Elipse (matemātika): kas tas ir, elementi, vienādojums

Elipse ir plakana figūra, kas klasificēta kā konusveida, jo viņa var iegūt sadaļā plāna konusā. Ikdienā diezgan bieži tiek atrasts plakans skaitlis ar elipses formu. Tas ir plaši pētīts, lai izskaidrotu planētu kustību ap Sauli, jo šo zvaigžņu orbītas ir elipses.

analītiskā ģeometrija ir matemātikas joma, kuras mērķis ir aprakstīt algebriski ģeometriskas formas, tostarp elipse tiek pētīta padziļināti analītiskajā ģeometrijā, ir iespējams to aprakstīt, izmantojot vienādojumu, kurā ņemti vērā tā elementi. Elipsijas galvenie elementi ir:

  • galvenā ass

  • mazākā ass

  • fokusa attālums

  • foci F1 un F2

Mēs definējam elipsi kā punktu kopu, kur šo punktu attāluma summa līdz fokusam F1 un koncentrēties uz F2 tas vienmēr ir nemainīgs.

Lasiet arī: Kādas ir atšķirības starp plakanām un telpiskām figūrām?

Kas ir elipse?

Mēs zinām kā elipsi plakana figūra, ko veido griezums starp plakni un konuss, šādā veidā:

Elipse ir konisks.
Elipse ir konisks.

Lai izveidotu elipsi, tas ir jāzina savs divi fokusi, F1 un F2, kā arī galvenās ass garums, kas ir līnija, kas savieno elipses galus, attēlā, kuru attēlo A1 2.

Galvenās ass garums ir vienāds ar 2a, tāpēc elipse ir līkne, ko veido visi punkti P kur attāluma summa no punkta līdz pirmajam fokusam (dPF1) ar attālumu no punkta līdz otrajam fokusam (dPF2) vienmēr ir nemainīgs un vienāds ar 2a.

dP1F1 + dP1F2 = dP2F1 + P2F2 = dP3F1 + dP3F2 = dA12 = 2. vieta

Nepārtrauciet tūlīt... Pēc reklāmas ir vairāk;)

Elipses elementi

Lai pilnībā izprastu elipses veidošanos, ir jāzina katrs tās elements. Tie ir fokusi, centrs, galvenā ass un mazākā ass. Pamatojoties uz tiem, ir iespējams izsekot svarīgām attiecībām elipsē.

  • Elipses centru attēlo punkts O.

  • Jau F punkti1 un F2 pārstāv elipses fokusus.

  • punkti A1 un2 ir elipses horizontālās ass gali un punkti B1 un B2 ir tās vertikālās ass gali.

  • Attālums starp B1 un B2 ir vienāds ar 2b (elipses garums uz mazākās ass).

  • Attālums starp A1 un2 ir vienāds ar 2a (elipses garums uz galvenās ass).

  • Fokusa attālums starp F1 un F2 ir vienāds ar 2c.

Novērošana: Ir svarīgi saprast, ka F1B1 garums ir vienāds ar pusi no horizontālās ass, tas ir, dF1B1 = a. Tādējādi, analizējot trijstūri A, ir iespējams arī uztvert svarīgas Pitagora attiecības1OB1. Ņemiet vērā, ka viņš ir a taisns trīsstūris. Tāpēc mēs varam piemērot Pitagora teorēma.

a² = b² + c²

Elipsei ir vēl viena iespēja, kad garākā ass ir vertikālā ass. Šajā gadījumā elementi paliek nemainīgi.

Šajā gadījumā mēs varam piemērot arī Pitagora teorēmu, iegūstot šādi:

b² = a² + c²

Lasiet arī: Kādi ir daudzstūra elementi?

Elipses vienādojums

Elipsijas izpēte tiek veikta analītiski Dekarta plakne. Analītiskā ģeometrija ar vienādojumu palīdzību mēģina aprakstīt skaitļus plaknes ģeometrija. Tādējādi skaitli ir iespējams aprakstīt, izmantojot tā dēvēto elipses vienādojumu.

Pirmkārt, mēs izveidosim piemērus elipsei, kuras fokusi atrodas vai nu uz x ass, vai uz y ass, tas ir, elipses izcelsme sakrīt ar Dekarta plaknes izcelsmi.

