Sarežģīti skaitļu vingrinājumi: atrisinātu jautājumu un atgriezeniskās saites saraksts

Jūs kompleksie skaitļi ļautu atrisināt matemātiskas problēmas, kuru kopā nav risinājumu reālie skaitļi.

Kompleksā skaitlī, kas rakstīts kā $\ dpi {120} z = a + bi$ , mēs to sakām $\ dpi {120} līdz$ ir īstā daļa, $\ dpi {120} b$ ir iedomātā daļa un $\ dpi {120} i = \ sqrt {-1}$ tā ir iedomātā vienība.

Uzstāties operācijas ar kompleksiem skaitļiem, ir daži izteicieni, kas atvieglo aprēķinus. Apsveriet $\ dpi {120} z_1 = a + bi$ un $\ dpi {120} z_2 = c + di$ .

Papildu izteiksme starp kompleksiem skaitļiem:

$\ dpi {120} z_1 + z_2 = (a + c) + (b + d) i$

Atņemšanas izteiksme starp kompleksajiem skaitļiem:

$\ dpi {120} z_1 - z_2 = (a-c) + (b - d) i$

Reizināšanas starp kompleksiem skaitļiem izteiksme:

$\ dpi {120} z_1 \ cdot z_2 = (ac - db) + (ad + cb) i$

Sadalījuma izteikšana starp kompleksajiem skaitļiem:

$\ dpi {120} \ frac {z_1} {z_2} = \ frac {(ac + bd)} {c ^ 2 + d ^ 2} + \ frac {(bc - ad)} {c ^ 2 + d ^ 2 } i$

Zemāk ir saraksts ar jautājumi, kas atrisināti ar vingrinājumiem par kompleksiem skaitļiem. Iemācieties lietot katru no jēdzieniem, kas saistīti ar šiem skaitļiem!

Indekss

Vingrinājumu saraksts par kompleksiem skaitļiem
1. jautājuma atrisināšana
2. jautājuma atrisināšana
3. jautājuma atrisināšana
4. jautājuma atrisināšana
5. jautājuma atrisināšana
6. jautājuma atrisināšana
7. jautājuma atrisināšana
8. jautājuma atrisināšana

Vingrinājumu saraksts par kompleksiem skaitļiem

Jautājums 1. Ņemot vērā kompleksos skaitļus $\ dpi {120} z_1 = 2 + 3i$ , $\ dpi {120} z_2 = 2 - 5i$ un $\ dpi {120} z_3 = -1 + 4i$ noteikt vērtību $\ dpi {120} A$ , Kad $\ dpi {120} A = z_2 + 4z_3 -3z_1$ .

instagram story viewer

2. jautājums. Atrodiet vērtības $\ dpi {120} x$ un $\ dpi {120} y$ tāds, ka $\ dpi {120} (2 + xi) + (y-5i) = 3-i$ .

3. jautājums. Ņemot vērā kompleksos skaitļus $\ dpi {120} z_1 = -2 - 5i$ un $\ dpi {120} z_2 = 1 + 3i$ , nosakiet vērtību $\ dpi {120} A \ cdot B$ , Kad $\ dpi {120} A = z_1 \ cdot \ bar {z_1}$ un $\ dpi {120} B = z_2 \ cdot \ bar {z_2}$ .

4. jautājums. Aprēķiniet vērtību $\ dpi {120} lpp$ un $\ dpi {120} q$ par ko $\ dpi {120} z_1: z_2 = q + 2i$ , Kad $\ dpi {120} z_1 = 3 - pi$ un $\ dpi {120} z_2 = 1 + 2i$ .

5. jautājums. Nosakiet vērtību $\ dpi {120} līdz$ par ko $\ dpi {120} (a + 3i): (3 + 2i)$ esi tīrs iedomāts skaitlis.

6. jautājums. Aprēķiniet šādas iedomātās vienības jaudas $\ dpi {120} i$ :

) $\ dpi {120} i ^ {16}$
B) $\ dpi {120} i ^ {200}$
ç) $\ dpi {120} i ^ {829}$
d) $\ dpi {120} i ^ {11475}$

7. jautājums. Atrodiet vienādojuma risinājumu $\ dpi {120} x ^ 2 + 9 = 0$ komplekso skaitļu komplektā.

8. jautājums. Nosakiet vienādojuma risinājumu $\ dpi {120} x ^ 2 + x + 1 = 0$ komplekso skaitļu komplektā.

