Kombinatorinė analizė: sąvokos, formulės, pavyzdžiai

kombinatorinė analizė yra matematikos studijų sritis, susijusi su skaičiavimo taisyklėmis. XVIII amžiaus pradžioje žaidimas su kauliukais ir kortomis paskatino skaičiavimo teorijas labai išvystyti.

Kombinatorikos darbas įgalina atlikti vis tikslesnius skaičiavimus.Pagrindinis skaičiavimo principas (PFC), faktorialas ir grupavimo tipai yra kombinatorinėje analizėje nagrinėtų sąvokų pavyzdžiai, kurie, be to, teikia didesnis padeda tikslumas nekitų matematikos sričių, tokių kaip The tikimybė ir O Niutono binomalas.

Skaityk ir tu: susitarimas arba çderinys?

Kam skirta kombinatorinė analizė?

Kombinatorinė analizė siejama su skaičiavimo procesu, tai yra, šios matematikos srities tyrimas leidžia mums sukurti įrankius, kurie mums padeda atlikti skaičiuojama efektyviau. Pažvelkime į tipišką skaičiavimo problemą, žr .:

1 pavyzdys

Apsvarstykite tris A, B ir C miestus, sujungtus greitkeliais R₁, R₂, R₃, R₄ ir R₅. Nustatykite, kiek būdų mes galime patekti iš A miesto į C miestą per B miestą.

instagram story viewer

Atkreipkite dėmesį, kad turime palikti A miestą ir eiti į B miestą, ir tik tada galime keliauti į miestą C, todėl išanalizuokime visus galimybės įvykį vykdyti einant greitkeliais.

1 būdas: R₁ → R₃

2 būdas: R₁ → R₄

3 būdas: R₁ → R₅

4 būdas: R₂ → R₃

5 būdas: R₂ → R₄

6-as būdas: R₂ → R₅

Taigi mes turime šešis skirtingus būdus, kaip patekti iš A miesto į C miestą per B miestą. Tačiau atkreipkite dėmesį, kad siūloma problema yra gana paprasta ir kad atlikta analizė buvo mažai varginanti. Taigi, nuo šiol mes studijuosime sudėtingesnes priemones, kurios leidžia išspręsti problemas kur kas mažiau dirbant.

Pagrindinis skaičiavimo principas (PFC)

Apsvarstykite įvykį E, kurį galima atlikti n nepriklausomais ir nuosekliais žingsniais. Dabar apsvarstykite, ar galimybių atlikti pirmąjį žingsnį skaičius yra lygus P₁, taip pat įsivaizduokite, kad galimybių atlikti antrąjį etapą skaičius yra P.₂, ir taip toliau, kol pasieksime paskutinį etapą, kuriame yra P_ne galimybės būti atliktos.

Pagrindinis skaičiavimo principas (PFC) teigia, kad visų galimybių renginio surengimą E duoda:

P₁ · P₂ ·… · P_ne

Taigi bendrą sumą pateikia kiekvieno etapo, sudarančio E įvykį, galimybių sandauga. Atkreipkite dėmesį, kad norint nustatyti visas renginio E surengimo galimybes, reikia žinoti visas kiekvieno etapo galimybes.

2 pavyzdys

Grąžinkime 1 pavyzdį naudodami pagrindinį skaičiavimo principą.

Apsvarstykite vaizdą, pateiktą 1 pavyzdyje.

Atkreipkite dėmesį, kad renginys gali būti vykdomas dviem etapais: pirmasis vyksta iš miesto A į B miestą, o antrasis - iš miesto B į C miestą. Pirmam žingsniui atlikti turime dvi galimybes (keliai R₁ ir R₂), o antram etapui atlikti turime tris galimybes (R₃, R₄ ir R₅).

1-as žingsnis → dvi galimybės

2 etapas → trys galimybės

Pagal pagrindinį skaičiavimo principą mes privalome padauginti bendras kiekvieno žingsnio galimybes.

2 · 3

Todėl, norėdami pereiti iš miesto A į miestą B per miestą B, iš viso turime šešias galimybes.

3 pavyzdys

Kiek būdų galima paskirstyti tris olimpinius medalius varžybose kalnų dviratis su penkiais konkurentais?

Medalių dalijimo organizavimas yra renginys, kurį galima vykdyti trimis etapais. Pirmasis žingsnis - išanalizuoti visas galimybes, kas gaus aukso medalį, tai yra penki galimybės.

Antras žingsnis - išanalizuoti galimybes, kam atiteks sidabro medalis, tai yra keturi, kadangi pirmoji vieta nepatenka į šį pasirinkimą. Trečias žingsnis - išanalizuoti visas galimybes, kas gaus bronzos medalį, tai yra trys, nes pirmieji du jau buvo pasirinkti.

