Permutacijos yra skaičiavimo problemų dalis. Mes naudojame permutacijas, kad žinotume elementų eilių skaičių rinkinyje. Praktikuokite savo žinias apie permutaciją ir išspręskite abejones atlikdami išspręstus pratimus.
1 pratimas
Du draugai žaidė šešiakampiais kauliukais. Žinoma, kad išėjo skaičiai 4, 1, 2 ir 5, nebūtinai tokia tvarka. Kiek rezultatų sekų galėjo būti?
Atsakymas: 24
Tam tikra rezultatų tvarka gali būti tokia:
1, 2, 4 ir 5 arba
5, 4, 5 ir 1 arba
4, 5, 1 ir 2
Norėdami nustatyti bendrą galimų užsakymų skaičių, apskaičiuojame permutaciją su keturiais skirtingais elementais.
2 pratimas
Šešių draugų grupė nuėjo žiūrėti filmo į kino teatrą ir nusipirko bilietus į tą pačią sėdynių eilę. Atsižvelgiant į tai, kad yra pora ir jie sėdėjo gretimose kėdėse, kiek šie draugai galėtų tilpti į kėdžių eilę?
Atsakymas: 240
Kadangi skaičiuojant atsižvelgiama į visus „draugų“ rinkinio elementus, tai yra permutacijos problema.
Norėdami apskaičiuoti bendrą galimą permutacijų skaičių, atsižvelgėme į 5 elementus, nes pora visada turi būti kartu.
Be to, iš šių 120 galimybių turime padauginti iš dviejų, nes pora gali apsikeisti vietomis vienas su kitu.
Taigi, daug būdų, kaip draugai gali susitvarkyti kėdžių eilėje:
120. 2 = 240
3 pratimas
Kieme žaidžia 7 mokinių klasė, kuri naudojasi pertraukos laiku. Išgirdę signalą, pranešantį apie sugrįžimą į klases, mokiniai pajuda į eilę. Kiek skirtingų būdų mokiniai gali sudaryti eilių seką?
Atsakymas: 5040
Bendras galimų eilės organizavimo būdų skaičius yra 7 skirtingų elementų permutacija.
4 pratimas
Fotografas pritaiko fotoaparatą, kad galėtų nufotografuoti 5 ant suoliuko sustatytus vaikus. Šioje grupėje yra 3 mergaitės ir 2 berniukai. Galimas vaikų išdėstymas nuotraukai būtų toks:
Turint omenyje, kokiomis pozicijomis vaikai gali sėdėti ant suoliuko, kiek fotografas gali organizuoti berniukus ir mergaites, gaudamas skirtingas nuotraukas?
Atsakymas: 10
Tai permutacijos su pasikartojančiais elementais atvejis. Turime padalyti bendrą permutacijų skaičių iš kartotinių elementų permutacijų sandauga.
5 pratimas
Kiek anagramų galima padaryti su žodžio PREFEITURA raidėmis?
Atsakymas: 907 200
Žodis ROTUŠĖ turi 10 raidžių, kai kurios iš jų kartojasi. E raidė pasirodo du kartus, kaip ir R.
Apskaičiuojame padalijimą tarp 10 elementų permutacijos ir padalijame iš pasikartojančių elementų permutacijų sandaugos.
6 pratimas
(UEMG 2019) Iš visų žodžio PONTA raidžių permutacijų rinkinio atsitiktinai pašalinama viena. Kokia tikimybė pašalinti žodį, kuris prasideda ir baigiasi balse?
a) 1/20
b) 1/10
c) 1/6
d) 1/5
1 žingsnis: visų permutacijų su žodžio PONTA raidėmis skaičius.
Kadangi yra penkios skirtingos raidės, turime:
2 žingsnis: permutacijų, kurios prasideda ir baigiasi balse, skaičius.
Pirmajai raidei yra du balsių variantai, paskutinei raidei bus tik 1.
Priebalsiams yra 3! galimybės.
2.3!.1 = 2.3.2.1.1 = 12
3 veiksmas: nustatyti tikimybės santykį.
7 pratimas
(EsPCex 2012) Tikimybė gauti skaičių, dalijamą iš 2, atsitiktinai pasirenkant vieną iš skaitmenų 1, 2, 3, 4, 5 permutacijų yra
a) 1/5
b) 2/5
c) 3/4
d) 1/4
e) 1/2
1 žingsnis: visos permutacijos.
Kadangi yra penki skirtingi elementai, mes turime, kad 5 elementų permutacijų skaičius yra lygus 5 faktorialams.
2 žingsnis: skaičių, dalijamų iš dviejų su penkiais skaitmenimis, permutacija.
Norint dalytis iš 2, būtina sąlyga, kad jis yra lyginis. Taigi, yra dvi paskutinio skaitmens parinktys – 2 ir 4.
Kitoms pozicijoms yra 4! galimybės.
3 veiksmas: tikimybių skaičiavimas.
8 pratimas
(EsFCEx 2022) Tegul P yra 1, 3, 6, 9, 12 sekos, kurių pirmasis narys skiriasi nuo 1, permutacijų rinkinys. Jei viena iš šių sekų nubrėžta atsitiktinai, tikimybė, kad antrasis narys yra 3, yra lygi p/q, kai p, q ∈ IN* ir gcd (p, q) = 1. Todėl q – p yra lygus
a) 13.
b) 15.
c) 12.
d) 14.
e) 11.
1 žingsnis: nustato bendrą galimų atvejų skaičių imties erdvėje.
Iš dešinės į kairę pirmasis skaičius negali būti vienas, todėl yra 4 galimybės užimti pirmąją poziciją.
Yra 4 užimti kitas pozicijas! galimybės.
Permutacijos yra šios:
1.4! = 4.4.3.2.1 = 96
2 žingsnis: nustatyti įvykio galimybes, antrasis yra trys, o pirmasis skiriasi nuo vieno.
Permutacijos yra šios:
3.1.3.2.1 = 18
3 žingsnis: tikimybių santykis.
Tikimybių santykis yra:
Kai p = 18 ir q = 96.
Tačiau vis dar yra sąlyga, kad didžiausias bendras daliklis tarp p ir q yra 1, o tai neįvyksta su 18 ir 96.
Turime supaprastinti ir išbandyti trupmenas, lygias 18/96.
4 veiksmas: tikimybės trupmenos supaprastinimas ir p bei q nustatymas.
Kadangi gcd (3, 16) = 1, p = 3 ir q = 16.
5 veiksmas: išvada.
q – p = 16 – 3 = 13
Išmokti daugiau apie permutacija.
Daugiau pratimų rasite:
Kombinatorinės analizės pratimai
ASTH, Rafaelis. Išspręsti ir paaiškinti permutacijos pratimai.Visa materija, [n.d.]. Galima įsigyti: https://www.todamateria.com.br/exercicios-de-permutacao/. Prieiga adresu:
Taip pat žiūrėkite
- Kombinatorinė analizė
- Kombinatorinės analizės pratimai
- Permutacija: paprasta ir su pasikartojimu
- Išdėstymas matematikoje: kas tai yra, kaip skaičiuoti, pavyzdžiai
- 27 Baziniai matematikos pratimai
- Kombinacija matematikoje: kaip skaičiuoti ir pavyzdžiai
- Tikimybių pratimai
- Tikimybė