1. jautājuma atrisināšana

Mums ir $\ dpi {120} z_1 = 2 + 3i$ un $\ dpi {120} z_2 = 2 - 5i$ un $\ dpi {120} z_3 = -1 + 4i$ un mēs vēlamies noteikt $\ dpi {120} A$ , Kad $\ dpi {120} A = z_2 + 4z_3 -3z_1$ .

Pirmkārt, aprēķināsim $\ dpi {120} 4z_3$ un $\ dpi {120} 3z_1$ , atsevišķi:

$\ dpi {120} 4z_3 = 4. (- 1 + 4i) = -4 + 16i$

$\ dpi {120} 3z_1 = 3. (2 + 3i) = 6 + 9i$

Tagad aprēķināsim $\ dpi {120} A$ :

$\ dpi {120} A = z_2 + 4z_3 -3z_1$

$\ dpi {120} \ labā bultiņa A = (2 - 5i) + (- 4 + 16i) - (6 + 9i)$

$\ dpi {120} \ Rightarrow A = (2-4-6) + (-5 + 16-9) i$

$\ dpi {120} \ labā bultiņa A = -8 + 2i$

2. jautājuma atrisināšana

Mēs vēlamies atrast x un y tā, lai $\ dpi {120} (2 + xi) + (y-5i) = 3-i$ .

Izsakot summu starp diviem kompleksiem skaitļiem, mums:

$\ dpi {120} (2 + xi) + (y-5i) = 3-i$

$\ dpi {120} \ Rightarrow (2 + y) + (x-5) i = 3-i$

Tātad mums ir jābūt $\ dpi {120} (2 + y) = 3$ un $\ dpi {120} (x-5) i = -i$ . Atrisināsim šos divus vienādojumus, lai atrastu x un y.

$\ dpi {120} (2 + y) = 3 \ Rightarrow y = 3-2 \ Rightarrow y = 1$

$\ dpi {120} (x-5) i = -i \ Rightarrow x- 5 = -1 \ Rightarrow x = -1 + 5 \ Rightarrow x = 4$

3. jautājuma atrisināšana

Mums ir $\ dpi {120} z_1 = -2 - 5i$ un $\ dpi {120} z_2 = 1 + 3i$ un mēs vēlamies noteikt $\ dpi {120} A \ cdot B$ , Kad $\ dpi {120} A = z_1 \ cdot \ bar {z_1}$ un $\ dpi {120} B = z_2 \ cdot \ bar {z_2}$ .

Pirmkārt, mēs aprēķinām $\ dpi {120} A = z_1 \ cdot \ bar {z_1}$ .

$\ dpi {120} A = z_1 \ cdot \ bar {z_1}$

$\ dpi {120} \ labā bultiņa A = (-2 - 5i) \ cdot (-2 + 5i)$

Izsakot reizinājumu starp diviem kompleksiem skaitļiem, mums:

$\ dpi {120} A = [(- 2) \ cdot (-2) - (- 5) \ cdot 5] + [(- 2) \ cdot 5 + (-5) \ cdot (-2)]$

$\ dpi {120} \ labā bultiņa A = [4 +25] + [- 10 +10]$

$\ dpi {120} \ Rightarrow A = 29$

Tagad aprēķināsim $\ dpi {120} B = z_2 \ cdot \ bar {z_2}$ .

$\ dpi {120} B = z_2 \ cdot \ bar {z_2}$

$\ dpi {120} \ labā bultiņa B = (1 + 3i) \ cdot (1-3i)$

$\ dpi {120} \ Rightarrow B = [1 \ cdot 1 - 3 \ cdot (-3)] + [1 \ cdot (-3) +1 \ cdot 3] i$

$\ dpi {120} \ Rightarrow B = [1 + 9] + [- 3 + 3] i$

$\ dpi {120} \ taisnstūra B = 10$

Tāpēc $\ dpi {120} A \ cdot B = 29 \ cdot 10 = 290$ .

4. jautājuma atrisināšana

Mēs vēlamies aprēķināt vērtību $\ dpi {120} lpp$ un $\ dpi {120} q$ par ko $\ dpi {120} z_1: z_2 = q + 2i$ , Kad $\ dpi {120} z_1 = 3 - pi$ un $\ dpi {120} z_2 = 1 + 2i$ .

