Vienas lygtis yra matematinis sakinys, turintis lygybę ir bent vieną nežinomą, tai yra, kai mes dalyvaujame a algebrinė išraiška ir lygybė. Tiriant lygtis reikia išankstinių žinių, tokių kaip skaitiniai posakiai. Lygties tikslas yra rasti nežinomą vertę tai paverčia lygybę tapatumu, tai yra tikra lygybe.
Taip pat skaitykite:Operacijos su trupmenomis - kaip apskaičiuoti?
Pagrindinės lygčių tyrimo sampratos
Lygtis yra matematinis sakinys, turintis a nežinoma, bent jau, ir a lygybė, ir galime jį suskirstyti pagal nežinomųjų skaičių. Žr. Keletą pavyzdžių:
a) 5t - 9 = 16
Lygtis yra nežinoma, kurią žymi raidė t.
b) 5x + 6y = 1
Lygtis turi du nežinomus, kuriuos žymi raidės x ir y.
c) t4 - 8z = x
Lygtis turi tris nežinomus dalykus, kuriuos žymi raidės Gerai,z ir x.
Nepriklausomai nuo lygties, mes turime atsižvelgti į jūsų visatos rinkinys,susideda iš visų galimų verčių, kurias galime priskirti nežinomybei, šį rinkinį žymi raidė U.
1 pavyzdys
Apsvarstykite lygtį x + 1 = 0 ir galimą jos sprendimą x = –1. Dabar apsvarstykite, ar visatos lygties rinkinys yra natūralus.
Atkreipkite dėmesį, kad tariamas sprendimas nepriklauso visatos rinkiniui, nes jo elementai yra visos galimos reikšmės, kurias gali įgyti nežinomas dalykas, taigi x = –1 nėra lygties sprendimas.
Žinoma, kuo daugiau nežinomųjų, tuo sunkiau nustatyti jūsų sprendimą. sprendimas arba šaltinis lygties reikšmė yra visų verčių rinkinys, kuris, priskirtas nežinomam, daro lygybę tikrą.
2 pavyzdys
Apsvarstykite lygtį su nežinoma 5x - 9 = 16, patikrinkite, ar x = 5 yra lygties sprendimas arba šaknis.
Kad būtų galima tai pasakyti x = 5 yra lygties sprendimas, mes turime pakeisti tą reikšmę išraiškoje, jei rasime tikrą lygybę, skaičius bus išbandytas sprendimas.
5x – 9 = 16
5(5) – 9 = 16
25 – 9 = 16
16 = 16
Pažiūrėkite, ar rasta lygybė, taigi mes turime tapatybę ir skaičius 5 yra sprendimas. Taigi galime sakyti, kad sprendimų rinkinį pateikia:
S = {5}
3 pavyzdys
Apsvarstykite t lygtį2 = 4 ir patikrinkite, ar t = 2, ar t = –2 yra lygties sprendiniai.
Analogiškai turėtume pakeisti t reikšmę į lygtį, tačiau atkreipkite dėmesį, kad nežinomybei turime dvi vertes, todėl patikrinimą turėtume atlikti dviem etapais.
1 žingsnis - Jei t = 2
t2= 4
22 = 4
4 = 4
2 žingsnis - Dėl t = –2
t2 = 4
(–2)2 = 4
4 = 4
Pažiūrėkite, ar t = 2 ir t = - 2 randame tapatybę, taigi šios dvi reikšmės yra lygties sprendiniai. Taigi galime sakyti, kad sprendimų rinkinys yra:
S = {2, –2}
Lygčių tipai
Taip pat galime klasifikuoti nežinomosios pozicijos lygtį. Peržiūrėkite pagrindinius tipus:
Daugianario lygtys
At daugianario lygtys yra būdingi tuo, kad daugianaris lygus nuliui. Žr. Keletą pavyzdžių:
) 6t3+ 5t2–5t = 0
Numeriai6, 5 ir –5 yra lygties koeficientai.
