Ņūtona binomāls ir jebkurš binomāls, kas paaugstināts līdz skaitlim Nē uz ko Nē tas ir dabisks skaitlis. Pateicoties fiziķa pētījumiem Īzaks Ņūtons par binomāļu iespējām tas bija iespējams pārbaudiet likumsakarības, kas atvieglo polinoma attēlojumu kas radīts no binoma spēka.
Ievērojot šīs likumsakarības, tas arī kļuva iespējams atrodiet tikai vienu no polinoms, bez tā visa aprēķināšanas, izmantojot binomāla vispārīgā termina formulu. Turklāt Ņūtons pamanīja attiecības starp kombinatoriskā analīzeun Ņūtona binomāli, kas to darīja Paskāla trīsstūris lielisks līdzeklis praktiskākai Ņūtona binomāla izstrādei.
Lasiet arī: Briot-Ruffini ierīce - metode polinomu dalīšanai
Ņūtona binomāla definīcija
Mēs definējam kā binomupolinoms, kuram ir divi termini. Dažās matemātikas un fizikas lietojumprogrammās ir nepieciešams aprēķināt binoma jaudu. Lai atvieglotu procesu, Īzaks Ņūtons pamanīja svarīgas likumsakarības kas ļauj mums atrast polinomu, kas izriet no binoma spēka.
Dažos gadījumos aprēķins ir pavisam vienkāršs: vienkārši veiciet binomial pavairošana pati par sevi, izmantojot izplatīšanas īpašību. Līdz 3. kārtas spēkam mēs attīstāmies bez lielām pūlēm, jo tie ir labi zināmi ievērojami produkti, bet augstākiem spēkiem aprēķiniet pēc termina reizināšanas ar sevi Nē dažreiz tas ir daudz darba.
Nepārtrauciet tūlīt... Pēc reklāmas ir vairāk;)
Piemēri
Atcerieties, ka katrs skaitlis, kas paaugstināts līdz nullei, ir vienāds ar 1 un ka katrs skaitlis, kas tiek paaugstināts līdz 1, ir pats par sevi, kas attiecas arī uz binomāliem.
Ņūtons pamanīja a saikne starp katra termina koeficientiem un kombināciju, kas ļāva aprēķināt binoma jaudu tieši no šādas formulas:
Izpratne par formulu:
Vispirms apskatīsim katra termina burtisko daļu, kas ir burts ar tā eksponentu. Ņemiet vērā, ka katram terminam izteicējs “a ”samazinājās, sākot ar n, pēc tam pārejot uz n - 1 un tā tālāk, līdz tas bija 1 priekšpēdējā un 0 - pēdējā termiņā (kas nozīmē, ka burts“ a ”pēdējā termiņā pat neparādās).
identificējot The un tā eksponenti:
Tagad analizēsim "b" eksponentus, kas vienmēr palielinās, sākot ar 0 pirmajā termiņā ( kas burtu b neparādās pirmajā termiņā), 1 otrajā termiņā un tā tālāk, līdz tā ir vienāda The Nēpēdējā sasaukumā.
identificējot B un tā eksponenti:
Izprotot burtisko daļu, pieņemsim analizēt koeficientus, kas visas ir Nē elementi, kas ņemti no 0 līdz 0, 1 līdz 1, 2 līdz 2 un tā tālāk līdz pēdējam terminam, kas ir Nē elementi, kas ņemti no Nē iekšā Nē.
Jāatzīmē, ka pārrēķina meistarība kombinācijas lai varētu atrast koeficientus. Atcerieties, ka, lai aprēķinātu kombinācijas, mums:
Kombinētā reakcija vienmēr ir a dabiskais skaitlis.
Skatīt arī: Polinoma dalījums: kā to atrisināt?
Piemērs: Aprēķiniet Ņūtona binomiālu (a + b) līdz ceturtajai pakāpei.