1 žingsnis → penkios galimybės

2 etapas → keturios galimybės

3 etapas → trys galimybės

Taigi, vadovaudamiesi pagrindiniu skaičiavimo principu, turime:

5 · 4 · 3

60 galimybių

Taip pat žiūrėkite: Priedų skaičiavimo principas - vieno ar kelių rinkinių sujungimas

Faktoralis

O faktorialas yra būdas suskaidyti natūralų skaičių. Norėdami apskaičiuoti skaičiaus faktorialą, tiesiog padauginkite jį iš visų pirmtakų iki skaičiaus 1. Faktorialą žymi šauktukas - „!“.

Peržiūrėkite keletą pavyzdžių, kaip apskaičiuoti kai kurių skaičių faktorialą.

) 2! (skaitoma: du faktoriai)

Norėdami apskaičiuoti, tiesiog padauginkite faktorių lydintį skaičių iš visų jo pirmtakų iki skaičiaus 1 taip:

2! = 2 ·1 = 2

B) 4! = 4 · 3 · 2 ·1 = 24

ç) 5! = 5 · 4 · 3 · 2 · 1 = 120

d) 1! = 1

Formaliai faktorialą galime parašyti taip:

Apsvarstykite natūralųjį skaičių n> 2. N faktorą rodo n! ir gaunamas padauginus n iš visų jo teigiamų sveikųjų skaičių pirmtakų.

ne! = n (n - 1) · (n - 2) · (n - 3) ·… · 1

Atkreipkite dėmesį į šiuos faktorius:

4! ir 5!

Dabar vykdykite abiejų:

5! = 5 · 4 · 3 · 2 · 1

4! = 4 · 3 · 2 ·1

Atkreipkite dėmesį, kad kuriant 5! pasirodo vystymasis 4!. Taigi galime parašyti 5! taip:

5! = 5 · 4 · 3 · 2 · 1

5! = 5 · 4!

4 pavyzdys

Apskaičiuokite faktorių sekkaukimas:

Žiūrėkite, kad 15! buvo sukurta iki 13!. Taip pat atkreipkite dėmesį, kad trupmenos skaitiklyje elementai dauginami, todėl mes galime „iškirpti“ 13!

Stebėjimas:0! = 1

Tipų grupavimas

Kai kurios skaičiavimo problemos yra sudėtingesnės ir jas lengviau išspręsti naudojant naujas priemones. Šie įrankiai vadinami grupavimu, nes jie grupuoja elementus įvairiais būdais, palengvindami skaičiavimo procesą. Šios grupuotės yra: paprastas išdėstymas, permutacija ir paprastas derinimas.

paprastas išdėstymas

Apsvarstykite rinkinį su n atskirais elementais. pavadinkime išdėstymas nuo n elementų, paimtų nuo p iki p, bet kurios sekos, išdėstytos p, ir atskirų elementų, pasirinktų tarp elementų.

Taigi p elementų suformuotų pogrupių skaičius bus n elementų, paimtų nuo p iki p, išdėstymas. Formulę, leidžiančią apskaičiuoti susitarimų skaičių, pateikia:

5 pavyzdys

Apskaičiuokite A vertę_4,2 + A_5,2.

Norėdami apskaičiuoti išraiškos vertę, nustatykime kiekvieną iš masyvų ir pridėkime šias reikšmes kartu. Norėdami nustatyti kiekvieno masyvo vertę, formulėje turime pakeisti reikšmes.

Atkreipkite dėmesį, kad n = 4 ir p = 2, abu buvo pakeisti formulėje. Dabar turime apskaičiuoti penkių elementų masyvo vertę, paimtą po du.

Taigi, mes turime:

_4,2 + A_5,2

12 + 20

6 pavyzdys

Kiek skirtingų keturženklių natūralių skaičių galima suformuoti naudojant skaičius 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8 ir 9?

Šioje problemoje galime naudoti paprastą išdėstymą, nes 2435 ≠ 4235. Pamatysime, kad kai kuriais atvejais elementų tvarka jų nediferencijuoja, todėl negalime naudoti išdėstymo.

Kadangi norime nustatyti skaičių, kurį galima suformuoti, sumą, atkreipkite dėmesį, kad elementų suma lygi aštuoniir norime juos sugrupuoti po keturis, taigi:

paprasta permutacija

Apsvarstykite aibę su n elementais. pavadinkime paprasta permutacija iš n elementų kiekvienas n elementų išdėstymas, paimtas iš n į n. Taigi turime:

Kad tarp sąvokų nebūtų painiojama, pažymėkime paprastą n elementų permutaciją P_ne. Taigi turime:

P_ne = n!

7 pavyzdys

Apskaičiuokite P₇ ir P₃.

Norėdami apskaičiuoti šias permutacijas, formulėje turime pakeisti reikšmes. Pažvelk:

P₇ = 7 · 6 · 5· 4 · 3 · 2 · 1

P₇ = 5040

P₃ = 3 · 2 · 1

P₃ = 6

8 pavyzdys

Nustatykite, kiek anagramų gali būti žodyje Brazilija.

