Įsivaizduokite, kad žaidžiate su rutuliukais, kad suformuotumėte trikampius. Pirmiausia galite manyti, kad rutulys yra kaip mažas trikampis:
•
Tada po jais padėkite du rutuliukus ir suformuokite tris a viršūnes trikampis:
•
• •
Jei po jais padėsite dar tris rutulius, susidarys dar vienas trikampis:
•
• •
• • •
Kiekviename rutulių pridėjimo etape, palyginti su anksčiau padėta suma, visada bus formuojami trikampiai. Žiūrėkite trikampį, sudarytą pridedant dar keturis rutulius:
•
• •
• • •
• • • •
Bendras kamuoliukų skaičius kiekviename žingsnyje apibūdina skaičių klasę, vadinamą trikampiai skaičiai. Matematikas Karlas Friedrichas Gaussas atrado formulę, rodančią bendrą sumą kiekviename trikampyje, kur s1atitiko pirmąjį trikampį, s2, iki antrojo trikampio ir pan. Gauso aprašytos sumos prasidėjo nuo a ir, kiekviename etape buvo pridėtas skaičius, atitinkantis vieną vienetą virš paskutinio pridėto skaičiaus:
s1 = 1
s2= 1 + 2 = 3
s3 = 1 + 2 + 3 = 6
s4= 1 + 2 + 3 + 4 = 10
s5 = 1 + 2 + 3 + 4 + 5 = 15
Šių sumų rezultatai buvo trikampiai skaičiai: 1, 3, 6, 10, 15... Atkreipkite dėmesį, kad kiekvienoje iš šių sumų yra nustatytas modelis. Atidžiai pažvelgę matome, kad kiekvienas iš jų yra a
aritmetinė progresija dėl 1 priežasties. Taigi čia yra gauss suma, kuris nustato, kad pastovaus santykio sumoje, jei pirmąjį elementą pridėsime prie paskutinio, gausime tokį patį rezultatą, kaip ir antrą elementą pridėjus prie priešpaskutinio. Pažiūrėkime, kaip vyksta Gauso sumos procesas sumoms. s6 ir s7:
Gauso sumos procesas, taikomas trikampių skaičių sumai
Nesustok dabar... Po reklamos yra daugiau ;)
jei sustoti s6 ir s7 turime sumas iš aukščiau esančio paveikslėlio, atkurkime šią sumą s8, S9, S10 ir s11:
s8 = 1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6 + 7 + 8 = 4.9 = 36
s9= 1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6 + 7 + 8 + 9 = 4.10 + 5 = 45
s10= 1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6 + 7 + 8 + 9 + 10 = 5.11 = 55
s11= 1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6 + 7 + 8 + 9 + 10 + 11= 5.12 + 6 = 66
Galime apibendrinti, kad gautume sumą sne:
sne = n. (n+1), jei n lyginis
2
sne = (n - 1).(n+1) + (n - 1) + 1, jei n yra nelyginis
2 2
kaip ir viduje skaičių magija, galime parodyti dar vieną įdomų faktą apie trikampius skaičius: vėlesnių trikampių skaičių sumą visada gaunami skaičiai, kurie gali būti klasifikuojami kaip tobuli kvadratai, ty skaičiai, turintys šaknį kvadratas. Pažiūrėkime:
s1 + S2 = 1 + 3 = 4
s2 + S3 = 3 + 6 = 9
s3 + S4 = 6 + 10 = 16
s4 + S5 = 10 + 15 = 25
s5 + S6 = 15 + 21 = 36
s6 + S7 = 21 + 28 = 49
s7 + S8 = 28 + 36 = 64
s8 + S9 = 36 + 45 = 81
s9 + S10 = 45 + 55 = 100
s10 + S11 = 55 + 66 = 121
Gauti rezultatai – 4, 9, 16, 25, 36, 49, 64, 81, 100 ir 121 – visi yra tobuli kvadratai.
Amanda Gonçalves
Baigė matematiką
Ar norėtumėte remtis šiuo tekstu mokykloje ar akademiniame darbe? Žiūrėk:
RIBEIRO, Amanda Gonçalves. „Trikampiai skaičiai“; Brazilijos mokykla. Galima įsigyti: https://brasilescola.uol.com.br/matematica/numeros-triangulares.htm. Žiūrėta 2021 m. liepos 27 d.