1. solis: uzrakstiet polinomu, izmantojot formulu.
2. solis: aprēķiniet kombinācijas.
Nomainot kombinācijas, atrastais polinoms būs:
Var redzēt, ka līdzīgu gadījumu risināšana joprojām ir darbietilpīga, atkarībā no eksponenta, taču pat tā tas ir ātrāks nekā aprēķins, izmantojot izplatīšanas īpašību. Rīks, kas var palīdzēt veikt šo aprēķinu, ir Paskāla trīsstūris.
Paskāla trīsstūris
Pascal trijstūri izstrādāja Blaise Pascal, pētot kombinācijas. Viņš ir veids, kas atvieglo kombināciju aprēķināšanu. Pascal trīsstūra izmantošana ļauj ātrāk un vienkāršāk atrast Ņūtona binomāla burtisko daļu koeficientus, nerēķinot visas kombinācijas.
Lai tieši izveidotu Paskāla trīsstūri, atcerēsimies divas situācijas, kad kombinācijas aprēķins ir vienāds ar 1.
Tādējādi visu rindu pirmais un pēdējais termins vienmēr ir vienāds ar 1. Centrālie termini tiek veidoti, summējot terminu virs tā un tā kaimiņu no iepriekšējās kolonnas, kā parādīts zemāk:
Lai izveidotu nākamās rindas, vienkārši atcerieties, ka pirmais termins ir 1 un pēdējais arī. Tad pietiek ar summām, lai atklātu galvenos terminus.
Piekļūstiet arī: Polinoma sadalīšanās teorēma
Piemērs: Aprēķiniet (a + b) līdz sestajai jaudai.
1. solis: pielietojiet binoma formulu.
2. solis: uzbūvējiet Paskāla trīsstūri līdz 6. līnijai.
3. solis: aizstājiet kombinācijas ar vērtībām 6. rindā, kas ir katra binomāla termina koeficienti.
Tas, kas nosaka līniju skaitu, ko mēs veidosim no binoma, ir n vērtība. Ir svarīgi atcerēties, ka pirmā rinda ir nulle.
Ņūtona binomālais vispārīgais termins
Ņūtona vispārīgais termins binomiāls ir formula, kas ļauj aprēķināt binomāla termiņu, neizstrādājot visu polinomu, tas ir, mēs varam identificējiet kādu no terminiem no pirmā līdz pēdējam. Izmantojot formulu, mēs tieši aprēķinām meklēto terminu.
: pirmais termiņš
B: otrais termiņš
n: eksponents
p + 1: meklēšanas vienums
Piemērs: Atrodiet binoma 11. terminu (a + b)12.
Izšķirtspēja:
Skatīt arī: Demonstrācijas cauri algebrisko aprēķinu
atrisināti vingrinājumi
Jautājums 1 - (Cesgranrio) x koeficients4 polinomā P (x) = (x + 2)6:
a) 64
b) 60
c) 12
d) 4
e) 24
Izšķirtspēja
Mēs vēlamies atrast konkrētu terminu binomāla risināšanā; tam mums jāatrod p vērtība.
Mēs zinām, ka pirmais termins šajā gadījumā ir vienāds ar x, tāpēc n - p = 4, kā n = 6, mums ir:
Tādējādi koeficients ir 60 (B alternatīva).
2. jautājums - (Unifor) Ja binoma attīstības centrālais termins (4x + ky)10 par 8064x5y5, tad alternatīva, kas atbilst k vērtībai, būs:
a) 1/4
b) 1/2
c) 1
d) 2
e) 4
Izšķirtspēja: Mēs zinām, ka centrālajam terminam ir vienādi koeficienti (p = 5). Atradīsim 6. terminu, jo p + 1 = 6. Turklāt mums ir tas, ka a = 4x; b = ky un n = 10, tātad:
D alternatīva
Autors Rauls Rodrigess de Oliveira
Matemātikas skolotājs