Šajā gadījumā ir divas iespējas, kad galvenā ass ir vertikālā ass un kad galvenā ass ir horizontālā ass:

Novērošana: Fokusus vienmēr satur garākā ass, tādēļ, ja a> b, perēkļi atrodas horizontālajā un, ja b> a, tie atrodas vertikālajā asī.

Elipses centrs ne vienmēr atrodas Dekarta plaknes sākumā, kas netraucē izstrādāt un pielāgot elipses vienādojumu šim gadījumam. Kad elipse ir nobīdīta no sākuma O (x0, y0), tā vienādojumu var aprakstīt šādi:

Lasiet arī: Kāds ir samazināts apkārtmēra vienādojums?

Elipses ekscentriskums

Mēs zinām kā ekscentriskumuiemesls starp c garumu un pusi no elipses garākās ass garuma. Pieņemot, ka garākā ass ir horizontāla, ekscentriskumu aprēķina:

Ja elipse atrodas uz vertikālās ass, ekscentriskumu aprēķinās pēc:

ekscentriskums mums parāda, cik plakana ir elipse, jo lielāka ir ekscentriskuma vērtība, jo tuvāk lokam būs elipse. Tā kā galvenās ass garums vienmēr ir lielāks par fokusa attālumu, līdz ar to c

elipses zona

Tā kā elipsei ir noapaļota forma, lai aprēķinātu tās laukumu, mēs izmantojam konstanti π un arī pusi horizontālā garuma un pusi vertikālā garuma, tātad, Mums vajag:

A = abπ

A: elipses garums
a: puse no horizontālās ass garuma
b: puse no vertikālās ass garuma

Piemērs:

Aprēķiniet elipsijas laukumu ar fokusiem uz horizontālās ass, kuras garākās ass garums ir 50 cm, un mazākā - 36 cm.

Tā kā galvenā ass ir horizontāla, tad tajā atrodas fokusi. Tāpēc mums ir:

2. = 50

a = 50/2

a = 25

Uz vertikālās ass mums:

2b = 36

b = 36/2

b = 18

Tātad elipsijas laukumu izsaka:

A = abπ

A = 25 · 18π

A = 450π cm²

E un F ir elipses fokusi.
E un F ir elipses fokusi.

atrisināti vingrinājumi

Jautājums 1 - Analizējot zemāk redzamo elipsi, alternatīva, kas satur tās fokusa attālumu, ir:

A) 5
B) 4√3
C) 4
D) 16
E) 8√3

Izšķirtspēja

E alternatīva

Fokusa attālums ir vienāds ar 2c, turklāt a = 8 un b = 6. Tā kā fokusi atrodas uz x ass, mums ir:

Tā kā fokusa attālums ir vienāds ar 2c, tad 2c = 8√3.

2. jautājums - (IFB) Ņemot vērā elipsi ar centru sākumā, fokusus uz vienas no koordinātu asīm un šķērsojot punktus (5, 0) un (0, 13), nosakiet elipses fokusus.

a) (13, 0) un (-13, 0)
b) (0, 13) un (0, -13)
c) (12, 0) un (-12, 0)
d) (0, 12) un (0, -12)
e) (5, 0) un (-5, 0)

Izšķirtspēja

D alternatīva

Ņemiet vērā, ka tas iet caur punktu (0, 13), kas norāda, ka b = 13, un arī to, ka tas iet caur punktu (5.0) a = 5. Kā b> a mums ir:

b² = a² + c²
13² = 5² + c²
169 = 25 + c²
169 - 25 = c²
144 = c²
c = √144
c = 12

Tā kā b ir lielāks, fokuss ir uz vertikālo asi, ti, (0, 12) un (0, -12).

Autors Rauls Rodrigess de Oliveira
Matemātikas skolotājs

Iekšējais produkts starp diviem vektoriem

Iekšējais produkts starp diviem vektoriem

O punktu produkts starp diviem vektoriem ir reāls skaitlis, kas attiecas uz šo vektoru lielumu, t...

read more
Trīs punktu izlīdzināšanas nosacījums

Trīs punktu izlīdzināšanas nosacījums

Ar trim atšķirīgiem un nesaskaņotiem punktiem mēs veidojam plakni, tā ka ar tiem veidojas taisna ...

read more

Vispārība par taisnās līnijas vienādojumiem

Līnijas pamatvienādojuma definīcija ir viens no veidiem, kā mēs varam pielīdzināt līniju, bet tik...

read more