Tu iracionalūs skaičiai sukėlė didelį matematikų nerimą ilgą laiką. Šiandien jau gerai apibrėžtas, kaip iracionalų skaičių žinome tą, kurio dešimtainis ženklas visada yra neperiodinis dešimtainis skaičius. Pagrindinė iracionaliųjų savybė ir kuo jie skiriasi nuo racionaliųjų skaičių, yra tai, kad jie negali būti atstovaujama a trupmena.
Iracionalių skaičių tyrimas buvo gilinamas, kai, apskaičiuojant problemas, susijusias su Pitagoro teorema, buvo surastos netikslios šaknys. Ieškant sprendimo netikslioms šaknims, netikslios dešimtinės egzistavimas tapo nepaprastu periodinis, tai yra skaičių, kurių dešimtainė dalis yra begalinė ir neturi geros sekos. apibrėžta. Pagrindiniai iracionalieji skaičiai yra neperiodiniai skaitmenys po kablelio, netikslios šaknys ir π.
Taip pat skaitykite: Kvadratinė šaknis - šaknų atvejis, kai radikalusis indeksas yra 2
Iracionalių skaičių aibė
Prieš tiriant iracionalius skaičius, buvo tiriami skaičių rinkiniai natūralus, sveikieji skaičiai ir racionalieji. Gilinantis į stačiakampio trikampio tyrimą paaiškėjo, kad
yra keletas šaknų, kurios neturi tikslaus sprendimo., visų pirma, buvo galima pamatyti, kad netikslios šaknies sprendiniai yra skaičiai žinomas kaip neperiodinis dešimtinis.Įsibėgėjus šiam nerimui, daugelis matematikų nesėkmingai bandė įrodyti, kad netikslios šaknys yra racionalūs skaičiai ir kuri gali būti pavaizduota kaip trupmena, tačiau buvo suprasta, kad šie skaičiai negali būti pavaizduoti šiame forma. Kadangi iki šiol racionaliųjų skaičių aibėje šie skaičiai nebuvo įtraukti, atsirado poreikis sukurti naują aibę, vadinamą iracionaliųjų skaičių aibe.
Skaičius yra iracionalus, kai jo dešimtainis skaičius yra neperiodinis dešimtainis skaičius. |
Kas yra iracionalūs skaičiai?
Kad būtų iracionalus skaičius, jis turi atitikti apibrėžimą, tai yra dešimtainis jos ženklas yra neperiodinis dešimtainis skaičius. Pagrindinė neperiodinių dešimtainių skaičių ypatybė yra ta, kad jų negalima pavaizduoti trupmena, o tai rodo, kad iracionalieji skaičiai yra priešingi racionaliesiems skaičiams.
Pagrindiniai skaičiai su šia funkcija yra šaknys nėra tikslios.
Pavyzdžiai:
a) √2
b) √5
c) √7
d) √13
Visada ieškodami netikslių šakninių sprendimų, tai yra, atlikdami dešimtainį šių skaičių vaizdą rasime neperiodinį dešimtainį skaičių, kuris šiuos skaičius paverčia aibės elementais neracionalus.
Be netikslių šaknų, yra ir pačių neperiodinių dešimtųjų, pavyzdžiui, jei apskaičiuosime netikslius šaknis, rasime ir neperiodinį dešimtainį.
√2 = 1,41421356...
√5= 2,23606797...
Iracionalūs skaičiai dažniausiai vaizduojami graikiškomis raidėmis, nes neįmanoma užrašyti visų kablelių po kablelio.
Pirmasis yra π (skaityti: pi), esantis apskaičiuojant apskritimo plotą ir perimetrą. Jo vertė lygi 3,1415926535…
Be π, dar vienas labai dažnas skaičius yra ϕ (skaitykite: fi). Jis yra problemų, susijusių su proporcija auksinis. Jo vertė lygi 1,618033 ...
Taip pat žiūrėkite: Kas yra pirminiai skaičiai?
Nesustokite dabar... Po reklamos yra daugiau;)
racionalus ir iracionalus skaičius
Analizuodami skaičių rinkinius, svarbu atskirti racionaliuosius ir iracionaliuosius. Šių dviejų aibių sąjunga sudaro vieną iš labiausiai matematikoje tiriamų rinkinių - realų rinkinį, tai yra tikrieji skaičiai tai skaičių sujungimas, kuris gali būti pavaizduotas trupmenomis (racionalus) su skaičiais, kurių negalima pateikti kaip trupmenos (iracionalios).