B) 9x – 9= 0
Numeriai 9 ir – 9 yra lygties koeficientai.
c) y2– y – 1 = 0
Numeriai 1, – 1 ir – 1 yra lygties koeficientai.
Lygties laipsniai
Polinomines lygtis galima klasifikuoti pagal jų laipsnį. Taip pat daugianariai, daugianario lygties laipsnį pateikia didžiausia galia, kurios koeficientas nėra nulis.
Iš ankstesnių pavyzdžių a, b ir c turime lygčių laipsnius:
a) 6t3 + 5t2 –5t = 0 → Daugianario lygtis trečias laipsnis
b) 9x - 9 = 0 → Daugianario lygtis Pirmas laipsnis
ç) y2 - y - 1 = 0 → Daugianario lygtis vidurinė mokykla
Skaityk ir tu: kvadratinė lygtisu: kaip apskaičiuoti, tipai, pavyzdžiai
racionalios lygtys
Racionaliosioms lygtims būdinga jų nežinomieji vardiklyje a trupmena. Žr. Keletą pavyzdžių:
Skaityk ir tu: Kas yra racionalūs skaičiai?
iracionalios lygtys
At iracionalios lygtys pasižymi tuo, kad turi nežinomasis n-osios šaknies viduje, tai yra radikalo, kurio indeksas n, viduje. Žr. Keletą pavyzdžių:
eksponentinės lygtys
At eksponentinės lygtys turėti nežinomieji, esantys eksponente a potencija. Žr. Keletą pavyzdžių:
logaritminė lygtis
At logaritminės lygtys būdingi turintys vienas ar daugiau nežinomųjų tam tikroje dalyje logaritmas. Pamatysime, kad taikant logaritmo apibrėžimą, lygtis patenka į kai kuriuos ankstesnius atvejus. Žr. Keletą pavyzdžių:
Taip pat žiūrėkite: Pirmojo laipsnio lygtis su nežinoma
Kaip išspręsti lygtį?
Norėdami išspręsti lygtį, turime ištirti kiekvienos rūšies metodai, tai yra, kiekvienam lygčių tipui yra skirtingas metodas galimoms šaknims nustatyti. Tačiau visi šie metodai yra išvestas iš ekvivalentiškumo principo, su juo galima išspręsti pagrindinius lygčių tipus.
Ekvivalentiškumo principas
Antrasis lygiavertiškumo principas - mes galime laisvai veikti vienoje lygybės pusėje, jei tą patį darome kitoje lygybės pusėje. Norėdami pagerinti supratimą, mes įvardinsime šias puses.
Todėl ekvivalentiškumo principas teigia, kad tai įmanoma operuoti pirmąją galūnę laisvai tol, kol ta pati operacija atliekama ir antrajam nariui.
Norėdami patikrinti lygiavertiškumo principą, apsvarstykite tokį lygybę:
5 = 5
Eime dabar Pridėti iš abiejų pusių skaičius 7 ir atkreipkite dėmesį, kad lygybė vis tiek bus teisinga:
5 =5
5 + 7= 5 + 7
12 = 12
Eime dabar atimti 10 abiejose lygybės pusėse, dar kartą atkreipkite dėmesį, kad lygybė vis tiek bus tiesa:
12 = 12
12 – 10 = 12 – 10
2 = 2
pamatyti, kad mes galime padauginti arba Dalintis ir pakelti iki a potencija ar net išgauti a šaltinis, kol tai daroma pirmajam ir antrajam nariui, lygybė visada galios.
Norėdami išspręsti lygtį, turime naudoti šį principą kartu su minėtų operacijų žiniomis. Kad palengvintume lygčių kūrimą, praleiskime operaciją, atliktą su pirmuoju nariu, tai tolygu sakyti, kad numerį perduodame kitam nariui, ženklą keičiame priešingu.
Idėja nustatyti lygties sprendimą visada yra izoliuoti nežinomą, naudojant ekvivalentiškumo principą, Žiūrėk:
4 pavyzdys
Naudodamiesi ekvivalentiškumo principu, nustatykite lygties 2x - 4 = 8 sprendinių aibę žinodami, kad visatos rinkinį pateikia: U = ℝ.