Mes suprantame kaip anagramą visus įmanomus žodžio raidžių perkėlimus, pavyzdžiui, „Lisarb“ yra a anagrama žodžio Brazilija. Norėdami nustatyti anagramų skaičių, turime apskaičiuoti žodžio raidžių permutaciją, todėl turime:

P₆ = 6!

P₆ = 6 · 5 · 4 · 3 · 2 · 1

P₆ = 720

Todėl žodis Brazilija turi 720 anagramų.

Taip pat prieiga: Permutacija su pakartotiniais elementais

paprastas derinys

Apsvarstykite rinkinį A su n atskirais elementais. pavadinkime derinys iš n elementų, paimtų p į p bet kuris A pogrupis, suformuotas p elementų. Derinio apskaičiavimo formulę pateikia:

9 pavyzdys

Apskaičiuokite 10 elementų, paimtų iš keturių iki keturių, derinį.

10 pavyzdys

Kiek keturkampiai Ar galime susidaryti su viršūnėmis taškuose A, B, C, D, E ir F?

Atkreipkite dėmesį, kad ABCD keturkampis šiame kontekste yra toks pats kaip CDBA keturkampis, todėl turėtume naudoti derinį, o ne masyvus. Iš viso turime šešis taškus ir norime juos sujungti keturis po keturis:

Todėl galime suformuoti 15 skirtingų keturkampių.

Kombinatorinė analizė ir tikimybė

Tyrimas tikimybė yra glaudžiai susijusi su kombinatorinės analizės tyrimu.. Esant tam tikroms tikimybės problemoms, būtina nustatyti imties erdvę, kurią sudaro rinkinys, kurį sudaro visi galimi tam tikro įvykio rezultatai.

Kai kuriais atvejais pavyzdžio tarpas E užrašomas labai tiesiogiai, kaip ir teisingos monetos vartiklyje, kur galimi rezultatai yra galvos ar uodegos ir žymimi taip:

E = {galvos, uodegos}

Dabar įsivaizduokite tokią situaciją: štampas išmetamas tris kartus iš eilės ir mes suinteresuoti nustatyti šio eksperimento mėginių erdvę. Atkreipkite dėmesį, kad visų galimybių užrašymas nebėra paprasta užduotis, turime naudoti pagrindinį skaičiavimo (PFC) principą. Renginį galima atlikti trimis etapais, kiekviename iš jų turime šešias galimybes, nes štampas turi šešis veidus:

1 etapas → šešios galimybės

2 etapas → šešios galimybės

3 etapas → šešios galimybės

Pagal PFC mes turime, kad visos galimybės yra:

6 · 6 · 6

216

Taigi galime sakyti, kad šio įvykio pavyzdinė erdvė yra 216.

Žiūrėkite, kad tikimybės tyrimui tai yra reikalingos pagrindinės kombinatorinės analizės žinios., nes nenustačius eksperimento erdvės, neįmanoma išspręsti daugumos tikimybės pratimų. Daugiau detalių apie šią matematikos sritį perskaitykite tekstą:Tikimybė.

Kombinatorinė analizė taip pat siejama su binomalų tyrimais.

sprendė pratimus

Klausimas 1 - Nustatykite žodžio pilis anagramų skaičių. Tada nustatykite anagramų skaičių, prasidedantį raide c.

Rezoliucija

Norėdami nustatyti anagramų skaičių, turime apskaičiuoti raidžių skaičiaus permutaciją taip:

P₇ = 7!

P₇ = 7 · 6 · 5 · 4 · 3 · 2 · 1

P₇ = 5040

Žodis turi 5040 anagramų. Dabar, norėdami nustatyti anagramų, prasidedančių raide c, skaičių, turime pataisyti raidę ir apskaičiuoti kitų anagramas, žr .:

Ç__ __ __ __ __ __

Kai pataisysime raidę c, atkreipkite dėmesį, kad skaičiuojant permutaciją yra likę šeši laukai, pavyzdžiui:

P₆ = 6!

P₆ = 6 · 5 · 4 · 3 · 2 · 1

P₆ = 720

Taigi turime 720 anagramų žodžio pilis, prasidedančių raide c.

2 klausimas - Klasėje yra penki vyrai ir septynios moterys. Kiek galima sudaryti trijų vyrų ir keturių moterų grupes?

Rezoliucija

Pirma, įsitikinkite, kad tvarka, kuria mes renkamės žmones, nėra svarbi, pavyzdžiui, João sudaryta grupė, Marcos ir José yra ta pati grupė, kurią sudaro Marcos, João ir José, todėl mes turime naudoti derinį skaičiavimas.

Paskaičiuokime atskirai grupių, kurias gali sudaryti vyrai ir moterys, skaičių Tada padauginkime tuos rezultatus, nes kiekviena vyrų grupė gali maišytis su kiekviena vyrų grupe. moterys.

Vyrai

Iš viso → 5

Kiekis grupėje → 3