013. gads
Ja a = 2n + 1 ar n ∈ {1, 2, 3, 4}, tad skaitļa varbūtība The būt pārim ir
līdz 1
b) 0,2
c) 0,5
d) 0,8
e) 0
Kad mēs aizstājam katru iespējamo n vērtību skaitļa a izteiksmē, mēs pamanām, ka rezultāts vienmēr būs nepāra skaitlis.
Tāpēc "būt pāra skaitlim" ir neiespējams notikums. Šajā gadījumā varbūtība ir vienāda ar nulli.
Alternatīva: e) 0
2) UPE - 2013. gads
Spāņu kursu grupā trīs cilvēki plāno veikt apmaiņas programmu Čīlē un septiņi Spānijā. Starp šiem desmit cilvēkiem divi tika izvēlēti intervijai, kurā tiks piešķirtas stipendijas studijām ārzemēs. Varbūtība, ka šie divi izvēlētie cilvēki pieder to cilvēku grupai, kuri plāno veikt apmaiņu Čīlē, ir
Pirmkārt, atradīsim iespējamo situāciju skaitu. Tā kā 2 cilvēku izvēle nav atkarīga no kārtības, mēs izmantosim kombinācijas formulu, lai noteiktu iespējamo gadījumu skaitu, ti:
Tātad ir 45 veidi, kā izvēlēties 2 cilvēkus no 10 cilvēku grupas.
Tagad mums jāaprēķina labvēlīgo notikumu skaits, tas ir, abi izlozētie cilvēki vēlas veikt apmaiņu Čīlē. Atkal mēs izmantosim kombinācijas formulu:
Tātad ir 3 veidi, kā izvēlēties 2 cilvēkus no 3, kuri vēlas studēt Čīlē.
Izmantojot atrastās vērtības, mēs varam aprēķināt pieprasīto varbūtību, aizstājot formulu:
Alternatīva: b)
Lasiet vairāk par dažiem saistītiem priekšmetiem:
- Ņūtona binomāls
- Varbūtības vingrinājumi (viegli)
- Varbūtības vingrinājumi
- Statistika
- Statistika - vingrinājumi
- Matemātikas formulas