2x - 4 = 8
Norėdami išspręsti pirmojo laipsnio polinomą lygtį, turime palikti nežinomą pirmame naryje. Tam mes paimsime skaičių –4 iš pirmojo nario, pridedant po 4 į abi puses, nes –4 + 4 = 0.
2x - 4 = 8
2x - 4+ 4 = 8+ 4
2x = 12
Atkreipkite dėmesį, kad šio proceso atlikimas prilygsta paprasčiausiai skaičiaus 4 perdavimui priešingu ženklu. Taigi, norėdami išskirti nežinomą x, perduokime skaičių 2 antram nariui, nes jis padaugina x. (Atminkite: atvirkštinė daugybos operacija yra dalijimas). Tai būtų tas pats, kas padalinti abi puses iš 2.
Todėl sprendinių rinkinį pateikia:
S = {6}
5 pavyzdys
Išspręskite 2 lygtįx + 5 = 128, žinant, kad visatos rinkinį pateikia U = ℝ.
Norėdami išspręsti eksponentinę lygtį, pirmiausia naudokime toliau pateiktą informaciją potenciacijos savybė:
Them + n =m · Ane
Mes taip pat naudosime tai, kad 22 = 4 ir 25 = 32.
2x + 5 = 128
2x · 25 = 128
2x · 32 = 128
Atkreipkite dėmesį, kad galima padalyti abi puses iš 32, tai yra, perduodant skaičių 32 antram nariui padalijant.
Taigi turime:
2x = 4
2x = 22
Vienintelė lygybę tenkanti x reikšmė yra skaičius 2, taigi x = 2, o sprendinių rinkinį pateikia:
S = {2}
sprendė pratimus
Klausimas 1 Apsvarstykite nustatytą visatą U = ℕ ir nustatykite šios iracionalios lygties sprendimą:
Rezoliucija
Norėdami išspręsti šią lygtį, turime rūpintis pirmojo nario šaknies pašalinimu. Atkreipkite dėmesį, kad tam būtina pakelti pirmąjį narį į tą patį indeksą kaip šaknis, tai yra į kubą. Pagal lygiavertiškumo principą turime išugdyti ir antrąjį lygybės narį.
Atkreipkite dėmesį, kad dabar turime išspręsti antrojo laipsnio daugianario lygtį. Perduokime skaičių 11 antrajam nariui (atimkime 11 iš abiejų lygybės pusių), kad išskirtume nežinomą x.
x2 = 27 – 11
x2 = 16
Dabar, norėdami nustatyti x vertę, įsitikinkite, kad yra dvi reikšmės, kurios tenkina lygybę, x ’= 4 arba x’ ’= –4, kartą:
42 = 16
ir
(–4)2 = 16
Tačiau klausimo teiginyje atkreipkite dėmesį, kad duotas visatos rinkinys yra natūralių skaičių aibė, o skaičius –4 jai nepriklauso, taigi sprendinių rinkinį pateikia:
S = {4}
2 klausimas - Apsvarstykite daugianario lygtį x2 + 1 = 0 žinant, kad visatos rinkinį pateikia U = ℝ.
Rezoliucija
Dėl ekvivalentiškumo principo atimkite 1 iš abiejų narių.
x2 + 1 – 1= 0 – 1
x2 = – 1
Atkreipkite dėmesį, kad lygybė neturi sprendimo, nes visatos rinkinys yra tikrieji skaičiai, ty visi reikšmės, kurias nežinomas gali prisiimti, yra tikros, ir nėra realaus skaičiaus, kuris būtų kvadratu neigiamas.
12 = 1
ir
(–1)2 = 1
Todėl lygtis neturi sprendimo realų rinkinyje, todėl galime sakyti, kad sprendinių rinkinys yra tuščias.
S = {}
pateikė Robsonas Luizas
Matematikos mokytoja