Tas nozīmē atrast $\ dpi {120} lpp$ un $\ dpi {120} q$ tā, lai:

Apskatiet dažus bezmaksas kursus

Bezmaksas tiešsaistes iekļaujošas izglītības kurss
Bezmaksas tiešsaistes rotaļlietu bibliotēka un mācību kurss
Bezmaksas tiešsaistes matemātikas spēļu kurss pirmsskolas izglītībā
Bezmaksas tiešsaistes pedagoģisko kultūras darbnīcu kurss

$\ dpi {120} \ frac {3-pi} {1 + 2i} = q + 2i$

Izsakot sadalījumu starp diviem kompleksiem skaitļiem, mums:

$\ dpi {120} \ frac {3-pi} {1 + 2i} = \ frac {[3 \ cdot 1 + (- p) \ cdot 2]} {1 ^ 2 + 2 ^ 2} + \ frac {[ (-p) \ cdot 1-3 \ cdot 2]} {1 ^ 2 + 2 ^ 2} i = \ frac {3 - 2p} {5} + \ frac {(- p - 6)} {5} i$

Pievienojoties abiem nosacījumiem, mums jābūt:

$\ dpi {120} \ frac {3 - 2p} {5} + \ frac {(- p - 6)} {5} i = q + 2i$

T.i .:

$\ dpi {120} \ frac {3 - 2p} {5} = q \: \: \ mathrm {e} \: \: \ frac {(- p-6)} {5} i = 2i$

Atrisināsim katru no šiem vienādojumiem, sākot ar otro, kas atkarīgs tikai no p.

$\ dpi {120} \ frac {(- p-6)} {5} i = 2i$

$\ dpi {120} \ Rightarrow \ frac {(- p-6)} {5} = 2$

$\ dpi {120} \ Rightarrow -p - 6 = 10$

$\ dpi {120} \ Rightarrow p = -16$

Tagad mēs atrodam q ar citu vienādojumu:

$\ dpi {120} \ frac {3 - 2p} {5} = q$

$\ dpi {120} \ Rightarrow \ frac {3 - 2 \ cdot (-16)} {5} = q$

$\ dpi {120} \ Rightyrow q = 7$

5. jautājuma atrisināšana

Mēs vēlamies atrast vērtību $\ dpi {120} līdz$ par ko $\ dpi {120} (a + 3i): (3 + 2i)$ esi tīrs iedomāts skaitlis.

Tīrs iedomāts skaitlis ir tāds, kura reālā daļa ir vienāda ar nulli.

Ņemot vērā sadalījuma izteiksmi starp diviem kompleksiem skaitļiem, mums ir tas, ka:

$\ dpi {120} \ frac {a + 3i} {3 + 2i} = \ frac {a \ cdot 3 + 3 \ cdot 2} {3 ^ 3 + 2 ^ 2} + \ frac {3 \ cdot 3 - a \ cdot 2} {3 ^ 3 + 2 ^ 2} i = \ frac {3a + 6} {13} + \ frac {9-2a} {13} i$

Lai šis skaitlis būtu tīrs iedomāts, mums jābūt:

$\ dpi {120} \ frac {3a + 6} {13} = 0$

$\ dpi {120} \ labā bultiņa 3a + 6 = 0$

$\ dpi {120} \ Rightarrow a = -2$

6. jautājuma atrisināšana

Nosakot jaudas un sarežģītus skaitļus, mums:

$\ dpi {120} i ^ 0 = 1$
$\ dpi {120} i ^ 1 = i$
$\ dpi {120} i ^ 2 = -1$
$\ dpi {120} i ^ 3 = -i$
$\ dpi {120} i ^ 4 = 1$
$\ dpi {120} i ^ 5 = i$
$\ dpi {120} i ^ 6 = -1$
$\ dpi {120} i ^ 7 = -i$

Ievērojiet modeli, kas atkārtojas ik pēc četrām pakāpēm: 1, i, -1 un -i.

Tādējādi, lai atrastu rezultātu ar jebkuru i jaudu, vienkārši daliet eksponentu ar 4. Sadalījuma atlikums būs 0, 1, 2 vai 3, un šī vērtība būs eksponents, kas mums jāizmanto.

) $\ dpi {120} i ^ {16}$

16: 4 = 4, un pārējais ir 0.

Tad, $\ dpi {120} i ^ {16} = i ^ 0 = 1$ .