Rinkinyje racionalūs numeriai, yra sveikieji skaičiai, natūralieji, tikslieji kableliai ir periodiniai kableliai.
Racionaliųjų skaičių pavyzdžiai:
-60 → sveikasis skaičius
2,5 → tikslus dešimtainis skaičius
5.1111111… → periodinis skaičius po kablelio
Iracionalieji skaičiai yra neperiodiniai skaitmenys po kablelio, todėl nėra racionalaus ir iracionalaus skaičiaus.
Iracionalių skaičių pavyzdys:
1,123149… → neperiodinė dešimtinė
2.769235... → neperiodinė dešimtinė
Operacijos su iracionaliais skaičiais
sudėjimas ir atimimas
papildymas ir atimtis iš dviejų iracionalių skaičių paprastai yra ką tik atstovavo, nebent naudojamas dešimtainis šių skaičių derinimas, pavyzdžiui:
a) √6 + √5
b) √6 - √5
c) 1.414213… + 3.1415926535…
Negalime pridėti ar atimti verčių dėl radikalų, todėl paliekame tik nurodytą operaciją.
Dešimtainiais pavaizdavimais taip pat neįmanoma atlikti tikslios sumos, taigi norint pridėti du iracionalius skaičius, mums reikia racionalaus derinimo., ir šis atvaizdavimas pasirenkamas atsižvelgiant į šių duomenų tikslumo poreikį. Kuo daugiau dešimtųjų skaičiaus laikysime, tuo arčiau tikslios sumos gausime.
Stebėjimas:neracionalių skaičių aibė nėra uždaryta nei atimant, nei tai reiškia, kad dviejų iracionalių skaičių suma gali sukelti skaičių, kuris nėra racionalus. Pavyzdžiui, jei apskaičiuojame iracionalaus skaičiaus skirtumą pagal priešingybę, turime:
a) √2 - √2 = 0
b) π + (-π) = 0
Mes žinome, kad 0 nėra iracionalus skaičius.
Dauginimas ir dalijimas
Padauginimas ir padalijimas neracionalių skaičių galima padaryti, jei atstovavimas yra a spinduliavimas, tačiau, kaip ir sudedant, dešimtainiu pavaizdavimu, tai yra dauginant ar padalinant du skaičius po kablelio, reikia racionaliai suderinti šį skaičių.
a) √7 · √5 = √35
b) √32: √2 = √16 = 4
Taip pat atkreipkite dėmesį, kad b pavyzdyje 4 yra racionalus skaičius, o tai reiškia, kad dviejų iracionalių skaičių dauginimas ir dalijimas nėra uždaras, tai yra, jie gali turėti racionalų rezultatą.
sprendė pratimus
Klausimas 1 - Peržiūrėkite šiuos skaičius:
I) 3.1415926535
II) 4,1234510….
III) 2π
IV) 1.123123123 ...
V) √36
VI) √12
Tai neracionalūs skaičiai:
A) Tik aš, IV ir V
B) Tik II, III ir VI
C) Tik II, IV ir VI
D) Tik I, II, III ir VI
E) Tik III, IV, V ir VI
Rezoliucija
B alternatyva
I → skaičius yra tikslus dešimtainis, racionalus.
II → skaičius yra neperiodinis, iracionalus dešimtainis skaičius.
III → π yra iracionalus, o jo dvigubas, tai yra, 2π, taip pat iracionalus.
IV → skaičius yra periodinis, racionalus dešimtainis skaičius.
V → tiksli, racionali šaknis.
VI → šaknis nėra tiksli, iracionali.
2 klausimas - Vertinkite šiuos teiginius:
Aš - realiųjų skaičių aibė yra racionalių ir iracionalių sąjunga;
II - Dviejų iracionalių skaičių suma gali būti racionalus skaičius;
III - dešimtinė yra iracionalūs skaičiai.
Analizuodami teiginius galime pasakyti, kad:
A) Tik teiginys I yra teisingas.
B) Tik II teiginys yra teisingas.
C) Tik III teiginys yra teisingas.
D) Tik I ir II teiginiai yra teisingi.
E) Visi teiginiai yra teisingi.
Rezoliucija
D alternatyva
I → Tiesa, nes realiųjų skaičių aibės apibrėžimas yra racionalaus ir iracionalaus sąjunga.
II → Tiesa, pridėję skaičių priešingai, gausime skaičių 0, kuris yra racionalus.
III → Klaidinga, neperiodinė dešimtinė yra iracionali.
Autorius Raulas Rodriguesas de Oliveira
Matematikos mokytoja
